LICZBY I WYRAŻENIA. Liczbami całkowitymi nazywamy liczby naturalne oraz liczby do nich przeciwne

1 LICZBY I WYRAŻENIA

Warto powtórzyć

Warto w tym miejscu powtórzyć działania w zbiorze liczb wymiernych -

( dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych i dziesiętnych, oraz kolejność wykonywania tych działań) posługując się dowolnym podręcznikiem, czy zbiorem zadań . Warto to zrobić, bo mimo iż w arkuszach maturalnych trudno znaleźć zadanie

bezpośrednio sprawdzające te umiejętności, to jednak umiejętności te są niezbędne przy rozwiązywaniu zadań maturalnych.

Część I LICZBY

LICZBY NATURALNE I CAŁKOWITE

TEORIA I PRZYKŁADY

Liczbami naturalnymi nazywamy liczby 0, 1, 2, 3…

Zbiór liczb naturalnych oznaczamy przez N

0 1 2 3 4 5 6

Liczbami całkowitymi nazywamy liczby naturalne oraz liczby do nich przeciwne Zbiór liczb całkowitych oznaczamy przez C

-2 -1 0 1 2 3 4

Pary liczb: -1 i 1 ; -2 i 2 ; -10 i 10 - są przykładami par liczb przeciwnych W zbiorze liczb całkowitych wyróżniamy:

- liczby podzielne przez 2, są to liczby parzyste - liczby niepodzielne przez 2, czyli liczby nieparzyste

2

Każdą liczbę parzystą można zapisać za pomocą symbolu 2n gdzie n, może przyjmować wartości ze zbioru liczb całkowitych np.:

dla n= -1 otrzymamy 2 ∙ (-1) = -2

dla n= 0 otrzymamy 2 ∙ 0 = 0 (0 jest liczbą parzystą – dzieli się przez 2) dla n= 1 otrzymamy 2 ∙ 1 = 2

Liczby niepodzielne przez 2 to liczby nieparzyste. Są one oznaczane przez 2n+1 Przykłady na zastosowanie symbolu 2n+1

dla n= -2 2n+1= 2 ∙ (-2) +1 = -3 dla n= -1 2n+1= 2 ∙ (-1) +1= -1 dla n= 0 2n+1= 2 ∙ 0 + 1 = 1 dla n= 1 2n+1= 2 ∙ 1 + 1 = 3

Ze względu na liczbę dzielników zbiór liczb naturalnych większych od 1 można podzielić na dwa podzbiory

- zbiór liczb, które mają tylko dwa dzielniki (1 i samą siebie) te nazywamy liczbami pierwszymi {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …}

- zbiór liczb, które mają więcej niż dwa dzielniki; liczby takie nazywamy liczbami złożonymi {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …}

Uwaga: liczby 0 i 1 nie są liczbami pierwszymi ani złożonymi!

Zapisanie dowolnej liczby naturalnej w postaci iloczynu liczb pierwszych nazywamy rozkładem tej liczby na czynniki pierwsze

Rozkład liczby 220 na czynniki pierwsze 220 2

110 2 220 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 11 55 5

11 11 1

3

Rozkład liczby na czynniki pierwsze wykorzystujemy między innymi przy skracaniu ułamków, wyłączaniu czynnika przed pierwiastek, obliczaniu największego wspólnego dzielnika (NWD) i najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW).

Jeżeli NWD liczb a i b = 1, to mówimy, że liczby a i b są względnie pierwsze.

Na przykład liczba 8 i liczba 15 to liczby względnie pierwsze, podobnie liczby 9 i 16 Nie skrócimy więc ułamków 8/15 ani 9/16

Wyznaczanie NWD

Przykład 1/3 Znajdź największy wspólny dzielnik liczb 180 i 50

Rozkładamy liczby na czynniki

180 2 500 2

90 2 250 2

45 2 125 5

15 3 25 5

5 5 5 5

1 1

Zaznaczamy te czynniki, które powtarzają się w obydwu rozkładach – tworzymy ich pary.

Z każdej pary wypisujemy jeden element, Z podanych rozkładów wypiszemy więc 2 ; 2 i 5 Liczymy: NWD (180,500) jako iloczyn wypisanych liczb 2 ∙ 2 ∙ 5 = 20 i zapisujemy NWD (180, 500) = 20

Wyznaczanie NWW

Przykład 2/3:

Znajdź NWW (108, 270)

108 2 270 2

54 2 135 3

27 3 45 3

9 3 15 3

3 3 5 5

1 1

Aby wyznaczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb (NWW) rozkładamy obydwie liczby na czynniki pierwsze. Z jednego z tych rozkładów wypisujemy wszystkie czynniki, a z drugiego te, których nie było w pierwszym rozkładzie.

NWW (108, 270) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 = 540

4

Przykład 1 / 4.

Oblicz NWD i NWW liczb 48 i 120 Rozwiązanie

48 2 24 2 12 2 6 2 3 3

1

120 2 60 2 30 2 15 3

5 5

1

NWD (48, 120) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24 NWW = (48, 120) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 240

Dla większych liczb, NWW wygodniej jest liczyć korzystając ze wzoru

W1 NWD a b, NWW a b, a b

po przekształceniu W1 otrzymamy wzór

W2

Przykład 2 / 4. Oblicz NWD i NWW liczb 1200 i 140 1. Rozkładamy poniższe liczby na czynniki pierwsze

1200 2 140 2 600 2 70 2 300 2 35 5 150 2 7 7 75 3

25 5 5 5 1

Obliczymy NWD a następnie skorzystamy ze wzoru W2

NWD = 2 ∙ 2 ∙ 5 = 20 NWW(a, b) =

7 1

1200 140

20 ^{= 8400}

NWW(a, b) =

( ) a b NWD ab

5

Przykład 1/5

Ile wszystkich dzielników naturalnych ma liczba 150.

Rozwiązanie 150 2

75 3 25 5

5 5

1

Dzielniki tworzymy wypisując czynniki pierwsze z rozkładu liczby oraz ich wszystkie możliwe iloczyny: 1; 2; 3; 5; 2 ∙ 3; 3 ∙ 5; 5 ∙ 5; 2 ∙ 5; 2 ∙ 3 ∙ 5; 2 ∙ 5 ∙ 5; 3 ∙ 5 ∙ 5; 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 obliczamy dzielniki

D150 = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 25; 30; 50; 75; 150}

T

TRREENNIINNGG MMAATTUURRAALLNNYY 11//55 Zadanie 1/5

O liczbie x wiadomo, że NWD (60, x) = 15 oraz NWW (60, x) = 300. Oblicz x.

Rozwiązanie Korzystamy z W1

15 ∙ 300 = 60 ∙ x x = 75

Odp. x = 75

Zadanie 2/5

Zegar wskazuje godzinę 13⁰⁵, którą godzinę wskaże za 100 godzin.

Odp. 17⁰⁵

Przykładowe rozwiązanie.

100 godzin to 4 pełne doby bo 100 : 24 = 4 i 4 reszty – ta reszta to 4 godziny, które trzeba doliczyć do 13⁰⁵ będzie zatem godzina 17⁰⁵

6

Zadanie 1/6

Wykaż, że suma 5 kolejnych liczb naturalnych nie może być liczbą pierwszą Rozwiązanie

Oznaczamy kolejne liczby naturalne przez: n; n+1; n+2; n+3; n + 4 i tworzymy ich sumę Otrzymamy: n+n+1+n+2+n+3+n+4=5n+10 = 5(n+2) liczba ta jest większa od 5 i dzieli się przez 5 nie jest więc liczbą pierwszą, a to należało wykazać

ZADANIE 2/6

Suma pięciu liczb całkowitych z których każda następna liczba jest o 45 większa od poprzedniej wynosi -250. Oblicz największą z tych liczb.

Rozwiązanie.

n - pierwsza liczba

n + (n+45) + (n+ 90) +( n + 135) + ( n + 180 ) = - 250 5n +450 = - 250

5n = - 700 n = -140

-140 + 4 ∙ 45 = 40

Odp. Największą liczbą jest 40

ZADANIE 3/6

Liczba 6 ∙ 3 ∙ 11 ma

A. dokładnie 10 dzielników B. dokładnie 8 dzielników C. dokładnie 3 dzielniki D. dokładnie 12. dzielników Rozwiązanie

Liczbę zapisujemy w postaci iloczynu liczb pierwszych 6 ∙ 3 ∙ 11 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 i z tego rozkładu tworzymy dzielniki

1 ( jest dzielnikiem każdej liczby) kolejne dzielniki to: 2, 3, 11, a także 2 ∙ 3 = 6 2 ∙ 11 = 22 3 ∙ 3 = 9 3 ∙ 11 = 33

2 ∙ 3 ∙ 3 = 18 2 ∙ 3 ∙ 11 = 66 3 ∙ 3 ∙ 11 = 99 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 = 198

Wypisujemy D (6 ∙ 3 ∙ 11) ={1,2,3,6, 9, 11, 18, 22, 33, 66, 99, 198} 12 sztuk Odp. D

7

LICZBY WYMIERNE

TEORIA I PRZYKŁADY

Liczbami wymiernymi nazywamy liczby postaci gdzie p jest dowolną liczbą całkowitą, a q jest dowolną liczbą całkowitą różną od zera.

Zgodnie z powyższym liczbami do liczb wymiernych należą wszystkie liczby naturalne, bo każdą z nich możemy zapisać w postaci ułamka np.

0 = = = … podobnie 1 = = ,

Do liczb wymiernych liczby ujemne np. -2 =

Często stosowaną postacią liczby wymiernej jest jej rozwinięcie dziesiętne. Rozwinięcie dziesiętne liczby otrzymuje się, wykonując dzielenie: p : q.

Przykłady rozwinięć dziesiętnych liczb:

1. = 1 : 8 = 0,125

2. 2 = 2 + 3 : 5 = 2 + 0,6 = 2,6

3. 30 = 30 + 1 : 20 = 30 + 0,05 = 30,05

Powyższe przykłady pokazują ułamki, które mają rozwinięcia dziesiętne skończone.

Mianowniki tych ułamków w rozkładzie na czynniki pierwsze mają jedynie czynniki 2 lub 5.

Wśród liczb wymiernych są także takie, które mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone – okresowe, tzn. takie, w których poczynając od pewnego miejsca dziesiętnego powtarza się cyfra lub grupa cyfr nazywana okresem rozwinięcia dziesiętnego.

1. = 0, 285714285714… = 0,(285714) 2. = 0, 222… = 0,(2)

Zamiana rozwinięcia dziesiętnego skończonego na ułamek jest natychmiastowa 0, 12 = =

Zamiana rozwinięcia dziesiętnego nieskończonego, okresowego wymaga więcej pracy.

8

Przykłady zamiany rozwinięcia dziesiętnego okresowego na ułamek zwykły:

Przykład 1 Zamień na ułamek zwykły liczbę 0,555…=0 (5)

- dane rozwinięcie dziesiętne – okresowe, oznaczamy literą a 1. a = 0,55555… - obydwie strony mnożymy przez 10

( mnożymy przez 10, zawsze wtedy, gdy okres jest jednocyfrowy)

2. 10a = 5,55555… - od drugiego z tych równań odejmujemy stronami

pierwsze (zredukujemy w ten sposób, nieskończony „ogon piątek”) 3. 9a = 5 - z równania 3 obliczamy a (dzielimy obydwie strony przez 9

4. a=5 9 Przykład 2

Zamień na ułamek zwykły liczbę 0,272727…= 0, (27)

piszemy a= 0,272727… / ∙ 100 ( mnożymy przez 100, gdy okres rozwinięcia jest dwucyfrowy)

100a = 27, 272727 … 99a = 27

a = =

Wobec tego 0,(27) = Przykład 3

Zamień na ułamek zwykły liczbę 1,355555555… = 1,3(5) Przykład rozwiązania

liczbę a = 1,3(5), zapisujemy w postaci:

a = 1,3 + 0,0(5) = 1,3 + 0,1 ∙ 0,(5)

Szukamy teraz ułamka, którego rozwinięcie jest równe 0,(5) i piszemy:

Z przykładu 1 wiemy, że 0,(5) = wracamy do liczby a i otrzymujemy

a= 1,3 + 0,1 ∙ = 1,3 + ∙ = 1,3 + = 1 +

=

=

9

Przykład 1 /9

Stosując ten sposób zamiany stwierdzamy, że 0,999… = 1



0,999…= a / ∙ 10 9,999 = 10a

9 = 9a a = 1

Gdybyśmy zapisali że, 0,999… = 1



\

będzie zapis 0,(9) 1 Przykład 2 / 9

Podaj po dwie liczby zawarte między liczbami a)1

3 ⁱ b) 0.96 i 0.97 Rozwiązanie. a)

Ułamki

i

▪ ▪ ▪

Odp.: np

. ;

Rozwiązanie b

0.96 ▪ ▪ ▪ 0.97 0,960; 0.961 0,962 … 0.970 Odp. np. 0.961; 0.962

10

Przykład 1 /10

Dla a = 0,(3) , b = 0,(31) , c = oblicz wartość wyrażenia a + c – b Rozwiązanie

Oznaczamy a = 0,3333… /∙10 b = 0,313131… /∙100 10a = 3,333… 100b = 31,313131

9a = 3 99b = 31 a =

a + c – b =

+ - = - =

Zadanie 2/10 Wynagrodzenie za pracę jest naliczane za każdą rozpoczętą minutę. Oblicz, ile zarobi robotnik pracujący od godziny 7⁴⁰ do 15¹⁰ przy stawce 12,50 zł za godzinę.

Rozwiązanie

Aby łatwo obliczyć ile godzin pracował robotnik, godzinę 16¹⁰ można zapisać jako 15⁷⁰ 15⁷⁰ – 7⁴⁰ = 8 godz. 30 min. = 8,5 godziny

Zarobił 12,50 ∙ 8,50 = 106.25

LICZBY NIEWYMIERNE TEORIA I PRZYKŁADY

Definicja – liczbą niewymierną nazywamy liczbę, której nie można przedstawić w postaci gdzie p i q są liczbami całkowitymi oraz q ≠ 0.

1. Przykłady liczb niewymiernych

; ; ; 1 - ; π

2. Rozwinięcia dziesiętne liczb niewymiernych są nieskończone i nieokresowe, np.:

≈ 1,414213562…

π ≈ 3,1415926…

= 1,7320508…

Nie ma takiej grupy cyfr, która by w dowolnym z tych rozwinięć powtarzała się okresowo.

11

Przykład 1 /11

Jaką liczbą, wymierną czy niewymierną jest suma liczb niewymiernych Rozwiązanie.

Suma liczb niewymiernych może być:

a) Liczbą wymierną np. (1+ ) + ( 1 - ) = 2 – liczba wymierna b) Liczbą niewymierną np. ( ) + ) = 2 - liczba niewymierna Podobnie jest dla iloczynu :

2 ∙ 2 = 4 = 2 liczba wymierna

2 = liczba niewymierna Przykład 2 / 11

Uzasadnij, że suma liczby wymiernej i niewymiernej jest liczbą niewymierną Rozwiązanie

Załóżmy, że x jest dowolną liczbą wymierną, y dowolną liczbą niewymierną.

Musimy pokazać, że x + y jest liczbą niewymierną

Dowód: (nie wprost) załóżmy, że x + y jest liczbą wymierną daje się zatem zapisać za pomocą ułamka możemy więc zapisać równanie:

x + y = przenosząc teraz liczbę x na prawa stronę tego równania, otrzymamy:

y = - x - po prawej stronie mamy różnicę dwóch licz wymiernych, która jest liczbą wymierną, po lewej też musiałaby być liczba wymierna – aby to równanie było prawdziwe- tymczasem przyjęliśmy, że y jest liczba niewymierną, otrzymaliśmy oczywista sprzeczność i zgodnie z zasadami dowodu nie wprost obaliliśmy założenie, że x + y jest liczbą wymierną a skoro nie jest wymierną to musi być liczbą niewymierną. c.n.d.

12

W C

N

0,5

2,5 -1

-10

1 2 -2

3

NW

π

LICZBY RZECZYWISTE TEORIA I PRZYKŁADY

Wszystkie liczby, które omówiliśmy dotychczas a więc liczby naturalne N, całkowite C, wymierne W i niewymierne NW tworzą zbiór liczb rzeczywistych R.

Wszystkie liczby, które można zapisać za pomocą rozwinięcia dziesiętnego:

a) skończonego lub nieskończonego okresowego – ( liczby wymierne) b) nieskończonego i nieokresowego – (liczby niewymierne),

nazywamy liczbami rzeczywistymi. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy literą R

Zbiór liczb rzeczywistych na osi liczbowej:

(-∞; +∞) = R cała oś liczbowa.

Każdej liczbie rzeczywistej można przyporządkować dokładnie jeden punkt na osi liczbowej i na odwrót, każdy punkt osi odpowiada dokładnie jednej liczbie rzeczywistej.

Część osi liczbowej nazywamy przedziałem

Przedziały ograniczone:

przedział obustronnie otwarty (a; b) – liczby a i b ograniczają przedział z lewej i prawej strony ale do niego nie należą

13

x (a; b) gdy spełnia nierówność a < x < b

przedział obustronnie domknięty < a; b > liczby a i b należą do przedziału < a; b >

x < a; b > gdy a ≤ x ≤ b

przedział lewostronnie domknięty < a; b )

x < a; b ) gdy a ≤ x <b

przedział prawostronnie domknięty ( a; b >

x < a; b ) gdy a < x ≤ b

Przedziały nieograniczone:

(-∞; a)

X x (-∞; a) gdy x < a

(-∞; a>

X x (-∞; a) gdy x ≤ a

14

(a; +∞)

X

x (-∞; a) x > a

<a; +∞)

X x (-∞; a) x ≥ a

Przykład 1/14 Podaj najmniejszą liczbę naturalną n, spełniającą nierówność n > 2 Rozwiązanie

6 2П 7 8 Najmniejszą liczbą naturalną większą od 2 jest 7

Przykład 2 / 14 Podaj największą liczbę naturalną n, spełniającą nierówność n <

8 9 10 n = 9

Przykład 3/14 Wypisz wszystkie elementy zbiorów:

A = {x: x C i x <-6 ; 6)} B = {x: x C i x (0;6)}

Rozwiązanie

-6 6 0 6 A = { -6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5} B = {1;2;3;4;5}

15

TRTREENNIINGNG MMAATTUURRAALLNNYY 22 // 1155

ZADANIE 1 /15 M CKE poziom podstawowy. Próbny egzamin maturalny – kwiecień 2020

Linę o długości 100 metrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają w stosunku 3 : 4 : 5 . Stąd wynika, że najdłuższa z tych części ma długość.

A. 2 4 metra. B. 33 metra C. 60 metrów D. 25 metrów ZADANIE 2 /15 M CKE poziom podstawowy. egzamin maturalny – maj 2019

Równość + + = 1 jest prawdziwa dla

A. a = B. a = C. a = D. a =

ZADANIE 3 / 15

O liczbie x wiadomo, że spełnia nierówność < x < . Liczba x, może być równa

A. B. C. 0.86 D . 0,7

ZADANIE 4 / 15

Znajdź liczby całkowite x spełniające nierówność

- < <

ZADANIE 5/15

Rozwiązaniem nierówności 2x + 1 < a jest przedział ( - ∞; 5 ) Oblicz a

Odpowiedzi wskazówki i przykładowe rozwiązania znajdują się w rozdziale V

16

Część II WYRAŻENIA

TEORIA I PRZYKŁADY

Warto powtórzyć

1. Dodawanie i odejmowanie wyrażeń algebraicznych – opuszczanie nawiasów redukcja wyrazów podobnych

2. Mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian i mnożenie sum algebraicznych.

Teraz przypomnimy wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias i stosowanie wzorów skróconego mnożenia, gdyż są to umiejętności bezwzględnie konieczne podczas zdawania egzaminu, a potrafiące sprawić zdającym wiele problemów. Prześledźmy to na przykładach.

Wyłączanie czynnika przed nawias Przykład 1 Wyłącz czynnik przed nawias 1) 6a +9 = 3∙2∙a +3∙3 = 3 (2a + 3)

2) 5a + 5 = 5∙a + 5∙1 = 5 (a + 1)

3) a² b + ab² = a ∙ a ∙ b + a ∙ b ∙ b = a b (a + b)

4) 10 x²y²z + 5 x²y² = 2∙5∙ x²y² z + 5∙ x²y²∙ 1 = 5∙ x²y² (2z + 1) Wzory skróconego mnożenia

1.

2.

3.

Przykłady stosowania wzorów skróconego mnożenia 1.

2.

3.

.

17

Przykłady uwalniania mianownika ułamku od niewymierności:

Przykład 1 / 17

Uwolnij od niewymierności w mianowniku ułamek

pomnóżmy licznik i mianownik tego ułamka przez wyrażenie wartość, tego wyrażenia jest równa1, można więc mnożyć ułamek przez to wyrażenie nie zmieniając wartości ułamka, a przy tym wyrażenie to jest tak dobrane, by w mianowniku - po skorzystaniu ze wzoru [ ] - „zniknęły pierwiastki”.

Liczymy:

= ∙ = = = =

=

Przykład 2 / 17

Uwolnij od niewymierności w mianowniku ułamek Liczymy /∙

= =

Przykład 3 / 17 Uprość wyrażenie

4 2 6 9

4 6

x x

x dla x 3/2 Rozwiązanie

4 2 6 9

4 6

x x

x ⁼

2 3 2

2 2 3 x

x ⁼

2 3

2 x

Przykład 4 / 17 Oblicz wartość wyrażenia 1 1

3 2 3 2

Rozwiązanie

1 3 2 ^∙

3 2

3 2 ⁺ 1 3 2^∙

3 2

3 2 ⁼

3 2 3 2

1 1 3

18

Przykład 5 / 17

Oblicz a, wiedząc, że a spełnia równanie (a + ) ( -3) = 6 - 4 Rozwiązanie

1. Przekształcamy lewą stronę mnożąc sumę przez różnicę a - 3a + 3 - 3 = 6 - 4

2. Wyrazy z a pozostawiamy na lewej stronie pozostałe grupujemy na stronie prawej a - 3a = 6 - +3 -3

3. Wyłączamy a przed nawias następnie obydwie strony dzielimy przez ( - 3) a( - 3) = - +3 / : ( - 3)

4. a = = = -1 Odp. a= -1

Część III Działania na liczbach rzeczywistych

POTĘGI I PIERWIASTKI TEORIA I PRZYKŁADY

Potęgą nazywamy iloczyn jednakowych czynników

n - wykładnik potęgi

a

= a ∙ a ∙ a ∙ …

a - podstawa potęgi ^{n razy}

Wykonywanie działań na potęgach to umiejętność czysto techniczna, polegająca na wykorzystaniu poniższych wzorów:

Działania na potęgach

Dla dowolnych liczb a, b oraz dowolnych m, n

1. ∙ =

2³ 2⁴ =2⁷

2. : =

5^{3 :} 5^{2 =} 5¹ = 5

3. =

2 3

10 = 10⁶

19

4. = ∙

4³ ∙ 2³

5. = b ≠ 0 2 4

3 = ²₄⁴ 3

6. a ⁰ = 1 a ≠0 567⁰ = 1 (-567)⁰ = 1 3 0

14 = 1

7. a ^–n = a ≠0 7^{-2 = 2} 1 7 ₌

1 49

8. = a≠0 i b≠0

3 2

4 ⁼ 4 2

3 ⁼ 16

9

Przykłady działań na potęgach

Przykład 1 /19 Która z liczb jest większa 8 ¹⁶ czy 16 ⁸ Rozwiązanie:

Dla dokonania porównania, liczby z zadania zapiszemy tak, by miały takie same podstawy – obydwie liczby tak naprawdę są potęgami dwójki, spójrzmy:

8 możemy zapisać jako 2³ ; a, 16 =2⁴ więc:

8 ¹⁶ = (2³)¹⁶= 2 ⁴⁸ 16 ⁸ = (2⁴)⁸ = 2³² 2 ⁴⁸ > 2³² widać stąd, że:

8 ¹⁶ > 16 ⁸ Przykład 2 /19 Oblicz (0,1)^-2

Liczymy (0,1)^-2 = = = 100

20

Przykład 1/20

Oblicz 10 ^-2 ∙ 10 ³ ∙ 0,0001 ∙ 100000

Liczymy 10 ^-2 ∙ 10 ³∙ 10 ^-4 ∙ 10 ⁵ = 10 -2 +3 -4 + 5

= 10 ² = 100 PIERWIASTKI

Pierwiastkiem stopnia n liczby a nazywamy taką liczbę nieujemną b, która podniesiona do potęgi n daje a

= b gdy bⁿ= a n € N, n ≥ 2

Działania na pierwiastkach

= a

3 3

3 = 3 8 ² = 8

∙ = 3 27 = = 9

= ⁸¹

16= =

=

1

22=

1

23= ³ 2

4

23 = ³ 2⁴

.Przy obliczaniu wartości wyrażeń, zawierających pierwiastki, skracaniu ułamków – pomocna bywa umiejętność wyłączania czynnika przed pierwiastek, bądź włączania czynnika pod znak pierwiastka. Umiejętność ta, jest umiejętnością czysto techniczną – pomocną w jej

przyswojeniu będą poniższe schematy:

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Przykład 1 Wyłączyć czynnik przed pierwiastek:

I sposób: =

Kłopot może się pojawić wtedy, gdy nie potrafimy szybko zapisać liczby pod pierwiastka w postaci iloczynu takich liczb, z których jedna „ma pierwiastek” - ratujemy się wtedy

rozłożeniem liczby na czynniki pierwsze i przedstawionym schematem:

21

Przykład 1./ 21

72 2

36 2 2

18 2 2 ∙ 3 = 6

9 3 3

3 3

1

Przykład 2./21

350 2 175 5

35 5 5 =

7 7

1

Przykład 3 /21 Uzasadnij, że

= 1 Rozwiązanie :

32 2 288 2

16 2 2 144 2 2

8 2 72 2

4 2 2 36 2 2

2 2 18 2

1 9 3

3 3 3

1 512 2

256 2 2

128 2

64 2 2

32 2

16 2 2

8 2

4 2 2

2 2 1

7

22

= 1 co należało uzasadnić

włączania liczby pod pierwiastek

1. 2 =

2. 3 = =

Umiejętność włączania liczby pod pierwiastek wykorzystamy, rozwiązując np. takie zadanie:

Przykład 4 Porównaj liczby:

4 > a to oznacza, że 4 > 3

TTRREENNIINNGG MMAATTUURRAALLNNYY 33 // 2222

1. Liczba 9⁹ jest równa A. 311

B. 3¹⁸ C. 354

D.3¹⁴ 2. Iloczyn 9^-5 ∙ 3⁸ jest równy C K E

A. 3-4

B. 3-9

C. 9-1

D. 9-9

3. Liczba 10⁶ jest równa

A.10000000 B. 100³ C. 17

D.( 0,1)^-5

4.Liczba 2³ ∙ 5⁶ jest równa

A. 50³ B.109

C.106

D.10³ 5. Liczba 8 ^-2 64 jest równa

A. 84

B. 2^-12 C. 8² D. 1

23

6. 50% liczby 4⁶ jest równe A. 26

B. 2³ C. 8³ D. 2¹¹

7. Liczba jest równa C K E

A) B) C) D)

8.Dla a > 0 wartość wyrażenia

2

4

a a jest równa

A. 1

B. a C. – 3a D.

9. Wartość wyrażenia 0, 2 ² 5 jest równa

A.

B.

1

5 2 C. D. (

10.Liczba

9

34 jest równa C K E „Egzamin maturalny od roku szkolnego 2014/2015 przykładowy zestaw zadań

A. 3 ⁴3 B. 9 ⁴3

C.27 ∙ ⁴3 ∙ 1

34

Zadanie 11

Porównaj liczby 6¹⁴ i 18 ⁷ Zadanie 12

Rozwiąż nierówność 2²⁰ ∙ x > 87

Zadanie 13

Oblicz: )

ODPOWIEDZI I ROZWIĄZANIA W ROZDZIALE V

24

WIADOMOŚCI OPROCENTACH

Przydatna uwaga

W rozwiązaniach zadań w których występuje pojęcie procentu, prezentuję metodę dość uniwersalną, skracającą czas obliczeń, umożliwiającą wykonanie wielu obliczeń przy użyciu kalkulatora.

Jeżeli jednak, ktoś jest bardzo przywiązany do stosowania w tego typu zadaniach innych metod – na przykład – proporcji, to nie ma przeszkód by posługiwał się nimi nadal, chociaż bywa to dość kłopotliwe i generuje sporo błędów w rozwiązaniach zadań maturalnych.

Proponuję więc, zapoznać się z przedstawionymi poniżej zadaniami i dobrać najbardziej skuteczny sposób rozwiązania.

Przyjemnej i twórczej pracy życzę, bo procent na maturze – to jeden z pewniaków.

TEORIA I PRZYKŁADY

Zacznijmy od przypomnienia, że obliczenia procentowe dotyczą liczb nieujemnych, a procent (z łac. pro centum) oznacza „na sto”.

Przyjmujemy zatem, że 1% = = 0,01, a jeden procent danej wielkości to tej wielkości Pojęcie procentu występuje często w życiu codziennym i sporo miejsca zajmuje wśród zadań na maturze – warto się z nim dobrze zapoznać.

OBLICZENIA PROCENTOWE

Można wyróżnić trzy typy zadań dotyczących obliczeń procentowych

Procent danej liczby

Obliczyć p% danej liczby to znaczy obliczyć jej 100

p w praktyce oznacza to, że liczbę należy

pomnożyć przez 100

p na liczbach wygląda to tak:

Przykład 1 /24

12% liczby 8 = 0,12 ∙ 8 = 0,96 2% liczby 50 = 0,02 ∙ 50 = 1.

25

Przykład 1 / 25

W szkole jest 1200 uczniów. Chłopcy stanowią 40 procent wszystkich uczniów. Ile jest dziewczynek w tej szkole?

Rozwiązanie:

Obliczamy ilu jest chłopców. 40% z liczby 1200 to tej liczby, liczymy:

∙ 1200 = 0,4 ∙ 1200 = 480

Liczba dziewcząt: 1200 – 480 = 720 Przykład 2 / 25

Towar, którego cena wynosiła 90 zł zdrożał o 12%. Ile kosztuje po podwyżce?

Rozwiązanie:

Cenę wyjściową, czyli 90 zł przyjmujemy za 100%

Podwyżka o 12% to 100% + 12% = 112% = 1,12

Aby obliczyć nową cenę musimy policzyć więc 1,12 liczby 90: czyli 1,12 ∙ 90 = 100,80 Po podwyżce towar kosztował 100,80 zł

Przykład 3 / 25

Cenę towaru wynoszącą 50zł początkowo podwyższono o 12% a następnie obniżono o 5%.

Oblicz cenę towaru po tych zmianach.

Rozwiązanie

I sposób: wzrost o 12% to 1,12 starej ceny. Liczymy:

I etap: 1,12 ∙ 50 = 56 zł

II etap: spadek o 5% to 0,95 poprzedniej ceny, czyli 56 ∙ 0,95 = 53,20

II sposób: wzrost o 12% tak jak poprzednio daje współczynnik 1,12, spadek o 5% daje współczynnik 0,95, ale z 1,12, stąd cena po zmianie wynosi:

0,95 ∙ 1,12 ∙ 50 = 53,20

Odp.: Cena po zmianach wynosi 53,20 zł.

Przykład 54/ 25

Cenę towaru podwyższono o 20%, następnie obniżono o 20%. Po tych zmianach telewizor kosztował 96 zł. Oblicz cenę przed zmianami.

Rozwiązanie

x – początkowa cena 100% + 20% = 120% = 1,2 100% - 20% = 80% = 0,8 0,8 ∙ 1,2 ∙ x = 96

0,96 x = 96

x = = = 100 zł

Odp.: Cena przed zmianami wynosiła 100 zł.

26

Przykład 1 / 26

Cenę towaru obniżono o 20%. O ile procent należy ją podwyższyć, aby powróciła do ceny wyjściowej?

Rozwiązanie:

Cena wyjściowa to 100% 100% = 1

Przez x oznaczę „współczynnik” odpowiadający podwyżce 08 ∙ x = 1

0,8 x = 1 x = 1 : 0,8

x = 1,25 = 125 % 125% - 100 % = 25 %

Odp.: Obniżoną o 20% cenę należy podwyższyć o 25% aby wróciła do ceny poprzedniej

Liczba na podstawie danego jej procentu Przykład 2 / 26

Podaj liczbę, której 4% wynosi 17 zł.

Zadanie możemy rozwiązać w pamięci mnożąc 17 przez 25 posłużymy się jednak równaniem, by pokazać uniwersalny sposób postępowania w tego typu zadaniach.

Rozwiązanie

x – szukana liczba, 4% to 0,04 tej liczby, mamy więc:

0,04 ∙ x = 17 x = 17 : 0,04 x = 425

Część pewnej wielkości jako procent Przykład 2 / 26

W pewnym mieście jest 1200 osób zarejestrowanych jako bezrobotni. Miasteczko liczy 10 000 mieszkańców. Jaki procent stanowią bezrobotni?

Rozwiązanie

Aby obliczyć (procentową zawartość) liczby bezrobotnych, obliczamy stosunek liczby bezrobotnych do wszystkich mieszkańców i wyrażamy w procentach, czyli mnożymy przez 100%.

∙ 100% = % = 1,2%

Odp.: Bezrobocie w miasteczku wynosi 1,2%.

27

O ILE PROCENT WIĘCEJ – O ILE PROCENT MNIEJ

Zagadnienie tak ważne i tak często występujące w arkuszach egzaminacyjnych, że warto mu poświęcić więcej uwagi.

Zacznijmy od rzeczy najprostszych.

Przykład 1/27

Adam ma 180 cm wzrostu, a Karolina 150 cm.

a) O ile procent wzrost Adama jest większy od wzrostu Karoliny?

b) O ile procent Karolina jest niższa od Adama?

Czasami mylnie wydaje się, że między pytaniem w punkcie a, a pytaniem w punkcie b, nie ma różnicy. Jednak istnieje różnica zasadnicza Przekonajmy się o tym, rozwiązując zadanie:

Rozwiązanie

Liczymy różnicę 180 – 150 = 30

a) obliczoną różnicę dzielimy przez wzrost Karoliny, bo interesuje nas

stosunek tej różnicy do wzrostu Karoliny (sprawdzamy o ile Adam jest wyższy w stosunku do Karoliny) i wyrażamy ją w procentach:

∙ 100% = = 20%

Odp.: Adam jest wyższy od Karoliny o 20%.

b) różnica między wzrostem Adama i Karoliny jest taka sama, ale teraz liczymy stosunek tej różnicy do wzrostu Adama. Sprawdzamy, o ile procent Karolina jest niższa od Adama:

∙ 100% = = = 16 % ≈ 16,67%

Odp.: Karolina jest niższa od Adama o około 16,67%.

Przykład 2/27

a) O ile procent liczba 10 jest większa od liczy 2 b) O ile procent liczba 2 jest mniejsza od liczby 10 Rozwiązanie: 10-2=8

∙ 100 = 400%

∙ 100 = 80%

Odp.: a) 10 jest o 400% większe od 2 b) 2 jest o 80% mniejsze od 10

ODPOWIEDZI I ROZWIĄZANIA W ROZDZIALE V

28

PUNKTY PROCENTOWE

Punkt procentowy – to różnica dwóch wielkości podanych w procentach Przykład 1/28

W pierwszym kwartale bezrobocie wzrosło z 8 % do 12 %. Oblicz o ile procent wzrosło bezrobocie

Rozwiązanie

Wzrost z 8% do 12% to wzrost o 4 punkty procentowe 4

8 ∙ 100% = ∙ 100% = 50%

Procentowy wzrost, to wzrost o 50%

Przykład 2/28

Bezrobocie w pewnym kraju wynosi 10%. Ile procent będzie wynosić bezrobocie, jeżeli spadnie o 5%?

Rozwiązanie :

100% - 5% = 95% = 0.95 10% = 01

0,95 ∙ 0,1 = 0,095 = 9,5%

29

TRTREENNIINGNG MMAATTUURRAALLNNYY 44 // 2299 Zadanie 1 CKE poziom podstawowy. Próbny egzamin maturalny – kwiecień 2020

Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o 30%. Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła

A. o mniej niż 50% , ale więcej niż 40%.

B. o mniej niż 60% , ale więcej niż 50%.

C. dokładnie o 60%.

D. o więcej niż 60%.

Zadanie 2. CKE poziom podstawowy. egzamin maturalny – maj 2019

W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o A. 1% B. 25% C. 33% D. 75%

Zadanie 3 CKE poziom podstawowy. egzamin maturalny – maj 2018

Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował A. 865,00 zł B. 850,15 zł C. 1000,00 zł D. 977,50 zł Zadanie 5.

Cenę towaru podniesiono o 20 % a następnie obniżono o 5%. Oblicz o ile procent należałoby jednorazowo zmienić cenę, aby uzyskać ten sam efekt.

Zadanie 6

Szansa wygrania na loterii zawierającej 120 losów wynosi 15 %. Ile losów wygrywających należy dołożyć, by szansa wygranej w tej loterii była większa niż 20 %

Zadanie 7.

W szkole tanecznej jest o 30 % dziewcząt więcej niż chłopców. Jaki procent wszystkich uczniów stanowią dziewczęta. Wynik zaokrąglij do dziesiątej części procentu.

Zadanie 8.

Liczba a jest o 25 % większa od liczby b. Wynika z tego, że liczba b jest mniejsza od liczby a o :

A. 25 % B. 20 % C. 120% D. 125 % Zadanie 9

Jeżeli bok kwadratu zmniejszymy o 10 % to jego pole zmniejszy się o:

A. 100 % B. 90 % C. 81 % D. 19 % Zadanie 10

50% liczby 4²⁰ jest równe

A. 2¹⁰ B. 2¹⁹ C. 239

D. 4¹⁰. ODPOWIEDZI I ROZWIĄZANIA W ROZDZIALE V

30

LOGARYTMY TEORIA I PRZYKŁADY

Zamiast od formalnej definicji logarytmu, , zaczniemy od pewnego uproszczenia, które powinno pomóc w zrozumieniu tego pojęcia. Otóż: obliczyć logarytm to podać wykładnik, do którego należy podnieść podstawę, by otrzymać liczbę logarytmowaną. Na schemacie wygląda to tak:

Przykład: Oblicz log3 9 liczba logarytmowana

log

9

podstawa logarytmu

Obliczenie tego logarytmu to innymi słowy podanie wykładnika, do którego należy podnieść 3 aby otrzymać 9. Czyli:

widać tu, że zamiast litery x powinniśmy wpisać dwa, czyli log ₃ 9 = 2 bo 3²= 9

Przechodząc do formalnej definicji logarytmu należy zapisać:

wtedy, gdy

Nie istnieją logarytmy z liczb ujemnych, nie liczymy też logarytmów przy podstawie 1 Zwyczajowo przy logarytmach o podstawie 10 nie zapisujemy tej podstawy i nazywamy je logarytmami dziesiętnymi i tak:

log 1000 rozumiemy jako i jest on równy 3, bo podobnie: log

Obliczanie logarytmów.

Przykład 1 / 30

1. Oblicz logarytmy z liczb

a)

b) c) d) e) Obliczenia:

a) = 1 bo b)

c) d)

31

e)

Przykład 2 /31 Oblicz b

a) log2b = 10 b) log b = 9 c) log ₂b 8 Obliczamy:

a) Z definicji logarytmu możemy zapisać 2¹⁰ = b czyli b=1024

b) b = 10⁹ a po podniesieniu do potęgi możemy zapisać, że b = 1000000000 c) b =

1 8

8 2 4

2 2 2 16

Właściwości logarytmów opisane za pomocą wzorów:

a, x, y > 0 oraz a ≠ 1

1. ^{log log log}

log 8 log125 log 8 125 log1000 3

a x a y a x y

2.

5 5 5 5

log log log :

log 0, 04 log 0.008 log 0, 04 : 0, 008 log 5 1

a x a y a x y

3. log_axⁿ nlog_ax

Obliczenia z zastosowaniem wzorów 1-3 Przykład 3 / 31

Oblicz:

a) b) Obliczenia:

a) =

b)

32

Przykład 1 /32 Wiadomo, że log x = ¹ 5 Oblicz; log x

Rozwiązanie

Nasze wyrażenie czyli log x doprowadzimy do postaci log x i skorzystamy z założenia że log x = ¹

5 log x=

1

log x2=(skorzystamy z wzoru 3) = 1

2^{log x =} 1 2 ^∙

1 5⁼

1 10

Przykład 5 /32

Uzasadnij prawdziwość równości;

log 30 = 1 + log 3

Przekształcimy prawą stronę tego równania P i pokażemy, że jest równa lewej stronie L

1+log 3…= . jedynkę zastąpimy logarytmem ze 100 1 = log10 mamy więc:

P = 1+log 3 = log 10 + log 3 = log (10 ∙3) = log 30 = L Przykład 2 / 32 Oblicz

1 2

log 2 2

Rozwiązanie

3

1 3

1 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

1 3

log 2 2 log 2 2 log 2 log

2 2

Przykład 3 / 32 Przedstaw w postaci log2

5 + log ₂ 5 Rozwiązanie

5 = log232 zatem 5 + log 2 5 = log232 + log 2 5 = log2160 Przykład 1/33

Oblicz

log ₂₀ 8 + log ₂₀ 2 +log ₂₀ 25 Rozwiązanie

log 20 8 + log 20 2 +log 20 25 = log20(8∙2∙25) =log20400 = 2

33

Przykład 1/33 Oblicz

log1620 – log165 Rozwiązanie

log1620 – log165 = log16(20 : 5) = log164 = ¹ 2 Przykład 2/33

Oblicz 2log 5+log 20 2log 5+log 20 = log 100 =2

TRTREENNIINNGG MMAATTUURRAALLNNYY 55// 3333 1. Liczba log₈2 jest równa

A -3 B -2 C -1/3 D 1/3

2 Dane są liczby a= log₃. ¹

9 b= log₃3 c= log₃ ¹ 27

Który z poniższych warunków jest prawdziwy: CKE poziom podstawowy2014r

A c < b < a B b< c < a C a < c < b D c < a < b 3, loga5 = ½ zatem, liczba a jest równa

A.5 B 25 C 1/5 D -5 4 log (0,1) +log 1 równa się

A 0,1 B -1 C.1 D –2 5. Liczba log 20 + log 4 - log 8 jest równa

A 10 B 1 C 0 D -1

ODPOWIEDZI I ROZWIĄZANIA W ROZDZIALE

34

Zadania na dowodzenie

W poniższych przykładach wykorzystamy zdobyte wiadomości i umiejętności do dowodzenia prostych własności.

Przykład 1/34

Wykaż, że liczba 6¹⁰⁰ – 2 ∙ 6⁹⁹ + 10 ∙ 6⁹⁸ jest podzielna przez 17.

Chcąc wykazać podzielność liczby przez 17 dążymy do tego by zapisać ja w postaci iloczynu takich czynników z których jeden jest wielokrotnością liczby 17

6¹⁰⁰ – 2 ∙ 6⁹⁹ + 10 ∙ 6⁹⁸ = 6⁹⁸ ( 6² – 2 ∙ 6 + 10 ) = 6⁹⁸ ( 36 – 12 + 10 ) = 6⁹⁸ ∙ 34

Widać z tego zapisu, że liczba z zadania jest podzielna przez 17 bo jej czynnik 34 jest podzielny przez 17, a to mieliśmy uzasadnić

Przykład 2 /34

Uzasadnij, że jeśli a + = 4 to a² + = 14

Założenie Teza a + = 2 a² + = 14

Uzasadnienie

ponieważ w tezie występują kwadraty liczby a, aby móc porównywać podnieśmy wyrażenie a + = 2 stronami do kwadratu

a² + 2 ∙ + = 16

a² + 2 + = 16

a² + = 14 co należało pokazać Przykład 3/34

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x 9x² + 1 ≥ 6x Uzasadnienie

Mamy uzasadnić, że nierówność 9x² + 1 ≥ 6x jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x w tym celu wszystkie wyrazy zapiszemy na lewej stronie nierówności

9x² + 1 - 6x ≥ 0 - widzimy, że lewa strona to kwadrat wyrażenia 3x – 1 zapiszemy to

9x² - 6x + 1 = (3x + 1)² ≥ 0 ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą większą lub równa 0, tym samym uzasadniliśmy naszą nierówność

35

SPSPRRAADDŹŹ CCZZYY ZZDDAASSZZ 11//3366

Zadanie 1

Wartość wyrażenia

19 18

18

5 5

5 wynosi

A.

5

5 C. 4 D. 5 Zadanie 2

Wartość wyrażenia ( x - ) (x + ) dla x = 3 jest równa

A. 4 B. 12 C. 6 D. 6 Zadanie 3

Najmniejszą liczbą nie spełniajacą nierówności x (x-1) (x – 2) < 0 jest A. 0 B. 1 C. -1 D. nie ma takiej liczby Zadanie 4

Po dwóch spadkach na giełdzie notowania spółki obniżyły się o 28 %.

W ramach pierwszego spadku, notowania obniżyły się 20 % zatem w czasie drugiego spadku notowania obniżyły się o

A 8% B. 10 % C. 14 % D. 4%

Zadanie 5

Oblicz wartość wyrażenia log312 – log34 – 4log41 Zadanie 6

. Wykaż, że liczba 7¹⁰⁰ - 7⁹⁹ – 2 ∙ 7⁹⁸ jest wielokrotnością 10 Zadanie 7

Uzasadnij, że dla a > 2 i b < 4 + 4n < b + 2a

Zadanie 8

Wykaż, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych, zmniejszona o 2 jest podzielna przez 3

Odpowiedzi i modele rozwiązań w rozdziale V

36