l(u ⊗ v0) oraz je´sli rodziny {ui} i {vi} s¸a bazami U i V odpowiednio, to rodzina wszys- tkich iloczyn´ow ui⊗ vj tworzy baz¸e przestrzeni UN V

(1)

Obliczenia klasyczne i kwantowe.

4. PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ

Niech U i V b¸ed¸a przestrzeniami wektorowymi nad cia lem K o wymiarach odpowiednio m i n. Iloczyn tensorowy UN V jest mn-wymiarow¸a przestrzeni¸a nad K sk ladaj¸aca si¸e z kombinacji liniowych ”tensor´ow prostych” u ⊗ v, u ∈ U , v ∈ V . Przy tym zak ladamy, ˙ze

(ku + lu⁰) ⊗ v = k(u ⊗ v) + l(u⁰⊗ v);

u ⊗ (kv + lv⁰) = k(u ⊗ v) + l(u ⊗ v⁰) oraz

je´sli rodziny {u_i} i {v_i} s¸a bazami U i V odpowiednio, to rodzina wszystkich iloczyn´ow u_i⊗ v_j tworzy baz¸e przestrzeni UN V .

Je´sli H1 i H2 s¸a przestrzeniami Hilberta nad C to H¹N H2 te˙z jest przestrzeni¸a Hilberta wzgl¸edem iloczynu skalarnego zdefiniowanego nast¸epuj¸aco:

hX

i

a_i(u_i ⊗ v_i),X

j

b_j(u⁰_j ⊗ v_j⁰)i =X

ij

a_ib^∗_j · hu_i, u⁰_ji · hv_i, v_j⁰i.

Przekszta lcenie przestrzeni Hilberta (operator H w H) nazywa si¸e hermitowskim je´sli jego macierz [a_ij] w bazie ortonormalnej spe lnia warunek a_ij = a^∗_ji.

Operator T z przestrzeni Hilberta H1 w przestrze´n Hilberta H2 nazywa si¸e unitarnym je´sli T zachowuje iloczyn skalarny: hT (x), T (y)i = hx, yi.

Twierdzenie. Dla ka˙zdego operatora hermitowskiego T istnieje baza ortonormalna sk ladaj¸aca si¸e z wektor´ow w lasnych T .

Oznacza to, ˙ze T jest kombinacj¸a liniow¸a rzutowa´nP

iriPi na odpowiednie wektory w lasne.

Niech S : U₁ → U₂ i T : V₁ → V₂ b¸ed¸a operatorami liniowymi. Definiujemy iloczyn tensorowy operator´ow S ⊗ T w spos´ob nast¸epuj¸acy:

S ⊗ T (u ⊗ v) = S(u) ⊗ T (v).

Zadanie 1. Udowodni´c: (a) Warto´s´c w lasna przekszta lcenia hermitowskiego jest liczb¸a rzeczywist¸a.

(b) Warto´s´c w lasna przekszta lcenia unitarnego ma modu l 1.

1

(2)

(c) Wektory w lasne przekszta lcenia unitarnego odpowiadaj¸ace r´o˙znym warto´sciom w lasnym s¸a ortogonalne.

(d) Niech A b¸edzie macierz¸a operatora S, a B b¸edzie macierz¸a operatora T w pewnych ustalonych bazach przestrzeni U₁, U₂, V₁ i V₂. Wtedy w odpowiednich bazach tensor´ow prostych operator S ⊗ T ma macierz C = A ⊗ B postaci c_(jk)(lm) = a_jlb_km (gdy wypisujemy macierz C stosujemy leksykograficzne uporz¸adkowanie indeks´ow).

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ

1. Stan uk ladu kwantowego jest reprezentowany przez unormowany element iloczynu tensorowego (C²)^⊗k:

(...(H₁O

H₂)O

....)O H_k, gdzie H_i ∼= CM

C wzgl¸edem izomorfizm´ow przestrzeni Hilberta, i ≤ k.

Iloczyn skalarny hφ, ψi stan´ow |φi i |ψi jest oznaczany przez hψ|φi.

Wtedy rzutowanie P_ψ|φi jest r´owne |ψihψ|φi.

System oznacze´n Dirac’a traktuje |ui jako ko lumn¸e, a hu| - jako wiersz.

2. Liczba hψ|φi jest nazywana amplitud¸a prawdopodobie´nstwa znalezienia stanu |φi w |ψi i jest oznaczana a(φ → ψ). Prawdopodobie´nstwo przej´scia z sukcesem testu ψ przez φ jest okre´slone jako p(φ → ψ) = |a(φ → ψ)|².

3. Wie lko´sci fizyczne s¸a reprezentowane przez operatory hermitowskie nazywane obserwablami (=przekszta lcenia odpowiednich (C²)^⊗k). Obserwable T₁i T₂s¸a wykluczaj¸ace si¸e, je´sli komutator [T₁, T₂] = T₁T₂ − T₂T₁ jest nietrywialny (6= 0). Nie mo ˙zna jednocze´snie mierzy´c wykluczaj¸acych si¸e wielko´sci uk ladu kwantowego.

Stan |φi wyklucza stan |ψi je´sli rzutowania P_φ i P_ψ s¸a wykluczaj¸ace si¸e.

4. Ewolucje dynamiczne ¹ uk lad´ow kwantowych s¸a reprezentowane s¸a przez operatory unitarne.

W obliczeniach kwantowych ustalamy baz¸e obliczeniow¸a przestrzeni stan´ow uk ladu kwantowego (C²)^⊗n w spo´ob nast¸epuj¸acy.

1np. przez oddzia lywanie pola magnetycznego

2

(3)

Baza obliczeniowa: Dla ka˙zdego 0 ≤ x ≤ 2ⁿ− 1 niech |xi = |x_n−1...x₀i, gdzie x = x₀ + 2x₁+ ... + 2ⁿ⁻¹x_n−1, x_i ∈ {0, 1}.

Zadanie 2. (a) Czy stan ^√¹

2(|01i + |10i) jest spl¸atany ?

(b) Jaki warunek charakteryzuje kombinacje liniowe bazy {u_i⊗v_j}, kt´ore odpowiadaj¸a stanom niespl¸atanym?

Zadanie 3. (a) Pokaza´c, ˙ze ortonormalna baza stanowi test maksymalny, tzn.

sk lada si¸e ze stanów niewykluczaj¸acych si¸e i suma prawdopodobieństw przej´scia z sukcesem testów bazy jest równa 1.

(b) Bazy {u_i} i {v_i} s¸a dope lniaj¸ace si¸e, je´sli prawdopodobieństwo przej´scia z sukcesem dowolnego testu jednej z nich przez dowolny element drugiej bazy jest równe _dim¹ . Podać przyk lad takich baz.

Zadanie 4. Znale´z´c macierz przekszta lcenia unitarnego jednokubitowego √ not, tzn. po podw´ojnym zastosowaniu otrzymujemy

|0i → |1i , |1i → |0i.

Niech operator T dzia la na podzbiorze kubitów odpowiadaj¸acych indeksom zbioru I. Rozpatrzmy operator U = T [I] na ca lej przestrzeni stanów, który dzia la jako operator T zastosowany do rejestru I i to˙zsamo´sciowo na innych Hj.

Gdy I = {p}, to T [I] = Id{1,...,p−1}⊗ T ⊗ Id{p+1,...,n}. W przypadku I = {p₁, ..., p_r} prezentujemy

T = X

j1,...,jr,k1,...,kr∈{0,1}

t_j₁_,...,j_r_,k₁_,...,k_r(|j₁ihk₁|) ⊗ ... ⊗ (|j_rihk_r|),

gdzie ka˙zdy sk ladnik traktujemy jako tensorowy produkt jedno-kubitowych operator´ow

T₁⊗ ... ⊗ T_r.

Wtedy definujemy U = T [p₁, ..., p_r] jako odpowiedni¸a sum¸e r-krotnych superpozycji T [p₁] · ... · T [p_k].

Uwaga (´cwiczenie). Gdy p₁ 6= p₂, operatory T [p₁] i T [p₂] komutuj¸a.

Zadanie 5. (a) Jaka jest ogólna postać operatorów T [1] i T [2] w przestrzeni (C²)^⊗2 dla jedno-kubitowego T ?

(b) Jaka jest og´olna posta´c operatora T [1, 3] w przestrzeni (C²)^⊗3 dla dwukubitowego T ?

(c) Przekszta lcenie unitarne jednokubitowe zdefiniowane na C ⊕ C w bazie |0i, |1i przez macierz

H = 1

√2[¹₁ ¹₋₁] jest nazywane bramk¸a Hadamara.

Jaka jest posta´c H[2] w przestrzeni H₁⊗ H₂ ⊗ H₃?

3

(4)

Niech f b¸edzie funkcj¸a ze zbioru wszystkich n-kubitów postaci |¯xi, x_i ∈ {0, 1}, w zbiór m-kubitów postaci |¯yi, y_j ∈ {0, 1}.

Niech U_f b¸edzie przekszta lceniem m+n-kubitowym okre´slonym na wektorach bazowych przez

|¯x¯yi → |¯x(¯y ⊕ f (¯x))i , gdzie ⊕ oznacza dodawanie mod(2).

Lemat. Przekszta lcenie U_f jest przekszta lceniem unitarnym. (´cwiczenie)

4