Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI

Dodając( bądź odejmując) do siebie dwa wektory (lub więcej), dodajemy (bądź odejmujemy) ich odpowiednie współrzędne. MnoŜąc wektor przez liczbę rzeczywistą, mnoŜymy kaŜdą współrzędną danego wektora przez tę liczbę.

Zadanie 1

Oblicz sumę i róŜnicę podanych wektorów: u→₁ =

[

−1,2,3

]

, u→₂ =

[

2,−5,6

]

.

Rozwiązanie: Mamy:

[

1,2,3

] [

2, 5,6

]

[

1 2,2

( )

5,3 6

] [

1, 3,9

]

2 1+ = − + − = − + + − + = − → → u u

[

1,2,3

] [

2, 5,6

]

[

1 2,2

( )

5,3 6

] [

3,7, 3

]

2 1− = − − − = − − − − − = − − → → u u . Zadanie 2 Dane są wektory 1 =

[

1,−1,3

]

→ u , 2 =

[

4,1,−5

]

→ u , 3 =

[

2,3,−5

]

→ u . Wyznacz wektor →u =3u→3−u→2+2u→1 . Rozwiązanie:

MoŜemy obliczyć po kolei : 3u→3 , −u→2 , 2u→1 , a następnie dodać do siebie otrzymane wektory. Mamy zatem:

[

6,9, 15

]

3 3 = − → u , − 2 =

[

3,−3,9

]

→ u , 2 1 =

[

2,−2,6

]

→ u ,

i dalej:

( ) ( )

[

6 3 2, 9 3 2 , 15 9 6

] [

11,4,0

]

2 3 3− 2+ 1 = + + + − + − − + + = = → → → → u u u u Długość wektora

[ ]

2 ,y R x u = ∈ →

obliczamy korzystając z następującego wzoru:

2 2 y x u = + →

. Oczywiście dla wektorów z przestrzeni 3

R wzór jest

analogiczny, czyli jeśli

[

]

3 , ,y z R x u = ∈ → , to 2 2 2 z y x u = + + → .

Iloczynem skalarnym pary wektorów niezerowych →u, →w nazywamy liczbę

rzeczywistą równą = ⋅ ⋅cosα → → → → w u w

uo , gdzie

α

jest kątem zawartym między

tymi wektorami. Jeśli przynajmniej jeden z wektorów jest zerowy, to przyjmujemy, Ŝe iloczyn skalarny tych wektorów jest równy 0 . Innym sposobem na obliczenie iloczynu skalarnego jest następujący wzór:

Jeśli u =

[

u1,u2

]

, w=

[

w1, w2

]

→ → , to u w=u1⋅w1 +u2 ⋅w2 → → o ; Jeśli u =

[

u₁,u₂,u₃

]

, w=

[

w₁, w₂,w₃

]

→ → , to u w=u₁⋅w₁+u₂⋅w₂ +u₃⋅w₃ → → o .

ZauwaŜmy, Ŝe iloczyn skalarny dwóch wektorów niezerowych jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są prostopadłe. Mówimy równieŜ w takiej sytuacji, Ŝe wektory te są ortogonalne.

Zadanie 6.

Oblicz długości następujących wektorów:

a) =

[ ]

3,−1 → u b)

PQ

→ ;P=

(

−1,0,5

)

;Q=

(

2,3,−1

)

Rozwiązanie: a) →u = 32 +

( )

−1 2 = 9+1= 10

b) Aby obliczyć długość wektora, korzystając z podanego powyŜej wzoru, obliczymy najpierw jego współrzędne: =

[

2−

( )

−1,3−0,−1−5

] [

= 3,3,−6

]

→ PQ , i dalej:

( )

6 9 9 36 54 9 6 3 6 3 32 + 2 + − 2 = + + = = ⋅ = = → PQ . Zadanie 7.

Oblicz iloczyn skalarny następujących par wektorów. Czy podane wektory są ortogonalne?

a) =

[ ]

1,−4 → u , =

[ ]

−2,1 → v b) =

[

2,6,2

]

→ u , =

[

−2,1,−1

]

→ v Rozwiązanie:

a) Aby sprawdzić, czy podane wektory są ortogonalne, obliczymy ich iloczyn skalarny:

( ) ( )

2 4 1 6 1⋅ − + − ⋅ =− = → → v

uo , zatem wektory nie są ortogonalne. b) Mamy : =2⋅

( )

−2 +6⋅1+2⋅

( )

−1 =−4+6−2=0 → → v uo , zatem wektory te są ortogonalne.

Jeśli macierz A ma n kolumn oraz l wierszy, to mówimy, Ŝe jest ona wymiaru

l

n× . Wyraz tej macierzy, znajdujący się w i-tym wierszu i j-tej kolumnie, oznaczamy symbolem aij.

Sumą (róŜnicą) macierzy A i B jest macierz C, której kaŜdy wyraz jest sumą (róŜnicą) odpowiednich wyrazów macierzy Ai B, tj. cij =aij +bijw przypadku

sumy, oraz c_ij =a_ij −b_ijw przypadku róŜnicy. Oczywiście, aby dało się dodać (odjąć) dwie macierze A i B, muszą być one tego samego wymiaru.

Iloczynem macierzy A przez liczbę rzeczywistą a nazywamy macierz a⋅A, której kaŜdy wyraz jest iloczynem odpowiedniego wyrazu macierzy A przez liczbę a.

Macierzą transponowaną do macierzy A wymiaru n×l nazywamy macierz

T

A , która powstaje przez zastąpienie i−tej kolumny macierzy A i−tym

wierszem , dla kaŜdego i=1,2,...,l. W wyniku takiej zamiany miejscami wierszy i kolumn, otrzymujemy macierz o wymiarze l×n.

Macierz kwadratowa to kaŜda macierz, w której liczba kolumn jest równa liczbie wierszy. Główną przekątną macierzy kwadratowej A wymiaru n×n (w skrócie- wymiaru n) nazywamy wyrazy a₁₁,a₂₂,...,a_nn.

Macierzą jednostkową nazywamy macierz kwadratową dowolnego wymiaru, w której kaŜdy wyraz na głównej przekątnej jest równy 1, zaś wszystkie pozostałe są równe 0. Oznaczamy ją I.

Zadanie 8.

Dla podanych macierzy:

          − − = 2 0 3 4 5 1 A ,       − − − = 1 2 0 3 1 3 B , oblicz a) T B A+ , b) AT −3B. Rozwiązanie:

a) Wyznaczymy najpierw macierz transponowaną do B:

          − − − = 1 3 2 1 0 3 T B ,

a następnie wykonamy dodawanie:

( )

( )

( )

         − − − =           − + − + + − + + − + − = + 1 3 1 5 5 4 1 2 3 0 2 3 1 4 0 5 3 1 T B A .

b) Wyznaczymy najpierw macierz transponowaną do A:

      − − = 2 3 5 0 4 1 T A ,

oraz obliczymy iloczyn macierzy B przez liczbę 3:       − − − = 3 6 0 9 3 9 3B . Mamy następnie:

( )

( )

( )

      − =       − − − − − − − − − − − = − 5 9 5 9 1 8 3 2 6 3 0 5 9 0 3 4 9 1 3B AT .

Iloczynem dwóch macierzy: A o wymiarze n×l, oraz B o wymiarze l×k, nazywamy macierz C wymiaru n×k, w której kaŜdy wyraz c_ijliczymy posługując się następującym wzorem: cij =ai1⋅b1j +ai2⋅b2j +...+ail ⋅blj.

Zadanie 8.

Dla podanych macierzy

          − − = 3 1 2 3 0 1 A , _      − = 2 4 2 1 B , oblicz: a) T A B⋅ , b) A ⋅B c)

(

)

T A I B−4 ⋅

d) 2

B

Rozwiązania:

a) Zaczniemy od wyznaczenia macierzy T

A : _      − − = 3 2 0 1 3 1 T A . Macierz t A B⋅

ma wymiar 2×3; obliczymy wg. wzoru wyrazy cij macierzy T A

B⋅ : ( przez

a będziemy oznaczać odpowiednie wyrazy macierzy AT, zaś b- wyrazy macierzy B )

( ) ( )

1 2 0 1 0 1 1 21 12 11 11 11 =b ⋅a +b ⋅a = ⋅ − + − ⋅ =− + =− c ,

( )

2 2 3 4 1 3 1 22 12 12 11 12 =b ⋅a +b ⋅a = ⋅ + − ⋅ = − =− c ,

( ) ( )

2 3 1 6 7 1 1 23 12 13 11 13 =b ⋅a +b ⋅a = ⋅ + − ⋅ − = + = c ,

( )

1 2 0 4 0 4 4 21 22 11 21 21 =b ⋅a +b ⋅a = ⋅ − + ⋅ =− + =− c , 16 4 12 2 2 3 4 22 22 12 21 22 =b ⋅a +b ⋅a = ⋅ + ⋅ = + = c ,

( )

3 4 6 2 2 1 4 23 22 13 21 23 =b ⋅a +b ⋅a = ⋅ + ⋅ − = − =− c . Mamy więc:       − − − − = ⋅ 2 16 4 7 1 1 T A B .

MnoŜenie macierzy wydaje się prostsze, gdy zapiszemy dane macierze w tabeli takiej jak poniŜej; wówczas w kaŜdym z sześciu pól wpisujemy sumę iloczynów odpowiednich wyrazów :

-1 0 3 2 1 -3 1 -2 1⋅

( ) ( )

−1 + −2 ⋅0 1⋅3+

( )

−2 ⋅2 1⋅1+

( ) ( )

−2 ⋅ −3 4 2 4⋅

( )

−1 +2⋅0 4⋅3+2⋅2 4⋅1+2⋅

( )

−3

Wykonując teraz obliczenia w kaŜdym z pól, polegające na pomnoŜeniu przez siebie kaŜdego wyrazu wiersza pierwszej macierzy, przez odpowiedni wyraz kolumny drugiej macierzy, otrzymujemy wynik taki sam, jak wtedy, gdy

posługiwaliśmy się definicją iloczynu macierzy. Metoda pokazana tutaj zmniejsza moŜliwość pomyłki przy podstawianiu do wzoru.

b) Skorzystamy z tabeli: 1 4 -2 2 -1 0

( )

−1 ⋅1+0⋅4

( ) ( )

−1⋅ −2 +0⋅2

3 2 3⋅1+2⋅4 3⋅

( )

−2 +2⋅2 1 -3 1⋅1+

( )

−3 ⋅4 1⋅

( ) ( )

−2 + −3 ⋅2

Z tabeli odczytujemy, Ŝe

          − − − − = ⋅ 8 11 2 11 2 1 B A .

c) Obliczymy najpierw macierz

      − − − =       −       − =       ⋅ −       − = − 1 4 2 3 4 0 0 4 2 4 2 1 1 0 0 1 4 2 4 2 1 4I B , a następnie

zapiszemy macierze w odpowiedniej tabeli:

-1 0 3 2 1 -3 -3 -2

( ) ( ) ( )

−3 ⋅ −1 + −2 ⋅0

( ) ( )

−3 ⋅3+ −2 ⋅2

( ) ( ) ( )

−3 ⋅1+ −2 ⋅ −3 4 -1 4⋅

( ) ( )

−1 + −1 ⋅0 4⋅3+

( )

−1 ⋅2 4⋅1+

( ) ( )

−1 ⋅ −3 skąd odczytujemy, Ŝe

(

)

_      − − = ⋅ − 7 10 4 3 13 3 4I AT B .

d) Symbol 2

B rozumiemy jako iloczyn B⋅B. 1 4 -2 2 1 -2 1⋅1+

( )

−2 ⋅4 1⋅

( ) ( )

−2 + −2 ⋅2 4 2 4⋅1+2⋅4 4⋅

( )

−2 +2⋅2 czyli _      − − − = 4 12 6 7 2 B .

Wyznacznik macierzy kwadratowej jest liczbą rzeczywistą, którą obliczamy w następujący sposób: 1) Jeśli _      = d c b a A , to detA=ad−bc; 2) Jeśli           = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A , to 12 21 33 23 32 11 13 22 31 23 12 31 32 21 13 33 22 11 detA=a a a +a a a +a a a −a a a −a a a −a a a . Uwaga!

Wyznacznik, będący pewną liczbą rzeczywistą, posiada kaŜda macierz kwadratowa, jednak sposoby obliczania wyznaczników macierzy większego wymiaru, są bardziej skomplikowane; pomijamy je tutaj .

Jeśli macierz jest wymiaru 2×2, mówimy o wyznaczniku drugiego stopnia; jeśli 3×3- to trzeciego, itd

Zadanie 10.

Oblicz wyznaczniki macierzy:

a) _      − − = 2 3 1 5 A b)           − − = 2 2 0 6 1 2 3 0 1 A Rozwiązania:

a) Zgodnie z powyŜszym, prostym wzorem, mamy:

( ) ( )

2 3 1 7 5

macierz, dopisując dodatkowo dwie pierwsze kolumny: 2 0 1 2 0 1 2 2 0 6 1 2 3 0 1 det − − − − = A

Będziemy następnie mnoŜyć przez siebie wyrazy znajdujące się na głównej przekątnej macierzy A oraz wzdłuŜ dwóch kolejnych linii równoległych do głównej przekątnej; otrzymane iloczyny dodajemy. Podobne działania wykonamy zaczynając od drugiej przekątnej macierzy A, otrzymane w ten sposób iloczyny iloczyny będziemy odejmować od sumy poprzednich:

( ) ( )

− ⋅ − − ⋅ ⋅ −

( )

− ⋅ ⋅ − ⋅

( )

− ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = − − − − = 11 2 0 6 0 3 2 2 0 1 3 2 6 1 2 2 0 2 0 1 2 0 1 2 2 0 6 1 2 3 0 1 det A 26 12 12 2+ + = = .

Rzędem dowolnej macierzy Anazywamy stopień największego ( w sensie wymiaru) podwyznacznika niezerowego macierzy A.

Zadanie 11 Oblicz rząd macierzy

A

. a)       − − = 3 1 2 2 2 4 A

b)         − = 2 1 1 1 0 3 A c)           − − − = 1 1 3 0 3 1 1 0 2 A Rozwiązania:

a) Rząd tej macierzy moŜe być równy co najwyŜej 2; zapiszemy wszystkie podwyznaczniki drugiego stopnia:

1 2 2 4 − − , 3 1 2 2 − oraz 3 2 2 4 − . Mamy: 0 4 4 1 2 2 4 = − = − − ; 6 2 8 0 3 1 2 2 ≠ − = − − = −

, zatem nie ma potrzeby obliczania trzeciego podwyznacznika drugiego stopnia; stwierdzamy, Ŝe rząd macierzy A jest równy 2; piszemy rzA=2.

b) Rząd tej macierzy moŜe być równy co najwyŜej 3; jedynym jej podwyznacznikiem trzeciego stopnia jest wyznacznik macierzy A. Mamy zatem:

( )

1 9 0 2 6 0 0 1 1 0 3 1 2 2 1 1 1 0 3 3 1 2 det = + − + − − − = − − − = A , zatem rzA<3.

Spróbujemy teraz znaleźć podwyznacznik drugiego stopnia, róŜny od zera:

( )

3 3 0 0 0 3 1 2 ≠ = − − = − , zatem rzA=2.

c) Podobnie jak poprzednio, rzA≤3. Aby stwierdzić, czy zachodzi równość, obliczymy wyznacznik macierzy A:

( ) ( )

1 9 0 0 14 0 0 6 1 3 3 1 0 2 1 1 3 0 3 1 1 0 2 det = + + − − − − − = ≠ − − − − = A , zatem rzA=3.

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA

Zadanie 1 Dane są wektory ₁

=

[

3

,

−

1

,

2

]

→

u

, ₂

=

[

−

5

,

1

,

−

2

]

→

u

, ₃

=

[

2

,

−

8

,

4

]

→

u

Wyznacz wektor →

u

a) → → → →

+

−

=

_{1 2 3}

2

1

3

2

u

u

u

u

b) → → → →

+

−

=

u

₃

u

₂

2 u

₁

u

c) → → → →

−

+

−

=

2

u

1

u

2

u

3

u

Zadanie 2 Wyznacz wektor → → → →

+

−

=

2

u

₁

3

u

₂

5

u

₃

u

, jeŜeli a) ₁

=

[

−

2

,

1

]

→

u

, ₂

=

[ ]

0

,

2

→

u

, ₃

=

[ ]

−

1

,

3

→

u

b) ₁

=

[

0

,

1

,

2

]

→

u

, ₂

=

[

−

2

,

3

,

4

]

→

u

, ₃

=

[

1

,

−

1

,

1

]

→

u

c) ₁

=

[

4

,

−

2

,

0

]

→

u

, ₂

=

[

3

,

2

,

−

1

]

→

u

, ₃

=

[

1

,

2

,

0

]

→

u

Zadanie 3

Oblicz długości następujących wektorów:

c)

=

[

2

,

−

4

]

→

u

d)

=

[ ]

1

,

3

,

1

→

u

e)

=

[

2

,

1

,

6

]

→

u

f)

=

[

1

,

−

3

,

5

]

→

u

g)

PQ

→ ;

P

=

( )

1

,

3

;

Q

=

(

2

,

−

4

)

h)

PQ

→ ;

P

=

(

1

,

−

3

,

2

)

;

Q

=

(

0

,

0

,

1

)

i)

PQ

→ ;

P

=

(

−

1

,

3

,

4

)

;

Q

=

(

−

1

,

3

,

7

)

j)

PQ

→ ;

P

=

(

0

,

3

,

1

)

;

Q

=

(

1

,

2

,

2

)

Zadanie 4

Oblicz iloczyn skalarny następujących par wektorów. Czy podane wektory są ortogonalne? c)

=

[

2

,

−

4

]

→

u

, =

[ ]

−3,1 → v d) =

[ ]

1,−2 → u , =

[ ]

4,2 → v e) =

[ ]

0,2 → u , =

[ ]

−1,1 → v f) =

[

2,−4,2

]

→ u , =

[

−3,1,5

]

→ v g) =

[

1,−1,0

]

→ u , =

[

−2,1,0

]

→ v h) =

[

3,−1,2

]

→ u , =

[

−2,4,6

]

→ v Zadanie 5

Dla podanych macierzy: _      − − = 2 1 2 0 3 1 A , _      − = 1 0 7 8 5 1 B , oblicz c)

A

+

B

, d)

2

A

−

B

, e)

−

3

A

+

5

B

, f)

2

A

T

−

3

B

T, g)

A

B

2

3

2

1

+

Zadanie 6

Dla podanych macierzy      − = 1 0 0 2 3 1 A ,      − = 1 3 2 1 B , oblicz: e)

B

⋅

A

, f)

A

T

⋅

B

g)

(

B

−

2

I

)

⋅

A

h)

A

T

⋅

(

B

+

3

I

)

Zadanie 7 Oblicz

A

⋅

B

, jeŜeli a) _     − = 4 2 1 0 1 3 A ,           = 3 2 1 B b) _      = 2 3 0 1 A , _      = 0 3 1 2 0 1 B c) _     − = 2 1 2 3 0 1 A ,           − = 0 1 1 0 2 1 B d)

A

=

[

−

1

2

4

]

,           − = 2 3 0 1 2 1 B

e)           − = 4 3 1 4 2 1 A , _      ₋ = 2 1 3 0 1 0 2 1 B Zadanie 8

Oblicz wyznaczniki macierzy:

c)

5

3

2

1

−

d)

4

1

1

0

−

e)

2

1

1

1

3

0

2

1

1

−

f)

1

2

1

1

3

0

1

1

3

−

−

g)

3

0

1

1

2

1

3

4

5

−

−

h)

1

1

0

5

4

3

2

1

2

−

i)

2

1

1

0

5

3

4

2

1

−

j)

1

2

3

0

1

5

3

2

1

k)

1

5

2

1

1

3

4

0

2

−

−

l)

3

1

4

2

0

1

4

3

1

−

−

−

Oblicz rząd macierzy

A

. d)       − − = 3 4 2 0 2 1 A e)           − − − = 0 1 1 1 1 0 1 2 1 A f)           − − = 2 2 3 1 0 0 1 2 3 A g) _      − − − = 1 2 6 4 3 1 3 2 A h)           − − = 0 2 0 1 0 1 1 2 1 A ODPOWIEDZI Zadanie 1 a)

[

22,−9,12

]

b)

[

13,−11,10

]

c)

[

−13,11,−10

]

Zadanie 2 a)

[

−9,11

]

b)

[

11,−12,−3

]

c)

[

4,0,3

]

a) =2 5 → u b) = 11 → u c) =3 → u d) =3 → u e) =5 2 → u f) = 11 → u g) =3 → u h) = 3 → u Zadanie 4 a) →_uo→v =−10, nie b) →_uo→v =0, tak c) =2 → → v uo , nie d) →_uo→v =0, tak e) →_uo→v =−3, nie f) =2 → → v uo , nie Zadanie 5 a)       −3 1 9 8 8 0 b)       − − − − 3 2 3 8 1 3 c)       −3 1 29 40 16 8 d)           − − − − − 1 24 2 9 17 5 e)         − 2 5 2 1 2 231 9 12 Zadanie 6 a)       − − 7 9 3 0 3 1 b)           − − 5 1 6 3 2 1 c)       − − − 5 9 3 4 9 3 d)          − − 8 7 6 6 2 2

Zadanie 7 a)      − 17 1 b)       6 6 5 2 0 1 c)      − − 5 0 2 4 d)       −10 13 e)           − − 11 4 6 3 2 1 11 4 5 2 4 1 Zadanie 8 a) detA=11 b) detA=1 c) detA=−2 d) detA=19 e) detA=40 f) detA=7 g) detA=−30 h) detA=12 i) detA=40 j) detA=13 Zadanie 9 a) rzA=2 b) rzA=2 c) rzA=3 d) rzA=2 e) rzA=2