Przy tym zak ladamy, ˙ze Je´sli rodziny {ui} i {vi} s¸a bazami U i V odpowiednio, to rodzina wszys- tkich iloczyn´ow ui⊗ vj tworzy baz¸e przestrzeni UN V

ALGEBRAICZNE ASPEKTY KRYPTOGRAFII

LISTA 2: Kryptografia kwantowa i obliczenia kwantowe.

Niech U i V b¸ed¸a przestrzeniami wektorowymi nad cia lem K o wymiarach odpowied- nio m i n. Iloczyn tensorowy UN V jest mn-wymiarow¸a przestrzeni¸a nad K sk ladaj¸aca si¸e z kombinacji liniowych ”tensor´ow prostych” u ⊗ v, u ∈ U , v ∈ V . Przy tym zak ladamy, ˙ze

Je´sli rodziny {u_i} i {v_i} s¸a bazami U i V odpowiednio, to rodzina wszys- tkich iloczyn´ow u_i⊗ v_j tworzy baz¸e przestrzeni UN V ;

(ku + lu⁰) ⊗ v = k(u ⊗ v) + l(u⁰⊗ v);

u ⊗ (kv + lv⁰) = k(u ⊗ v) + l(u ⊗ v⁰).

Je´sli H₁ i H₂ s¸a przestrzeniami Hilberta nad C to H1N H₂ te˙z jest przestrzeni¸a Hilberta wzgl¸edem iloczynu skalarnego zdefiniowanego nast¸epuj¸aco:

hX

i

a_i(u_i ⊗ v_i),X

j

b_j(u⁰_j ⊗ v_j⁰)i =X

ij

a_ib^∗_j · hu_i, u⁰_ji · hv_i, v_j⁰i.

Przekszta lcenie przestrzeni Hilberta (operator H w H) nazywa si¸e hermitowskim je´sli jego macierz [a_ij] w bazie ortonormalnej spe lnia warunek a_ij = a^∗_ji.

Twierdzenie. Dla ka˙zdego operatora hermitowskiego T istnieje baza ortonor- malna sk ladaj¸aca si¸e z wektor´ow w lasnych T .

Oznacza to, ˙ze T jest kombinacj¸a liniow¸a rzutowa´nP

ir_iP_i na odpowiednie wek- tory w lasne.

POSTULATY MIECHANIKI KWANTOWEJ

1. Stan uk ladu kwantowego jest reprezentowany przez unormowany element iloczynu tensorowego (C²)^⊗k:

(...(H₁O

H₂)O

....)O H_k, gdzie Hi ∼= CM

C wzgl¸edem izomorfizm´ow przestrzeni Hilberta, i ≤ k.

Elementy H_i s¸a oznaczane przez |hi, a tensory proste (...(|h₁i ⊗ |h₂i...) ⊗ |h_ki s¸a oznaczane przez |h₁h₂...h_ki. Ka˙zdy unormowany h ∈ H_i jest nazywany kubitem

(superpozycja liniowa stan´ow |0i = (1, 0) i |1i = (0, 1)). Stany, kt´ore nie s¸a prezen- towane przez tensory proste nazywaj¸a si¸e spl¸atanymi.

Iloczyn skalarny hφ, ψi stan´ow |φi i |ψi jest oznaczany przez hψ|φi.

Wtedy rzutowanie P_ψ|φi jest r´owne |ψihψ|φi.

2. Liczba hψ|φi jest nazywana amplitud¸a prawdopodobie´nstwa znalezienia stanu |φi w |ψi i jest oznaczana a(φ → ψ). Prawdopodobie´nstwo przej´scia z sukcesem testu ψ przez φ jest okre´slone jako p(φ → ψ) = |a(φ → ψ)|².

3. Wie lko´sci fizyczne s¸a reprezentowane przez operatory hermitowskie nazywane obserwablami (=przekszta lcenia odpowiednich (C²)^⊗k). Obserwable T1i T2s¸a wyk- luczaj¸ace si¸e, je´sli komutator [T₁, T₂] = T₁T₂ − T₂T₁ jest nietrywialny (6= 0). Nie mo ˙zna jednocze´snie mierzy´c wykluczaj¸acych si¸e wielko´sci uk ladu kwan- towego.

Stan |φi wyklucza stan |ψi je´sli rzutowania P_φ i P_ψ s¸a wykluczaj¸ace si¸e.

4. Ewolucje dynamiczne ¹ uk lad´ow kwantowych s¸a reprezentowane s¸a przez operatory unitarne (tzn. zachowuj¸ace iloczyn skalrny).

Twierdzenie. Ka˙zda transformacja unitarna w (C²)^⊗k mo˙ze by´c zapisana jako iloczyn jednokubitowych transformacji unitarnych i dwukubitowych transformacji cNOT (na odpowiednich iloczynach tensorowych):

|00i → |00i , |01i → |01i , |10i → |11i , |11i → |10i.

Zadanie 1. (a) Czy stan ^√1₂(|01i + |10i) jest spl¸atany ?

(b) Jaki warunek charakteryzuje kombinacje liniowe bazy {u_i⊗v_j}, kt´ore odpowiadaj¸a stanom niespl¸atanym?

Zadanie 2. (a) Pokaza´c, ˙ze ortonormalna baza stanowi test maksymalny, tzn.

sk lada si¸e ze stan´ow niewykluczaj¸acych si¸e i suma prawdopodobie´nstw przej´scia z sukcesem test´ow bazy jest r´owna 1.

(b) Bazy {u_i} i {v_i} s¸a dope lniaj¸ace si¸e, je´sli prawdopodobie´nstwo przej´scia z sukce- sem dowolnego testu jednej z nich przez dowolny element drugiej bazy jest r´owne _dim¹ . Poda´c przyk lad takich baz.

Zadanie 3. Znale´z´c macierz przekszta lcenia unitarnego jednokubitowego √ not, tzn. po podw´ojnym zastosowaniu otrzymujemy

|0i → |1i , |1i → |0i.

1np. przez oddzia lywanie pola magnetycznego

Zadanie 4. (a) Warto´s´c w lasna przekszta lcenia hermitowskiego jest liczb¸a rzeczy- wist¸a.

(b) Warto´s´c w lasna przekszta lcenia unitarnego ma modu l 1.

(c) Wektory w lasne przekszta lcenia unitarnego odpowiadaj¸ace r´o˙znym warto´sciom w lasnym s¸a ortogonalne.

Przekszta lcenie unitarne jednokubitowe zdefiniowane na pewnym H_i w bazie |0i,

|1i przez macierz

H = 1

√2[¹₁ ¹₋₁]

(i to˙zsamo´sciowo na innych H_j) jest nazywane bramk¸a Hadamara.

Niech f b¸edzie funkcj¸a ze zbioru wszystkich n-kubit´ow postaci |¯xi, x_i ∈ {0, 1}, w zbi´or m-kubit´ow postaci |¯yi, y_j ∈ {0, 1}.

Niech U_f b¸edzie przekszta lceniem m+n-kubitowym okre´slonym na wektorach bazowych przez

|¯x¯yi → |¯x(¯y ⊕ f (¯x))i.

Lemat. Przekszta lcenie U_f jest przekszta lceniem unitarnym. (´cwiczenie)

Niech f b¸edzie funkcj¸a boolowsk¸a 1-argumentow¸a. Rozwa˙zmy nast¸epuj¸ace oblicze- nie kwantowe (algorytm Deutscha).

|0i ⊗ |1i ⇒ H(|0i) ⊗ H(|1i) ⇒

⇒ warto´s´c bramki H pierwszego kubitu w Uf(H(|0i)⊗H(|1i)) (uwaga: stan nie jest spl¸atany) ⇒

⇒ pomiar: zastosowa´c P|0i.

Twierdzenie. Wynik powy˙zszego obliczenia jest nietrywialny (tzn. niezerowa ampli- tuda prawdopodobie´nstwa testu |0i; r´ownowa˙znie: zerowa amplituda prawdopodobie´nstwa testu |1i ) wtedy i tylko wtedy, gdy f (0) = f (1).

Zadanie 5. (Algorytm Deutscha-Jozsy) Niech f b¸edzie funkcj¸a boolowsk¸a 2- argumentow¸a. Rozwa˙zmy nast¸epuj¸ace obliczenie kwantowe.

|0i ⊗ |0i ⊗ |1i ⇒ H(|0i) ⊗ H(|0i) ⊗ H(|1i) ⇒

⇒ warto´s´c bramki H⊗H pierwszego i drugiego kubitu w U_f(H(|0i)⊗H(|0i)⊗H(|1i)) ⇒

⇒ pomiar: zastosowa´c P|00i.

Udowodni´c, ˙ze wynik powy˙zszego obliczenia ma modu l 1 wtedy i tylko wtedy, gdy f jest sta la.

Udowodni´c, ˙ze wynik powy˙zszego obliczenia jest zerowy wtedy i tylko wtedy, gdy f przyjmuje tyle samo zer, ile jedynek (zr´ownowa˙zona).

Znale´z´c uog´olnienie dla funkcji n-argumentowych.

Baza obliczeniowa: Dla ka˙zdego 0 ≤ x ≤ 2ⁿ− 1 niech |xi = |x_n−1...x₀i, gdzie x = x₀ + 2x₁+ ... + 2ⁿ⁻¹x_n−1, x_i ∈ {0, 1}.

Kwantowa transfomata Fouriera jest okre´slona jako przekszta lcenie unitarne U_{F T} zadane w bazie obliczeniowej przez 2ⁿ× 2ⁿ-macierz o wsp´o lczynnikach

(UF T)yx = hy|UF Txi = 1

2^n/2(cos(xy2π/2ⁿ) + isin(xy2π/2ⁿ)) = 1

2^n/2e^i2πxy/2n. Lemat-´cwiczenie. Pokaza´c, ˙ze U_{F T} jest przeszta lceniem unitarnym.

Zastosujmy U_{F T} do stanu kwantowego ψ =

2ⁿ−1

X

x=0

f (x)|xi , gdzie f (x) = hx|ψi ,

2ⁿ−1

X

x=0

|f (x)|² = 1.

Amplituda prawdopodobie´nstwa znalezienia stanu |φi = U_{F T}|ψi w |yi jest r´owna warto´sci w y dyskretnej transformaty Fouriera funkcji f (x):

a(φ → y) = hy|φi =

2ⁿ−1

X

x=0

hy|U_{F T}xihx|ψi = 1 2^n/2

2ⁿ−1

X

x=0

e^ixy2π/2nf (x).

Twierdzenie. U_{F T} jest iloczynem O(n²) bramek Hadamara i przekszta lce´n typu² R_d : |0i → |0i , |1i → e^iπ/2d|1i w wersji ”sterowanej”: control.

Agorytm Shor’a.

Niech f (x) b¸edzie funkcj¸a okresow¸a o okresie r (tzn. ∀xf (x) = f (x + r)) tak¸a, ˙ze ka˙zda r´owno´s´c f (z + s) = f (z) implikuje, ˙ze r|s.

Startuj¸ac w stanie n + m-kubitowym

|φi = 1 2^n/2(

2ⁿ−1

X

x=0

|xi) ⊗ |0...0i znajdujemy stan

|ψi = U_f|φi = 1 2^n/2

2ⁿ−1

X

x=0

|xi ⊗ |f (x)i.

Jest to superpozycja wszystkich stan´ow postaci

|ψ_ii ⊗ |f_ii , gdzie |ψ_ii = 1

√ K

K−1

X

k=0

|x_i + kri i

K = [2ⁿ/r] , a xi jest najmniejsz¸a warto´sci¸a z f (x) = fi. Aplikujemy U_{F T} do np. |ψ₀i i stosujemy pomiar do otrzymanego |φ₀i.

Uwaga: p(y) = |a(φ₀ → y)|² = 1 2ⁿK|

K−1

X

k=0

e^ikry2π/2n|² , dla wektora bazowego |yi.

2sprawdzi´c, ˙ze jest unitarne

Lemat. Wynik pomiaru z prawdopodobie´nstwem 40 proc. spe lnia nier´owno´s´c

|y − j2ⁿ r | ≤ 1

2 , dla pewnego j ∈ N.

Twierdzenie. Wynik pomiaru pozwala znale´z´c okres r z prawdopodobie´nstwem 24 proc.

Uwaga-´cwiczenie. Prawdopodobie´nstwo, ˙ze dwie du˙ze liczby ca lkowite b¸ed¸a wzgl¸ednie pierwsze wynosi conajmniej 60 proc.

Zadanie 6. (a) Pokaza´c, ˙ze po przekszta lceniu u lamka la´ncuchowego w posta´c liczby wymiernej ^s_t otrzymujemy (s, t) = 1.

(b) Pokaza´c, ˙ze je´sli (r, j) = 1 i liczba wymierna u spe lnia nier´owno´s´c |u − ^j_r| ≤ _2r¹2, to u lamek la´ncuchowy dla ^j_r jest reduktem u lamka la´ncuchowego dla u.

(np. wykorzysta´c twierdzenie Eulera/Lagrange’a o najlepszej approksymacji)