Cwiczenie 1. Policzy´ ´ c pochodn¸ a kierunkow¸ a funkcji:

ANALIZA II 21, 24 i 28 marca 2014

Semestr letni

R´ o ˙zniczkowalno´ s´ c, pochodne, ekstremum funkcji

Cwiczenie 1. Policzy´ ´ c pochodn¸ a kierunkow¸ a funkcji:

ϕ(x ₁ , . . . , x _k ) =           

1 1 . . . 1

x ₁ x ₂ . . . x _k x ² ₁ x ² ₂ . . . x ² _k .. . .. . . . . .. . x ^k−1 ₁ x ^k−1 ₂ . . . x ^k−1 _k

w dowolnym punkcie p = (x ₁ , x ₂ , . . . , x _k ) w kierunku wektora h = [1, 1, . . . , 1].

Cwiczenie 2. W przestrzeni V := C([0, 1], R) okrelmy norm¸e wzorem ||v|| := sup ´ t∈[0,1] |v(t)|.

Znale´ c wz´ or na pochodn¸ a ∇ _h F (v) i zbada´ c r´ oniczkowalno´ c odwzorowania F : V → V zdefiniowanego wzorem: (F (v))(t) := R t

0 v ² := R t

0 (v(s)) ² ds

Cwiczenie 3. Korzystaj¸ ´ ac z definicji r´ oniczkowalnoci odwzorowania zbada´ c roniczkowalno´ c i ewentualnie obliczy´ c pochodn¸ a odwzorowa:

R ² 3 (x, y) 7−→ (x ² , 1 + x + x ² ) ∈ R ² , R ² 3 (x, y) 7−→ R x+y

a g(t)dt ∈ R.

W drugim przyk ladzie g jest funkcj¸ a ci¸ ag l¸ a na R.

1

ANALIZA II 21, 24 i 28 marca 2014

Semestr letni

Cwiczenie 4. Znale´ ´ z´ c najwi¸eksz¸ a warto´s´ c funkcji u(x, y) = sin x + sin y − sin(x + y) w tr´ oj¸ acie ograniczonym osi¸ a x, osi¸ a y i prost¸ a x + y = 2π.

Cwiczenie 5. Znale´ ´ z´ c ekstremalne warto´sci funkcji f (x, y) = (x + y)e ⁻⁽

^+2y) na zbiorze K := {(x, y) : x, y ≥ 0, x + y ≤ 1}.

Cwiczenie 6. Znale´ ´ z´ c wszsytkie ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x ⁴ + y ² − 2x ² y ² + 1.

Cwiczenie 7. Zbada´ ´ c punkty krytyczne funkcji

f (x, y, z) = x ² + y ² + z ² − xy + x + 2z.

Cwiczenie 8. Dla danych a, b, c > 0 znale´ ´ z´ c x, y, z > 0 spe lniaj¸ ace warunek: ^x _a

+ ^y _b

+

z

c

= 1, dla kt´ orych prostopad lo´scian o wierzcho lkach (±x, ±y, ±z) [wpisany w elipsoid¸e o p´ o losiach a, b, c] ma najwi¸eksz¸ a moliw¸ a obj¸eto´s´ c.

Cwiczenie 9. Wsr´ ´ od tr´ ojk¸ at´ ow o danym obwodzie 2p znale´ z´ c taki, dla kt´ orego bry la obrotowa powsta la przez obr´ ot dooko la jednego z bok´ ow ma najwi¸eksz¸ a objeto´s´ c.

2