Funkcje p i q nazywamy wsp´o lczynnikami r´ownania, a funkcj¸e f wyrazem wolnym tego r´ownania

R´ownania r´o ˙zniczkowe zwyczajne

1 R´ownanie r´o ˙zniczkowe liniowe drugiego rz¸edu

R´ownanie r´o˙zniczkowe drugiego rz¸edu, kt´ore mo˙zna zapisa´c w postaci

y⁰⁰+ p(x)y⁰+ q(x)y = f (x) (1)

nazywamy r´ownaniem liniowym. Funkcje p i q nazywamy wsp´o lczynnikami r´ownania, a funkcj¸e f wyrazem wolnym tego r´ownania.

Twierdzenie Je˙zeli funkcje p, q i f s¸a ci¸ag le w przedziale [a; b] oraz x₀ ∈ [a; b], y₀, y₁ ∈ R, to zagadnienie pocz¸atkowe

y⁰⁰+ p(x)y⁰ + q(x)y = f (x), y(x₀) = y₀, y⁰(x₀) = y₁, (2) ma dok ladnie jedno rozwi¸azanie. Rozwi¸azanie to okre´slone jest w przedziale [a; b]. 

2 R´ownanie r´o ˙zniczkowe liniowe jednorodne

Je˙zeli w r´ownaniu (1) wyraz wolny jest to˙zsamo´sciowo r´owny zeru, to r´ownanie takie nazywamy r´ownaniem liniowym jednorodnym, czyli

y⁰⁰+ p(x)y⁰ + q(x)y = 0. (3)

Funkcje y₁ = y₁(x), y₂ = y₂(x), x ∈ [a; b] nazywamy liniowo niezale˙znymi w przedziale [a; b], je˙zeli istniej¸a a₁, a₂ ∈ R takie, ˙ze

a₁y₁(x) + a₂y₂(x) = 0, x ∈ [a; b] =⇒ a₁ = a₂ = 0.

W przeciwnym przypadku funkcje te nazywamy liniowo zale˙znymi w przedziale [a; b].

Przyk lad Funkcje a) e^x, e^2x, x ∈ R, b) e^x, xe^x, x ∈ R

s¸a liniowo niezale˙zne. Natomiast funkcje

c) 4 − x, 3x − 12, x ∈ R, d) cos 2x, sin 2x − ^π₂
, x ∈ R s¸a liniowo zale˙zne.

Niech y₁ = y₁(x), y₂ = y₂(x), x ∈ [a; b] b¸ed¸a r´o˙zniczkowalne. Wyra˙zenie

W (y₁, y₂) =     

y₁(x) y₂(x) y⁰₁(x) y₂⁰(x)

(4)

nazywamy wro´nskianem funkcji y₁, y₂.

Przyk lad Je˙zeli y₁(x) = e^x, y₂(x) = e^2x, x ∈ R, to

W (y₁, y₂) =     

e^x e^2x e^x 2e^2x

= e^3x.

Je˙zeli y₁(x) = 4 − x, y₂(x) = 3x − 12, x ∈ R, to

W (y₁, y₂) =     

4 − x 3x − 12

−1 3

= 0.

Twierdzenie Niech y₁ = y₁(x), y₂ = y₂(x), x ∈ [a; b] b¸ed¸a r´o˙zniczkowalne. W´owczas y₁, y₂ s¸a liniowo niezale˙zne w przedziale (a; b) wtedy i tylko wtedy, gdy W (y₁, y₂) 6= 0 dla x ∈ [a; b]. 

Funkcje y₁ = y₁(x), y₂ = y₂(x), x ∈ [a; b] nazywamy uk ladem fundamentalnym (uk ladem podstawowym) r´ownania (3), je˙zeli

? funkcje te s¸a rozwi¸azaniami tego r´ownania w przedziale [a; b],

? W (y₁, y₂) 6= 0 dla x ∈ [a; b].

Twierdzenie Niech y₁ = y₁(x), y₂ = y₂(x), x ∈ [a; b] b¸edzie uk ladem fundamentalnym r´ownania (3). Wtedy wyra˙zenie

y(x) = C₁y₁(x) + C₂y₂(x), x ∈ [a; b], (5) gdzie C₁, C₂ s¸a dowolnymi sta lymi rzeczywistymi, przedstawia rozwi¸azanie og´olne r´ownania (3). 

Przyk lad Rozwa˙zmy r´ownanie y⁰⁰+ y⁰ − 2y = 0.

Latwo sprawdzi´c, ˙ze funkcje y1(x) = e^x oraz y2(x) = e^−2x spe lniaj¸a to r´ownanie dla x ∈ R.

Ponadto

W (y₁, y₂) =     

e^x e^−2x e^x −2e^−2x

= −3e^−x6= 0 x ∈ R, co oznacza, ˙ze funkcje te tworz¸a uk lad fundamentalny. Zatem

y(x) = C₁e^x+ C₂e^−2x jest rozwi¸azaniem og´olnym tego r´ownania.

3 R´ownanie r´o ˙zniczkowe liniowe jednorodne o sta lych wp´o lczynnikach

Rozwa˙zmy r´ownanie

y⁰⁰+ py⁰ + qy = 0, (6)

gdzie p, q ∈ R.

R´ownanie postaci

λ²+ pλ + q = 0 (7)

nazywamy r´ownaniem charakterystycznym r´ownania (7), natomiast wielomian w(λ) = λ²+ pλ + q

nazywamy wielomianem charakterystycznym tego r´ownania.

Twierdzenie Je˙zeli λ₁, λ₂ s¸a rzeczywistymi i r´o˙znymi pierwiastkami r´ownania charakte- rystycznego (8), to uk lad fundamentalny r´ownania (7) tworz¸a funkcje

y₁(x) = e^λ1x, y₂(x) = e^λ2x, a rozwi¸azanie og´olne tego r´ownania ma posta´c

y(x) = C₁e^λ1x+ C₂e^λ2x, gdzie C₁, C₂ ∈ R. 

Przyk lad Rozwa˙zmy r´ownanie y⁰⁰− 4y⁰ + 3y = 0.

R´ownanie charakterystyczne tego r´ownania jest postaci λ²− 4λ + 3 = 0 i ma pierwiastki λ1 = 1, λ2 = 3. Zatem uk lad fundamentalny tworz¸a funkcje

y₁(x) = e^x, y₂(x) = e^3x i RORJ jest postaci

y(x) = C₁e^x+ C₂e^3x.

Twierdzenie Je˙zeli λ0, jest rzeczywistym podw´ojnym pierwiastkiem r´ownania charakte- rystycznego (8), to uk lad fundamentalny r´ownania (7) tworz¸a funkcje

y₁(x) = e^λ0x, y₂(x) = xe^λ0x, a rozwi¸azanie og´olne tego r´ownania ma posta´c

y(x) = C₁e^λ0x+ C₂xe^λ0x, gdzie C₁, C₂ ∈ R. 

Przyk lad Rozwa˙zmy r´ownanie y⁰⁰− 4y⁰ + 4y = 0.

R´ownanie charakterystyczne tego r´ownania jest postaci λ²− 4λ + 4 = 0 i ma pierwiastek λ₀ = 2.

Zatem uk lad fundamentalny tworz¸a funkcje

y₁(x) = e^2x, y₂(x) = xe^2x i RORJ jest postaci

y(x) = C₁e^2x+ C₂xe^2x.

Twierdzenie Je˙zeli λ₁ = α + jβ, λ₂ = λ₁ = α − jβ, gdzie α ∈ R, β ∈ R+ s¸a zespolonymi pier- wiastkami r´ownania charakterystycznego (8), to uk lad fundamentalny r´ownania (7) tworz¸a funkcje

y₁(x) = e^αxcos βx, y₂(x) = e^αxsin βx, a rozwi¸azanie og´olne tego r´ownania ma posta´c

y(x) = e^αx· (C₁cos βx + C₂sin βx) , gdzie C1, C2 ∈ R. 

Przyk lad Rozwa˙zmy r´ownanie y⁰⁰− 4y⁰ + 5y = 0.

R´ownanie charakterystyczne tego r´ownania jest postaci λ²−4λ+5 = 0 i ma pierwiastki λ₁ = 2+j, λ₂ = 2 − j. Zatem uk lad fundamentalny tworz¸a funkcje

y₁(x) = e^2xcos x, y₂(x) = e^2tsin x i RORJ jest postaci

y(x) = e^2x· (C₁cos x + C₂sin x) .

4 R´ownanie r´o ˙zniczkowe liniowe niejednorodne o sta lych wp´o lczynnikach

Rozwa˙zmy r´ownanie

y⁰⁰+ py⁰ + qy = f (x). (8)

W celu wyznaczenia RORN stosujemy zasad¸e RORN = RORJ + RSRN, przy czym RORJ wyznaczamy zgodnie z schematem podanym w poprzednim paragrafie, a RSRN mo˙zemy zbudowa´c stosuj¸ac metod¸e uzmienniania sta lych lub metod¸e przewidywa´n (wsp´o lczynnik´ow nieoznaczonych).

Poka˙zemy to na przyk ladach

Przyk lad Rozwa˙zmy r´ownanie y⁰⁰− 4y⁰ + 5y = x²− x.

RORJ tego r´ownania jest postaci

y(x) = e^2x· (C₁cos x + C₂sin x) .

Poniewa˙z f (x) = x²−x, RSRN przewidujemy w postaci y(x) = Ax²+Bx+C. St¸ad y⁰(x) = 2Ax+B, y⁰⁰(x) = 2A, a wi¸ec

2A − 8Ax − 4B + 5Ax²+ 5Bx + 5C = x²− x

oraz







5A = 1

−8A + 5B = −1 2A − 4B + 5C = 0

Powy˙zszy uk lad ma rozwi¸azanie A = ¹₅, B = ₂₅³ , C = ₁₂₅² . Tak wi¸ec RSRN jest dane wzorem y(x) = 1

5x² + 3

25x + 2 125, a zatem RORN jest postaci

y(x) = e^2x· (C₁cos x + C₂sin x) + 1

5x²+ 3

25x + 2 125. Przyk lad Rozwa˙zmy r´ownanie y⁰⁰+ y = tg x.

RORJ tego r´ownania jest postaci

y(x) = C₁cos x + C₂sin x.

Poniewa˙z f (x) = tg x, RSRN b¸edziemy szuka´c metod¸a uzmienniania sta lych, czyli przyjmujemy y(x) = C₁(x) cos x + C₂(x) sin x.

St¸ad mamy

y⁰(x) = C₁⁰(x) cos x + C₂⁰(x) sin x − C₁(x) sin x + C₂(x) cos x Nale˙zy tutaj za˙z¸ada´c, aby

C₁⁰(x) cos x + C₂⁰(x) sin x = 0, w´owczas

y⁰(x) = −C₁(x) sin x + C₂(x) cos x, a nast¸epnie

y⁰⁰(x) = −C₁⁰(x) sin x + C₂⁰(x) cos x − C₁(x) cos x − C₂(x) sin x, sk¸ad wstawiaj¸ac do r´ownania dostajemy

−C₁⁰(x) sin x + C₂⁰(x) cos x = tg x.

Ostatecznie na wyznaczenie pochodnych funkcji C₁ i C₂ otrzymujemy uk lad r´owna´n







C₁⁰(x) cos x + C₂⁰(x) sin x = 0

−C₁⁰(x) sin x + C₂⁰(x) cos x = tg x Wyznacznik g l´owny tego uk ladu

cos x sin x

− sin x cos x     

= 1, co oznacza, ˙ze uk lad ma dok ladnie jedno rozwi¸azanie

C₁⁰(x) = − sin x · tg x, C₂⁰(x) = cos x · tg x,

sk¸ad obliczamy

C₁(x) = sin x − ln (sec x + tg x) , C₂(x) = − cos x, a wi¸ec RSRN jest postaci

y(x) = − cos x · ln (sec x + tg x) oraz RORN ma posta´c

y(x) = C₁cos x + C₂sin x − cos x · ln (sec x + tg x) .