T3(x) dla x ∈ (0,π2)

Seria zadań domowych nr 1, AM I, 22.3.2019 Termin oddania: 2.4.2019

Proszę wybrać 7 zadań.

Zadanie 1. Niech T₃(x) będzie wielomianem Taylora stopnia 3 w x₀ = 0 dla funkcji f (x) = sin x + tg x.

(a) Wyznacz wielomian T₃.

(b) Pokaż, że f (x) > T₃(x) dla x ∈ (0,^π₂).

Zadanie 2. Znajdź a, b, c, d dla których istnieje skończona granica

x→0limx⁻⁵ e^x− 1 + ax + bx² 1 + cx + dx²

!

.

Zadanie 3. Wykaż, że dla funkcji f (x) =

( x + x²sin_x² dla x 6= 0,

0 dla x = 0

mamy f⁰(0) > 0, a mimo to nie istnieje δ > 0 taka, że funkcja f jest rosnąca na (−δ, δ).

Zadanie 4. Liczby a₁, a₂, . . . , a_n są nieujemne, t ∈ R. Kładziemy

M_t=







₁

n

Pn

i=1a^t_i^1/t dla t 6= 0, (^Qn_i=1a_i)^1/n dla t = 0.

Wykaż, że dla t₁ ¬ t₂ zachodzi M_t1 ¬ M_t2. Zadanie 5. Uzasadnij wzór

|x| = 1 − 1

2(1 − x²) −

∞

X

n=2

1 2n

1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 3)

2 · 4 · 6 · . . . · (2n − 2)(1 − x²)ⁿ. dla −1 ¬ x ¬ 1.

Zadanie 6. Oblicz granicę

limx→0

tg(tg x) − sin(sin x) tg x − sin x . Zadanie 7. Wykaż, że

(a) cos²x sin x ­ ⁻²

3√

3 dla dowolnego x ∈ R, (b) _sin¹2x ¬ _x¹2 + 1 − _π⁴2 dla x ∈ [0,^π₂].

Zadanie 8. Co jest większe

tg α

tg β czy α β, jeśli 0 < α < β < ^π₂.

Zadanie 9. Korzystając ze wzoru ^π₄ = arctg¹₂ + arctg¹₃ znajdź liczbę wymierną α taką, że

|π

4 − α| < 10⁻⁵. Odpowiedź proszę dokładnie uzasadnić.

Zadanie 10. Znajdź rozwinięcie Taylora funkcji arc sin w x₀ = 0, a następnie dokończ i uza- sadnij wzór

π 6 = 1

2+ 1 2· 1

3 · 2³ + . . . Zadanie 11. Liczby a, b, c są dodatnie. Uzasadnij nierówność

a⁴ + b⁴+ c⁴ a + b + c

!(a+b+c)/3

> a^ab^bc^c.

Zadanie 12. Naszkicuj wykres funkcji

f (x) = ln x²− 3x + 2 x²+ 1 .

(Określ dziedzinę funkcji. Znajdź granice na końcach przedziałów dziedziny funkcji. Znajdź przedziały monotoniczności, przedziały na których funkcja jest wypukła/wklęsła. ) Zadanie 13. Niech f (x) = sin ln(x). Wyznaczyć wszsytkie a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, że f jest

(a) jednostajnie ciągła na (0, a];

(b) jednostajnie ciągła na [b, +∞);

(c) lipschitzowska na [c, +∞);

(d) lipschitzowska na (0, d];

Zadanie 14. Funkcja f : [0, +∞) → R jest ciągła i ma asymptotę ukośną w +∞. Udowodnij, że f jest jednostajnie ciągła

2