l(u ⊗ v0) oraz je´sli rodziny {ui} i {vi} s¸a bazami U i V odpowiednio, to rodzina wszys- tkich iloczyn´ow ui⊗ vj tworzy baz¸e przestrzeni UN V

Algebraiczne aspekty kryptografii.

6. PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ

Niech U i V b¸ed¸a przestrzeniami wektorowymi nad cia lem K o wymiarach odpowied- nio m i n. Iloczyn tensorowy UN V jest mn-wymiarow¸a przestrzeni¸a nad K sk ladaj¸aca si¸e z kombinacji liniowych ”tensor´ow prostych” u ⊗ v, u ∈ U , v ∈ V . Przy tym zak ladamy, ˙ze

(ku + lu⁰) ⊗ v = k(u ⊗ v) + l(u⁰⊗ v);

u ⊗ (kv + lv⁰) = k(u ⊗ v) + l(u ⊗ v⁰) oraz

je´sli rodziny {u_i} i {v_i} s¸a bazami U i V odpowiednio, to rodzina wszys- tkich iloczyn´ow u_i⊗ v_j tworzy baz¸e przestrzeni UN V .

Je´sli H1 i H2 s¸a przestrzeniami Hilberta nad C to H¹N H2 te˙z jest przestrzeni¸a Hilberta wzgl¸edem iloczynu skalarnego zdefiniowanego nast¸epuj¸aco:

hX

i

a_i(u_i ⊗ v_i),X

j

b_j(u⁰_j ⊗ v_j⁰)i =X

ij

a_ib^∗_j · hu_i, u⁰_ji · hv_i, v_j⁰i.

Przekszta lcenie przestrzeni Hilberta (operator H w H) nazywa si¸e hermitowskim je´sli jego macierz [a_ij] w bazie ortonormalnej spe lnia warunek a_ij = a^∗_ji.

Operator T z przestrzeni Hilberta H1 w przestrze´n Hilberta H2 nazywa si¸e uni- tarnym je´sli T zachowuje iloczyn skalarny: hT (x), T (y)i = hx, yi.

Twierdzenie. Dla ka˙zdego operatora hermitowskiego T istnieje baza ortonor- malna sk ladaj¸aca si¸e z wektor´ow w lasnych T .

Oznacza to, ˙ze T jest kombinacj¸a liniow¸a rzutowa´nP

iriPi na odpowiednie wek- tory w lasne.

Niech S : U₁ → U₂ i T : V₁ → V₂ b¸ed¸a operatorami liniowymi. Definiujemy iloczyn tensorowy operator´ow S ⊗ T w spos´ob nast¸epuj¸acy:

S ⊗ T (u ⊗ v) = S(u) ⊗ T (v).

Zadanie 1. Udowodni´c: (a) Warto´s´c w lasna przekszta lcenia hermitowskiego jest liczb¸a rzeczywist¸a.

(b) Warto´s´c w lasna przekszta lcenia unitarnego ma modu l 1.

1

(c) Wektory w lasne przekszta lcenia unitarnego odpowiadaj¸ace r´o˙znym warto´sciom w lasnym s¸a ortogonalne.

(d) Niech A b¸edzie macierz¸a operatora S, a B b¸edzie macierz¸a operatora T w pewnych ustalonych bazach przestrzeni U₁, U₂, V₁ i V₂. Wtedy w odpowiednich bazach ten- sor´ow prostych operator S ⊗ T ma macierz C = A ⊗ B postaci c_(jk)(lm) = a_jlb_km (gdy wypisujemy macierz C stosujemy leksykograficzne uporz¸adkowanie indeks´ow).

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ

1. Stan uk ladu kwantowego jest reprezentowany przez unormowany element iloczynu tensorowego (C²)^⊗k:

(...(H₁O

H₂)O

....)O H_k, gdzie H_i ∼= CM

C wzgl¸edem izomorfizm´ow przestrzeni Hilberta, i ≤ k.

Elementy H_i s¸a oznaczane przez |hi, a tensory proste (...(|h₁i ⊗ |h₂i...) ⊗ |h_ki s¸a oznaczane przez |h₁h₂...h_ki. Ka˙zdy unormowany h ∈ H_i jest nazywany kubitem (superpozycja liniowa stan´ow |0i = (1, 0) i |1i = (0, 1)). Stany, kt´ore nie s¸a prezen- towane przez tensory proste nazywaj¸a si¸e spl¸atanymi.

Iloczyn skalarny hφ, ψi stan´ow |φi i |ψi jest oznaczany przez hψ|φi.

Wtedy rzutowanie P_ψ|φi jest r´owne |ψihψ|φi.

System oznacze´n Dirac’a traktuje |ui jako ko lumn¸e, a hu| - jako wiersz.

2. Liczba hψ|φi jest nazywana amplitud¸a prawdopodobie´nstwa znalezienia stanu |φi w |ψi i jest oznaczana a(φ → ψ). Prawdopodobie´nstwo przej´scia z sukcesem testu ψ przez φ jest okre´slone jako p(φ → ψ) = |a(φ → ψ)|².

3. Wie lko´sci fizyczne s¸a reprezentowane przez operatory hermitowskie nazywane obserwablami (=przekszta lcenia odpowiednich (C²)^⊗k). Obserwable T₁i T₂s¸a wyk- luczaj¸ace si¸e, je´sli komutator [T₁, T₂] = T₁T₂ − T₂T₁ jest nietrywialny (6= 0). Nie mo ˙zna jednocze´snie mierzy´c wykluczaj¸acych si¸e wielko´sci uk ladu kwan- towego.

Stan |φi wyklucza stan |ψi je´sli rzutowania P_φ i P_ψ s¸a wykluczaj¸ace si¸e.

4. Ewolucje dynamiczne ¹ uk lad´ow kwantowych s¸a reprezentowane s¸a przez operatory unitarne.

W obliczeniach kwantowych ustalamy baz¸e obliczeniow¸a przestrzeni stan´ow uk ladu kwantowego (C²)^⊗n w spo´ob nast¸epuj¸acy.

1np. przez oddzia lywanie pola magnetycznego

2

Baza obliczeniowa: Dla ka˙zdego 0 ≤ x ≤ 2ⁿ− 1 niech |xi = |x_n−1...x₀i, gdzie x = x₀ + 2x₁+ ... + 2ⁿ⁻¹x_n−1, x_i ∈ {0, 1}.

Zadanie 2. (a) Czy stan ^√1

2(|01i + |10i) jest spl¸atany ?

(b) Jaki warunek charakteryzuje kombinacje liniowe bazy {u_i⊗v_j}, kt´ore odpowiadaj¸a stanom niespl¸atanym?

Zadanie 3. (a) Pokaza´c, ˙ze ortonormalna baza stanowi test maksymalny, tzn.

sk lada si¸e ze stan´ow niewykluczaj¸acych si¸e i suma prawdopodobie´nstw przej´scia z sukcesem test´ow bazy jest r´owna 1.

(b) Bazy {u_i} i {v_i} s¸a dope lniaj¸ace si¸e, je´sli prawdopodobie´nstwo przej´scia z sukce- sem dowolnego testu jednej z nich przez dowolny element drugiej bazy jest r´owne _dim¹ . Poda´c przyk lad takich baz.

Zadanie 4.(a) Znale´z´c macierz przekszta lcenia unitarnego jednokubitowego√ not, tzn. po podw´ojnym zastosowaniu otrzymujemy

|0i → |1i , |1i → |0i.

(b) Niech f b¸edzie funkcj¸a ze zbioru wszystkich n-kubit´ow postaci |¯xi, x_i ∈ {0, 1}, w zbi´or m-kubit´ow postaci |¯yi, y_j ∈ {0, 1}.

Niech U_f b¸edzie przekszta lceniem m+n-kubitowym okre´slonym na wektorach bazowych przez

|¯x¯yi → |¯x(¯y ⊕ f (¯x))i , gdzie ⊕ oznacza dodawanie mod(2).

Pokaza´c, ˙ze przekszta lcenie Uf jest przekszta lceniem unitarnym.

OBWODY KWANTOWE (dodatkowa informacja)

Niech operator T dzia la na podzbiorze kubit´ow odpowiadaj¸acych indeksom zbioru I. Rozpatrzmy operator U = T [I] na ca lej przestrzeni stan´ow, kt´ory dzia la jako operator T zastosowany do rejestru I i to˙zsamo´sciowo na innych H_j.

Gdy I = {p}, to T [I] = Id{1,...,p−1}⊗ T ⊗ Id{p+1,...,n}. W przypadku I = {p₁, ..., p_r} prezentujemy

T = X

j1,...,jr,k1,...,kr∈{0,1}

t_{j1,...,jr,k1,...,kr}(|j₁ihk₁|) ⊗ ... ⊗ (|j_rihk_r|),

gdzie ka˙zdy sk ladnik traktujemy jako tensorowy produkt jedno-kubitowych opera- tor´ow

T₁⊗ ... ⊗ T_r.

Wtedy definujemy U = T [p1, ..., pr] jako odpowiedni¸a sum¸e r-krotnych superpozycji T [p₁] · ... · T [p_k].

Uwaga (´cwiczenie). Gdy p₁ 6= p₂, operatory T [p₁] i T [p₂] komutuj¸a.

Zadanie 5. (a) Jaka jest og´olna posta´c operator´ow T [1] i T [2] w przestrzeni (C²)^⊗2 dla jedno-kubitowego T ?

3

(b) Jaka jest og´olna posta´c operatora T [1, 3] w przestrzeni (C²)^⊗3 dla dwukubitowego T ?

(c) Przekszta lcenie unitarne jednokubitowe zdefiniowane na C ⊕ C w bazie |0i, |1i przez macierz

H = 1

√2[¹₁ ¹₋₁] jest nazywane bramk¸a Hadamara.

Jaka jest posta´c H[2] w przestrzeni H₁⊗ H₂ ⊗ H₃?

Obwody kwantowe. Niech A b¸edzie zbiorem operator´ow unitarnych na przestrzeni stan´ow. Zak ladamy, ˙ze A⁻¹ = A.

Obwodem kwantowym nad A nazywamy ci¸ag operator´ow U₁[I₁], ..., U_l[I_l], gdzie U_i ∈ A, a I_ijest podci¸agiem indeks´ow z {1, ..., n}. Wtedy m´owimy, ˙ze obw´od realizuje operator U = U_l[I_l] · · · U₁[I₁].

Liczba l jest rozmiarem obwodu. M´owimy, ˙ze g l¸eboko´s´c obwodu nie jest wy˙zsza ni˙z d, je´sli obw´od mo˙ze by´c zrealizowany na d poziomach, gdzie ka˙zdy poziom zawiera operatory, kt´orych rejestry I_j s¸a parami roz l¸aczne.

M´owimy, ˙ze operator U jest realizowany nad A ancillasowo (z pomocniczymi rejestrami) je´sli dla pewnego N > n istnieje operator W realizowany przez obw´od nad A w przestrzeni B^N, taki, ˙ze

W (|θi ⊗ |0^{N −n}i) = U (|θi) ⊗ |0^{N −n}i.

M´owimy, ˙ze operator T : B^⊗k → B^⊗k jest aproksymowalny ancillasowo przez operator U : B^⊗(k+l)→ B^⊗(k+l) z dok ladno´sci¸a δ, je´sli dla ka˙zdego |ξi ∈ B^⊗k zachodzi nier´owno´s´c

k U (|ξi ⊗ |0^⊗li) − T (|ξi) ⊗ |0^⊗li k≤ δ k |ξi k . BAZA STANDARDOWA.

Q = {K =1 0 0 i



, K⁻¹, CN OT, Λ(CN OT ), bramka Hadamara H = 1

√2

 1 1 1 − 1

 }, gdzie CN OT (odpowiednio Λ(CN OT )) jest przekszta lceniem unitarnym przestrzeni dwukubitowej (trzykubitowej) zdefiniowanym na wektorach bazowych w spos´ob nast¸epuj¸acy:

CN OT : |00i → |00i , |01i → |01i , |10i → |11i , |11i → |10i, Λ(CN OT ) : |0i ⊗ |xyi → |0i ⊗ |xyi , |1i ⊗ |xyi → |1i ⊗ CN OT (|xyi).

Twierdzenie o zupe lno´sci aproksymacyjnej. Niech C b¸edzie sko´nczon¸a baz¸a przestrzeni obwod´ow kwantowych.

Ka˙zdy obw´od kwantowy nad C rozmiaru L i g l¸eboko´sci d jest symulowany ancilla- sowo z dok ladno´sci¸a δ przez obw´od kwantowy nad baz¸a standardow¸a, kt´ory ma rozmiar O(Ln + n²log(n)) i gl¸eboko´s´c O(d · log(n) + log(n)²), gdzie n = O(log(L/δ)).

δ-Symulacja jest realizowana przez algorytm wielomianowy wzgl¸edem L.

4