LIGA MATEMATYCZNA PADZIERNIK 2011
SZKOA PONADGIMNAZJALNA
ZADANIE 1.
Znajd¹ wszystkie funkcje f : R → R takie, »e
xf (x) − f (1 − x) = 2 dla ka»dej liczby rzeczywistej x.
ZADANIE 2.
W ostrok¡tnym trójk¡cie ABC poprowadzono wysoko±ci AD i CE. Znajd¹ miar¦ k¡ta przy wierzchoªku B, je»eli wiadomo, »e |AC| = 2|DE|.
ZADANIE 3.
Znajd¹ wszystkie liczby trzycyfrowe n takie, »e f (n)
n = 1,
gdzie f(n) oznacza sum¦ cyfr liczby n, iloczynu jej cyfr oraz trzech iloczynów ró»nych par cyfr liczby n.
ZADANIE 4.
Dana jest liczba rzeczywista b, gdzie b 6∈ {−1, 0, 1}. Deniujemy liczby a n w nast¦puj¡cy sposób:
a 1 = b−1 b+1 a n+1 = a a
n−1
n