• Nie Znaleziono Wyników

Cwiczenie 1. Dane odwzorowanie F : C ´ 2 → C 2 postaci

N/A
N/A
Info
Pobierz
Protected

Academic year: 2021

Share "Cwiczenie 1. Dane odwzorowanie F : C ´ 2 → C 2 postaci"

Copied!
5
0
0

Ładowanie.... (Zobacz pełny tekst teraz)

Pobierz teraz ( 5 Stron )

Pełen tekst

(1)

Odwzorowania transponowane, wyznaczniki i ´ slad Javier de Lucas

Cwiczenie 1. Dane odwzorowanie F : C ´ 2 → C 2 postaci

[F ] E E =

 0 i

−i 0



w bazie kanonicznej E , sprawd´ z, ˙ze [F ] B E = ([F ∗ ] E B

∗∗

) T dla bazy B =  1

i

 ,

 1

−i



.

Rozwi¸ azanie: Najpierw obliczymy [F ] B E . Aby to zrobi´ c, korzystamy ze wzoru zmiany bazy

[F ] B E = [Id] B E [F ] E E [Id] E E . Skoro [Id] B B

00

to macierz jednostkowa dla dowolnej bazy B 0 , to

[F ] B E = [Id] B E [F ] E E . Aby obliczy´ c [Id] B E korzystamy ze wzoru

[Id] E B [Id] B B [Id] B E = [Id] E E . Z tego wynika bezpo´srednio, ˙ze

[Id] E B [Id] B E = Id ⇒ [Id] E B = ([Id] B E ) −1 . Wida´ c, ˙ze

[Id] E B =  1 1 i −i

 . Z tego

[Id] B E =  1 1 i −i

 −1

= 1 2

 1 −i 1 i



⇒ i

[F ] B E = 1 2

 1 −i 1 i

  0 i

−i 0



= 1 2

 −1 i 1 i



.

(2)

Teraz, obliczymy ([F ∗ ] E B

∗∗

) T . Najpierw, obliczymy B ∗ . Mamy, ˙ze baza sprz¸e˙zona do E = {e 1 , e 2 } to

[ω 1 ] E = [ 1 0 ], [ω 2 ] E = [ 0 1 ].

Teraz, mamy, ˙ze ¯ ω i (e j ) = δ j i . Wi¸ec,

¯

ω 1  1 i



= 1, ω ¯ 1

 1

−i



= 0,

¯

ω 2  1 i



= 0, ω ¯ 2

 1

−i



= 1.

Je˙zeli zapisujemy ¯ ω 1 = λ 11 ω 1 + λ 12 ω 2 i ¯ ω 2 = λ 21 ω 1 + λ 22 ω 2 , to [¯ ω 1 ] E = [ λ 11 λ 12 ], [¯ ω 2 ] E = [ λ 21 λ 22 ] i poprzednie warunki mo˙zna zapisa´ c w macierzowej postaci nast¸epuj¸ aco

 λ 11 λ 12 λ 21 λ 22

  1 1 i −i



=  1 0 0 1



⇒  λ 11 λ 12 λ 21 λ 22



=  1 1 i −i

 −1

= i 2

 −i −1

−i 1



i  λ 11 λ 12 λ 21 λ 22



= 1 2

 1 −i 1 i



=⇒ [¯ ω 1 ] E = 1

2 [ 1 −i ], [¯ ω 2 ] E = [ 1 i ].

Teraz

[F ∗ (¯ ω 1 )] E = [¯ ω 1 ◦ F ] E = [¯ ω 1 ]  [F ] E E = 1

2 [1 − i ][F ] E E i

[F ∗ (¯ ω 1 )] E = 1

2 [1 − i ]

 0 i

−i 0



= 1

2 [ −1 i ].

Natomiast,

[F ∗ (¯ ω 2 )] E = [¯ ω 2 ◦ F ] E = [¯ ω 2 ] E [F ] E E = 1

2 [1 i ][F ] E E , [F ∗ (¯ ω 2 )] E = 1

2 [1 i ]

 0 i

−i 0



= 1 2 [ 1 i ].

Wi¸ec,

[F ∗ (¯ ω 2 )] E B

∗∗

= 1 2

 −1 1 i i



→ ([F ∗ (¯ ω 2 )] E B

∗∗

) T = 1 2

 −1 i 1 i



= [F ] B E .



2

(3)

Cwiczenie 2. Niech F : E → E b¸edzie odwzorowaniem liniowym takim, ˙ze F ´ 2 = F i dim E < ∞. Udowodonij, ˙ze istnieje taka baza E dla kt´ orej [F ] E E ma posta´ c

1 0 . . . 0 0 . . . 0 0 1 . . . 0 0 . . . 0 . . . .

0 0 . . . 1 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0 . . . .

0 0 . . . 0 0 . . . 0

. (2.1)

Rozwi¸ azanie: Niech {e 1 , . . . , e k } b¸edzie baz¸a podprzestrzeni ker F . Uzupe lniamy t¸e baz¸e do bazy przestrzeni E dodaj¸ ac wektory e k+1 , . . . , e n . Mamy, ˙ze F (e 1 ) = . . . = F (e k ) = 0.

Skoro Im T = n − dim ker T , to dim ImF = n − k. Z tego wynika, ˙ze F (e k+1 ), . . . , F (e n ), kt´ ore rozpinaj¸ a Im F , s¸ a liniowo niezale˙zne. Ponadto, poniewa˙z F 2 (w) = F (w) dla dowolnego w ∈ E, to

F 2 (e α ) = F (e α ), α = k + 1, . . . , n.

Udowodnimy teraz, ˙ze e 1 , . . . , e k , F (e k+1 ), . . . , F (e n ) tworz¸ a baz¸e E. Wida´ c, ˙ze hF (e k+1 ), . . . , F (e n )i ∩ ker F = {0}.

W la´snie, je˙zeli w ∈ ker F to F (w) = 0 i je˙zeli w ∈ V = hF (e k+1 ), . . . , F (e n )i, to F (w) = w. Wtedy, je˙zeli w ∈ hF (e k+1 ), . . . , F (e n )i ∩ ker T , to w = F (w) = 0. Wi¸ec, wida´ c, ˙ze

{e 1 , . . . , e k } ∩ hF (e k+1 ), . . . , F (e n )i = {0}.

Z tego wynika bezpo´srednio, ˙ze ker F + V = E i ker T ⊕ V = E. Wi¸ec, {e 1 , . . . , e k , F (e k+1 ), . . . , F (e n )}

tworz¸ a baz¸e przestrzeni E. W tej bazie, F ma macierz (2.1). 

(4)

Cwiczenie 3. Kommutator macierzy przestrzeni wektorowej M ´ n (C) to [A, B] = A · B − B · A, A, B ∈ M n (C).

Udowodnij, ˙ze odwzorowanie b : (A, B) ∈ M n (C) × M n (C) 7→ [A, B] ∈ M n (C) to odw- zorowanie biliniowe alternuj¸ ace spe lniaj¸ ace

[A, [B, C]] = [[A, B], C] + [B, [A, C]], identyczno´s´ c Jacobiego,

dla dowolnych A, B, C ∈ M n (C). M´owi si¸e wtedy, ˙ze (M n (C), [·, ·]) to algebra Liego.

Ustal, ˙ze Tr[A, B] = 0 dla dowolnych macierzy A, B. Udowodnij, ˙ze z tego wynika, ˙ze zbi´ or macierzy bez´sladowych z dzia laniem b jest algebr¸ a Liego. Czy to jest te˙z prawda:

a) dla macierzy symetrycznych A = A T , b) dla macierzy antysymetrycznych A = −A T . Rozwi¸ azanie: Mamy, ˙ze

b(A, B) = [A, B] = (AB − BA) = −(BA − AB) = −[B, A] = −b(B, A), czyli b jest antysymetryczna, i

[[A, B], C]] + [B, [A, C]] = (AB − BA)C − C(AB − BA) + B(AC − CA) − (AC − CA)B

= (AB)C − C(−BA) + B(−CA) − (AC)B = ABC + CBA − BCA − ACB

= A(BC − CB) − (BC − CB)A = A[B, C] − [B, C]A = [A, [B, C]], czyli b spe lnia identyczno´s´ c Jacobiego. Podsumuj¸ ac, M n (C) to algebra Liego.

Wiemy, ˙ze Tr(AB) = Tr(BA) i Tr to odwzorowanie liniowe. Zatem, 0 = Tr(AB − BA) = Tr([A, B]). Z tego wynika, ˙ze mo˙zemy zdefiniowa´ c Tr : sl(n, R) ⊕ sl(n, R) → sl (n, R).

Warto udowodni´ c, ˙ze Tr(AB) = Tr(BA) korzystaj¸ ac z tego, ˙ze dla macierzy A typu n × n mamy, ˙ze TrA = P n

k=1 a kk . Wi¸ec, dla dowolnych macierzy A, B ∈ M n (C) mamy,

˙ze

Tr(AB) =

n

X

i=1

(AB) ii =

n

X

i=1 n

X

k=1

A ik B ki =

n

X

i=1 n

X

k=1

A ki B ik =

n

X

i=1

(BA) ii = Tr(BA).

Teraz dane macierze symetryczne A i B mamy, ˙ze

[A, B] T = (AB) T − (BA) T = B T A T − A T B T = BA − AB = [B, A] = −[A, B].

Z tego wynika, ˙ze macierz [A, B] nie jest symetryczna, gdy [A, B] 6= 0. Wi¸ec, og´ olnie nie mo˙zna powiedzie´ c, ˙ze zbi´ or macierzy symetrycznych jest algebr¸ a Liego.

4

(5)

Natomiast, dane macierze antysymetryczne A i B mamy, ˙ze

[A, B] T = (AB) T − (BA) T = B T A T − A T B T = BA − AB = [B, A] = −[A, B].

Z tego wynika, ˙ze macierz [A, B] jest antysymetryczna. Wi¸ec, zbi´ or macierzy an- tysymetrycznych jest algebr¸ a Liego razem z komutatorem.



Cwiczenie 4. Dane odwzorowanie F : E → E, gdzie E to przestrze´ ´ n liniowa sko´ nczonego wymiaru, wiemy, ˙ze

det F = det[F ] B B , Tr F = Tr[F ] B B

dla dowolnej bazy B. Udowodnij, ˙ze det F i Tr F s¸ a dobrze zdefiniowane (czyli niezale˙zne od bazy).

Rozwi¸ azanie: Wiemy, ˙ze dla dowolnych baz B i B 0 przestrzeni E sko´ nczonego wymiaru mamy

[F ] B B

00

= [Id] B B

0

[F ] B B [Id] B B

0

. (4.1) Skoro

[Id] = [Id] B B

00

= [Id] B B

0

[Id] B B

0

⇒ [Id] B B

0

= ([Id] B B

0

) −1 , (4.2) to

det[F ] B B

00

= det([Id] B B

0

[F ] B B [Id] B B

0

) = det([Id] B B

0

det[F ] B B det[Id] B B

0

) = det([Id] B B

0

det[Id] B B

0

) det[F ] B B i

det[F ] B B

00

= det([Id] B B

0

[Id] B B

0

) det[F ] B B = det([Id]) det[F ] B B = det[F ] B B . Korzystaj¸ ac znowu z (4.1) i (4.2), mamy, ˙ze

Tr([F ] B B

00

) = Tr([Id] B B

0

[F ] B B [Id] B B

0

) = Tr([F ] B B [Id] B B

0

[Id] B B

0

) = Tr[F ] B B .



Cytaty

Pobierz teraz ( PDF - 5 Stron - 263.09 KB )

Powiązane dokumenty

Szereg jest wi¦c zbie»ny

Korzystaj¡c z kryterium Leibniza otrzymujemy, »e szereg jest zbie»ny.. Wyj±ciowy szereg nie jest wi¦c

Funkcja f jest klasy C

W podobny sposób jak uzyskaliśmy pochodne drugiego i trzeciego rzędu poprzez dwu- i trzykrotne różniczkowanie funkcji, możemy zdefiniować 1 pochodną dowolnego rzędu 2 naturalnego

Ile mo˙zna utworzy˙c liczb z cyfr a) wi¸ekszych od 223 i mniejszych od 667

Spo´sr´ od 30, kt´ orzy nie chodzili na zaj¸ecia 19 my´sla lo, ˙ze zaliczy a 2 spo´sr´ od tych co nie chodzili na zaj¸ecia faktycznie zaliczy lo Matematyk¸e Dyskretn¸ a.. Ilu by

Cwiczenie 1. Policzy´ ´ c pochodn¸ a kierunkow¸ a funkcji:

[r]

Rozwi¸ azanie: Wida´ c, ˙ze funkcji f mo˙zna napisa´ c jako f (u(x, y)) gdzie f (u) = arctg(u), u(x, y) = x

Natomiast, musimy sprawdzi´ c, czy ta funkcja jest r´ o˙zniczkowalna w punktach (x, −x) gdzie podpierwiastkiem si¸e zeruje.. Je˙zeli funkcja f 1 jest r´ ozniczkowalna, jej

Cwiczenie 1. Policzy´ ´ c pochodn¸ a kierunkow¸ a funkcji:

Ponadto, w ∂K tylko mamy jeden

dla pewnych wielomiam´ ow g(X) i r(X) gdzie r(X) ma stopie´ n jeden, czyli r(X) = c 1 X +c 0 dla c 1 , c 0 ∈ R. Aby zagwarantowa´c, ˙ze f 1 jest podzielny przez f 2 , to musimy szuka´ c a, b takich, ˙ze r(X) = 0.

Z twierdzenia dzielenia wielomian´ ow wynika, ˙ze ta reszta ma stopie´ n jeden... Z twierdzenia dzielenia wielomian´ ow wynika, ˙ze ta reszta ma stopie´

Cwiczenie 2. Rozwi¸ ´ a˙z r´ ownania w ciele C:

Rozwi¸ azanie ka˙zdego zadania musi znaj- dowa´ c si¸e na osobnej kartce oraz by´ c napisane starannie i czytelnie.. ta funkcja jest nieujemna na ca lem zbiorze X lub niedodatnia na