,1,,11  ii Zestaw 3A

Zestaw 3A

Zad 1. Narysować zbiór liczb zespolonych spełniających nierówność: ^z_z^_^{3 }₃^{i 2}

Zad 2. Rozwiązać równanie ^{z4 (2i)8} czyli wyznaczyć pierwiastki ^{4 (2i)8}

Zad 3. Znaleźć macierz X spełniającą równanie XA2A^T A² gdzie

 







 







 5 4 2

0 1 0

3 2 1 A

Zad 4. Rozwiązać układ równań liniowych

3 8

0 2

1 2

















 z y x

z y x

z y x

Zad 5, Wyznaczyć rząd macierzy

 

 





 

 







0 1 2 3 1

1 0 2 1 2

4 5 0 3 1

5 4 0 1 2 A

Ad. Zad 1.

Zad 1.

Narysować zbiór liczb zespolonych spełniających nierówność: ^z_z^_^{3 }₃^{i 2}

Rozwiązanie

3 2 3 3 2

2 3 3

3     



 

 

 z i z

z i z z

i z

Jeżeli ^{zxyi x,yR} to ^{z3i 2z3 xyi3i 2xyi3  x(y3)i 2x3yi }







































( 3)² 2 ( 3)^{2 2 2 2} 6 9 4 ² 24 36 4 ² 0 3( ² 8 ² 2 9)

2 y x y x y y x x y x x y y

x

0 2

0 2

2 2

2 8 16 16 2 1 8 8 ( 4) ( 1) 8 2 2

0x  x   y  y    x  y   zz   zz gdzie ^z0 ^{ 4 i}.

Jest to zewnętrze okręgu o środku w punkcie ^z0 ^{ 4 i} i promieniu r 82 2.

Ad. Zad 2.

Zad 2.

Rozwiązać równanie ^{z4 (2i)8} czyli wyznaczyć pierwiastki ^{4 (2i)8} .

Rozwiązanie

 ⁱ  ^{z i i}

z i

z

⁴

 ( 2  )

⁸

  ( 2  )

^{8 14}

  ( 2  )

²

 3  4

będzie jednym z pierwiastków tego równania czyli jednym z pierwiastków ^{4 (2i)8 4 1(2i)8 4 1(34i)} ponieważ



^{4 1(34i)}

  

^{4  4 14}

^

^34i

^

^{4 1(2i)8 (2i)8}

. Ponieważ ⁴ 1



1,i,1,i



to



i i i i i i

 

i i i i



i) 3 4, (3 4 ), (3 4 ), (3 4 ) 3 4,4 3, 3 4, 4 3

2 (

4  8               .

Ad. Zad 3.

Zad 3 . Znaleźć macierz X spełniającą równanie XA2A^T A^{2 gdzie}

 







 







 5 4 2

0 1 0

3 2 1 A

Rozwiązanie

16 5 5 4 2 0 1 0 3 2 1

det A  

Zatem A^1 istnieje.

A A A X AA

A A A XJ A

AA A

A AA

X A

A A A

XA) ^1(2 ^T  ²) ^1 ( ^1)2 ^{T 1}( ) ^1 ₃2 ^{T 1} ( ^1) 2 ^{T 1} (

 







 









 







 







 

 

 

 

 





 

 

 

 





 

 







 













1- 0 2 0 1 0 3 2- 5- 1 0 3- 0 1- 2 2- 0 5 1 1

1 0 2 1 0 0 - 3 1 0 1 3 2

4 2 - 2 1 5 2 3 1 5 4 - 3 2

4 2 1 0 5 2 - 0 0 5 4 0 1

1 1 5 4 2 0 1 0 3 2 1 ¹

1

T T

A

 







 









 







 









 







 









 







 









 







 







 







 









13 8- 8- 4 5- 4- 5 2- 1- 5 4 2 0 1 0 3 2 1 4 6- 5- 2 3- 2- 1 2- 1- 2 5 4 2 0 1 0 3 2 1 1- 0 2 0 1 0 3 2- 5- 5 0 3 4 1 2 2 0 1 2X

Ad. Zad 4.

Zad 4. Rozwiązać układ równań liniowych

 

 





















3 8

0 2

1 2

z y x

z y x

z y x

Rozwiązanie

Macierz główna układu

 







 







 1 8 1

2- 1- 1

1- 2 1

A

ⁱ

02161841 1 8 1 2- 1- 1 1- 2 1 1 8 1 2- 1- 1 1- 2 1

det  

 







 







A

zatem układ nie jest układem Cramera. Stosując najprostszą wersję metody eliminacji Gaussa dla macierzy rozszerzonej otrzymamy:

 _



 



 

 







 









 







 









 







 







 



 1- 1- 3- 0

2 1- 1 2 0 0 0 0 1- 1- 3- 0 2 1- 1 2 2 2 6 0 1- 1- 3- 0 1 1- 2 1 3 1 8 1 0 2- 1-1 1 1- 2 1

, 23 3 , 12 2

, 13

3 2www

www

BA www

Otrzymaliśmy układ równań równoważny

Ct tz y t x t

Ct tt tx tt

y tt tz zy

zyx zyx

zyx zyx



 





 









 

 



 





 







 

 

 

 



 



 

 



 

 

 









3 1

3 15

3 15 3

)1(2 33 3 21 1

3 1 3 1 1 3

12 38

02

12

Zad 5, Wyznaczyć rząd macierzy

 

 





 

 







0 1 2 3 1

1 0 2 1 2

4 5 0 3 1

5 4 0 1 2 A

Rozwiązanie

Rząd macierzy nie zmienia się gdy do dowolnego wiersza /kolumny/ dodamy inny wiersz /kolumnę/pomnożoną przez dowolną liczbę lub pomnożymy przez liczbę różną od zera. Wykorzystując te własności w wierszu lub kolumnie zamieniamy współczynniki na zera. Następnie skreślamy kolumnę i wiersz z elementem pozostałym różnym od zera dodając 1 do rzędu macierzy. Następnie cykl powtarzamy w pozostałej macierzy. Wiersz lub kolumnę zerową można skreślić.

1 1- 2- 1 3 4 5 3 1 1 1 1- 2- 1 4 5 3 1 0 0 0 0 1 1 1- 2- 1 4 5 3 1 5 4 1 2 1 0 1 2 3 1 1 1- 0 2- 1 4 5 0 3 1 5 4 0 1 2

0 1 2 3 1 1 0 2 1 2 4 5 0 3 1 5 4 0 1 2

, 321 1 , 43

3 



 



 

 







 









 







 









 

 





 

 







 

 





 

 





 rzrzA  rzrzrzrz

wwww

www

ponieważ

05 2- 1 3 1

det 



 





co oznacza, że

2 1 1- 2- 1 4 5 3 1 2- 1

3 1

 

 



 



 



 rzrz