F. Ba r a ń s k i (Kraków)
Rozwiązanie problemu Riquier w półpłaszczyźnie i w półprzestrzeni dla równania biłiarmonicznego A2 * u = 0
1. W pracy niniejszej podamy rozwiązanie zagadnienia biharmonicz- nego dla półpłaszczyzny względnie półprzestrzeni. Polega ono na wyzna
czeniu funkcji u ( x , y ) klasy O4 w półpłaszczyźnie у > 0, spełniającej równanie
A2u ( x , y ) = 0 dla y > 0 oraz warunki brzegowe
u ( o c , y ) ^ f ( x o), A u { x , y ) - + g ( x 0)
dla (x, y) -> (x0, 0) przy y > 0, gdzie f(x) oraz g(x) są funkcjami danymi określonymi dla x e ( — o o , o o ) . Zagadnienie to jest znane pod nazwą za
gadnienia Biquier. Będziemy je krótko nazywali zagadnieniem (B).
Przy pewnych założeniach o funkcjach f (x) oraz g(x) udowodnimy, że rozwiązaniem zagadnienia (B) jest funkcja
OO OO
(1) u ( x , y ) = ^ J — + J 61($)1п((ж_ $)2+2/2)&) y > 0 _
W przypadku n-wymiarowym (n > 3) rozwiązaniem zagadnienia (B) jest funkcja
xn. / ( s x, . .. , sn_i)ds1... dsn_i (.2) u(x1, . . . , x n) ss
En
2xr, (2 — n)ar gdzie
a„ =
SS ss
((a*i - sx)2 + . . . + (xn_ ! - ^ _ !) 2 + x2n)n/2 g{Si, . .. , sn_ j) ds1... dsn__ v
{{xx — «i)2 + . •. + (xn_i — sn_i)2 + Xn)(n 1)/2 ’
j
2. Podamy teraz lematy, które zastosujemy do rozwiązania zagad
nienia (B).
240 F. Ba r ańs ki
Lemat 1. Jeżeli 1° f(s) jest funkcją ciągłą dla se( —oo, oo), 2° f(s) =
= 0(|s|“) dla |s| -> oo, a stała, a e ( 0 , 1), 3° m , n są liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunki m ^ 0, n ^ 0, 2n— a > l , to całka
(3) J { x , y ) = - - f -7- 71 J ((£
f(s)ds - s f + y2) jest jednostajnie zbieżna w każdym prostokącie
(4) W ( y , A , B ) = {(ж, 2/): 0 < у < у < А, \x\ < £ } , gdzie у, А , В są dowolnymi liczbami dodatnimi.
D o w ó d . Wobec założenia 2° istnieje liczba r0 > 0 taka, że dla |s| > r0
\f(s)\ <C\s\%
gdzie C jest stałą dodatnią. Udowodnimy, że istnieje liczba rx = ^(e), ri > r0> 2B taka, że dla każdego punktu (x, y ) e W (у, A , B)
f ymf ( s)ds J a * - s)2 + »t
gdzie С( КГ]) jest dopełnieniem odcinka
K ri = { s : s2 < r\}.
Na podstawie nierówności trójkąta
\s\ < < B + \ x - s \ , czyli
(5) \x— s\ > \s\ —B
oraz
(6) \x— *| < И + 1*1 < B + 1*1 dla każdego же { - В , В).
Po uwzględnieniu nierówności (5) oraz (6) dla B > r0> 2B otrzymu
jemy
1 f Ux—
f(s)ds
<4*R) ({x—s)2+ y 2 G(Kr)
I s\ads
\s\-B)2 + y2f <
< 0 2 J \s\a~2nds = 2° 2 Dla
B > r 1(e)
C(KR)
2C2e \1/(2^-a-l) 2?г— a—1
2n — 1 — a 1 2n—a—1 '
mamy ostatecznie
c J M) ((® -«)2+ г /Т Cx, C2 stałe dodatnie.
Lemat 2. Jeżeli 1° f(s) jest funkcją ciągłą dla se( — oo, oo), 2° f(s) =
= 0(\s\a) dla |s| -> oo, a stała, a e ( 0 , l ) , 3° funkcja f(s) spełnia warunek Hóldera z wykładnikiem a, to
7) J (x, y) = — J I V У I ---J
TU J ( x—
f(s)ds
( x —s)* + y* ■f(xo) dla (x, y) (x0, 0) przy у > 0.
D o w ó d . Mech
Oi(x,y) = J ( x , y ) - f ( x 0).
Stosując do całki J ( x , y ) transformację s — x = ty oraz uwzględniając założenie 3° otrzymujemy nierówność
\co(x, y )I =
oc.
Jf ( x + t y )
l + ź2 dt Пf ( x o)■t2dt i
1
TU / f ( x + t y ) - f { X o )
1 + t 2 dt
^ OO
r {\X-X0\+ \t\y)
TU J 1 -\-t2 dt.
Niech e oznacza dowolną liczbę dodatnią i niech
wówczas
\x—x0\ < e, 0 < у < £•
(8) (\x — Xq \ + \t\y)a (1 + |^|)ae“-
Wobec nierówności (8) oraz zbieżności całki
my nierówność / a +\t i )ai + # 2 dt otrzymnje-
c r ( i + l « l ) a
a>(x,y)l < - s “ J y--^ -dt==C1ea,
Cx stała dodatnia. Wynika stąd, że oj(x, y) -> 0, gdy (x, y) -> (x0, 0) przy у > 0.
Prace Matematyczne VIII, 2 16
242 F. Barański
Z kolei udowodnimy
Lemat 3. Jeżeli 1° f(s) jest funkcją ciągłą dla se( — oo, oo), 2° f(s) =
= 0(|s|“) dla |s| -> oo, a liczba stała, a e ( 0 , 1), 3° w, n są liczbami rzeczy
wistymi spełniającymi warunki m ^ 0, n ^ 0 oraz 2r—ж — a > 1 , to całka
(9) Ji(a?, y) г ( a ? — s ) w / ( s ) d s
У J — OO (< ® -' s)2 + 2/T7
jest jednostajnie zbieżna w każdym prostokącie W (rj, A , B).
D o w ó d . Podobnie jak w dowodzie lematu 1 otrzymujemy nierów
ność
/ \x— s\m\f(s)\ ds
= °* /
(Я + |s|)m|s|e<fo
c{kr ) ((* - s)2 + yT c {i R) K* ■- Bf + y2)’
< C3 f \s\’ +m- mds = c j t " , C(Kr)
C2) C3, Ci są stałymi dodatnimi.
Wobec tego dla
( ę j \ 1/(2W—Dl— a — l)
- J ) otrzymujemy
У (x— s)mf(s)ds
J i(x—
a(KRi ( ( * -s)2 + 2'!
dla każdego (x, y) eW ( у , A , B).
< e
3. Udowodnimy teraz następujące
Tw i e r d z e n i e 1. Jeżeli 1° całka
(10) j g(s)ln((x— s)2 + y*)ds
— OO
jest jednostajnie zbieżna w każdym prostokącie W(rj, А , В ), 2° całka OO
(11) У f g ( s ) l n ( ( x - s ) 2-ł-y2)ds -> 0, gdy (x, y) -> (x0, 0)
przy y > 0, 3° /(s ) = 0(|s|“), g(s) = 0(|s|“) dla |s| -> oo, a liczba stała, a e ( 0 , 1), 4° f(s) oraz g(s) spełniają warunek Hóldera z wykładnikiem a, to funkcja
OO OO
w{ x’ y) = f / (^ 7 ) ^ + W / »<*)Ц («— >*+**)*
spełnia następujące warunki:
(a) u (x ,y )e C i dla y > O, (b) A2u (x, y) = O dla y > O,
(c) u (x ,y ) -> f(x 0), gdy (x, y) -> (x0, 0), y > O, (d) Au(x, y) -> g{x0), gdy ( x , y ) ^ ( x 0, 0), y > 0.
D o w ó d . Ponieważ całki
дг у f дг у
f ( s ) — j --- ds, f ( s) ^ r r ---ds,
; dx (x —s)2-\~y2 — ooJ dy (x — s)2Ą-y2
r dL r dl
J g ^ ~ d xi: ( yl n((x - s ^ + y ^ ) ) ds ’ J 9 ( s ) - ^ i ( y l n ( ( x - s ) 2 + y 2))ds,
— o o — 00
* = O ,1 , 2 , 3 , 4 , są odpowiednio całkami typu (3), (9), (10) oraz (11), przeto na podstawie założenia 1° oraz lematów 1 i 3 są one jednostajnie zbieżne w prosto
kącie W (rj, A , B). Wynika stąd warunek (a) tezy.
Ponieważ --- jest funkcją harmoniczną punktu (x , y ) dlaУ (x — s)2-\-y2
y > O, przeto na podstawie lematu 1 funkcja
<p(x, y) У C /(* ) тс J (x — s)2Ą-y2
— OO
ds
jest także funkcją harmoniczną, a więc także biharmoniczną funkcją punktu (x ,y ) dla y > 0. Wobec założenia 1° oraz lematu 1 funkcja
4>{x,y) = — j g { s )ln ((x -s )2 + y2)ds
— OO
jest funkcją harmoniczną punktu {x, y) dla y > 0.
Ponieważ
A(yy>(x,y)) = 2 ?
przeto A[yxp{x,y)) jest funkcją harmoniczną jako pochodna funkcji harmonicznej. Wobec tego
A2(yy>{x, y)) = 0 dla y > 0 . Wynika stąd warunek (b).
Na podstawie lematu 2 oraz założenia 2°, u (x ,y ) -> f(x Q), gdy ( x , y ) ^
~>(x0,0 ). Wobec tego spełniony jest warunek (c).
244 F. B arań ski
Ponieważ
у r oo 1
A u (x ,y ) = — a (s )---ds, K ^ iz J ( x - s ) 2 + y 2 ’ przeto na podstawie lematu 2 spełniony jest warunek (d).
4. W przypadku w-wymiarowym (n > 3) udowodnimy lematy ana
logiczne do lematów 1, 2 oraz 3, a mianowicie
Le m a t 4. Jeżeli 1° f { s l i . . . f sn_ 1) jest funkcją ciągłą w całej prze
strzeni (n-l)-w ym iarow ej En_ ly 2° f ( s ly ..., sn_i) = 0 (ra) dla r = (sx- f ...
. . . + $w-i)1/2 °°j a liczba stała, a e ( 0 ,l), tfo cułfca
(12) « д а = 4 S S
f(&11 • • • > 1) ^ 1 ---
((#1— ^i)2 + . • • + — ^n-l)2 + ^n)W/2
"П-1
fi jest dowolną liczbą stalą, jest jednostajnie zbieżna w każdym walcu W ( y , A , B ) = {(x1, . .. , xn); 0 < у < xn < A , x\ f-:.. + x 2n < B2} , gdzie rj, А, В są dowolnymi liczbami stałymi dodatnimi.
D o w ó d . Mech
K ri = {(«i, •••» «1 + ..- + 4 -1 < Ą], C{K r ) niech oznacza dopełnienie kuli K ri i niech
Q = ((Xi — s1)2 + ... + {xn_ 1- s n_ 1)2)112.
Wobec założenia 2° istnieje liczba r0 > 2В taka, że dla r > r0 l/(e1} •••» *»-i)l < O a, C stała dodatnia.
Udowodnimy, że dla każdej liczby dodatniej e istnieje liczba rx = ^(e) >
> r0 taka, że dla każdego punktu (xly ..., xn)eW (y , A , B)
<SS / (®1 J • • • 5 S№-l) • • • Л - 1
( ( ж 1 — s l ) 2 + - • • + ( x n -1 — SB - l ) 2 + * n ) ,l/2
< e.
Istotnie, na podstawie nierówności trójkąta,
r ^ (жх - f ... + x2b_ i )^“ + g ^ В -f- @, czyli
(13) oraz
o > r —В
(14) q < rĄ-B
dla każdego (xl y . .. , xn) eW {у , A , B).
Wobec tego dla E > r0> 2В
f ( si ? • • • j Sn-i) • • • dsn- 1
^SSg(kr) ((»! - «1 f + • • • + (<*?„_ 1 - 8n_ i f + X lf12
ssC(Kr)
CradSi_. ..dsn_ 1
(e2+>)2)”/2 «■SS
C ( K R )
ra ds1...dsn_ 1
Wprowadzając w ostatniej całce współrzędne sferyczne za pomocą trans
formacji
= r cos <£>!... sin <pn_ 2, (15) ...
otrzymujemy
CSS<4k r)
*n_l = Г В 1 П ( р 1
ra dsx... dsn_ j oo
C2 J ra~2dr = ОзЛ0- 1,
gdzie C1,C 2,C 3 są stałymi dodatnimi. Dla R > r x = (03/e)1/(1 a) / (®i > • • • > « n -i)^ i • • • dsn— i
*ssC ( K R )
((a?! — S i) 2 + . . . + ( ^ я - 1 — s n - i ) 2 + ^n)W/2
< £ .
Lemat 5. Jeżeli 1° f ( s ly sn_ x) jest funkcją ciągłą w En_ x, 2° / ( « i , ..., sn-i) = 0 (r a) dla r = (s2 + ... + ^ _ 1)1/2 -> oo, a liczba stała,
a e (0, 1 ) , to całki
(Xi~si)1f ( s 1, ..., sn_ 1)ds1...dsn_ 1
<ss
En — i ((a?i — *i)2 + • • • + (»»_ г — *»_1 )2 + x2,2\n/2 + ?n)
/? dowolna, i — l , . . . , n —l , j = 1 , 2 , 3 , 4 , są jednostajnie zbieżne w każdym walcu W ( r j , A , B ) .
D o w ó d . Analogicznie jak w dowodzie lematu 4, otrzymujemy nie
równości
kss' 0(KR)
(xi —si)if ( s 1, ..., sn_ 1)ds1...dsn_ 1 ((хг— Si)2 + . . . + (00n_ i ~ Sn_i)2 x2n)nl2+i
«SS(r -\-BjV“ dsx... dsn_ i { ( r - B f + r?)П/2+j < G
CG
R
2dr = a—j—1 C(KR)
Zatem dla R ^ rx = (C2le)ll(1+i~a)
(xi — si)jf ( s 1, . . . , s n_ 1)ds1...d sn_ 1
<SS((®1 - «l)2 + • • • + (®»-l — «n-l)2 + я£)П/2+* < 6.
246 F. B arań ski
Lemat 6. Jeżeli 1° f ( s 1, . sn_i) jest funkcją ciągłą w En_ x, 2 ° f(s l , sn_x) = 0 (ra) dla r = (Si + ... + 4 ,-i)1/2 -> oo, a stała, a e (0 ,l), 3° funkcja f ( s 1, . . . , s n_ 1) spełnia warunek Hóldera z wykładnikiem a w E,n— 1 1 to całka
(16)
&n— i
f ( sn • ••» sn-i)^,s1. . ,dsn_i ((a?i — Si)2 + . . . + (xn_ i — sn_ i)2 + <4)w/2 dąży do f(x°ly 0, gdy X -> (x% . .. , x°n_ x, 0) przy xn > 0 .
D o w ó d . Na podstawie lematu 4 funkcja (16) jest określona w pół- przestrzeni xn> 0. Stosując do całki (16) transformację
== ОСг+X n h , (17) ...
8K
której jakobian
1 Xn_ x "f" Xn tn_ x ,
D (§x j • • • ? $n_i) D (fx, . . . , tn_ i) otrzymujemy
n w &n— 1
= > 0,
f(Xi~\~ tixn, . . . , xn_x -f- tn_xxn)dti. . . dtn_x
( ^ + . . . + * L 1+ i f /2
&П- 1 Mech
R( X) = V ( X ) - f ( x ° 1, ...,x ° n_ 1) =
f(x°i, . . . , x l _ 1)dt1...dtn_ 1
1 a„
™ “ S S /Jf e + < L l + i r , -
&П—1
{f(xi + hxn, a?„_i+ #я_1®я)—/ ( я ? ; , ®i_x))d«x...d«n_i (h + * • . + < »_ !+ !)
E n- 1
Z warunku Hóldera wynika, że l«(X)| <
((l#i~ -f- \1г\хп)г {\xn_ i ~ х ^ ^ + \tn_ 1\xn)2)al2dt1...dtn_ 1
hssEn—t Й + . . . + С - 1+1)”/г
Niech e oznacza dowolną liczbę dodatnią i niech
l ® i — ® i l < e , | ® n - i — ® ! L i l < 0 < < e ;
wówczas
((|жх - x\\ + |<x|a?J2 + . . . + (\xn_ x — x °n_ 1 Id- \tn_ 1 ia?J2)a/2 <
< ee( 2 ( ^ - l ) ) a/2(i2x + ... + 4 - i + l ) a/2.
Wynika stąd, że
|-R(X)| <: e « ( 2 ( « - l > r S S («21 + . . . + 4 - 1 + 1 ) (а“п,,2й « , = Oie“,
■E'w-X
gdzie Cx jest stałą dodatnią, gdyż dla n ^ 3 całka po prawej stronie ostatniej nierówności jest zbieżna.
A zatem B ( X ) - > 0 , gdy X -> {x\, ..., a?°_u 0).
5. Udowodnimy teraz następujące Tw ierdzenie 2. Jeżeli 1° całka
(18) = SS
— i
9(si5 • • • ? sn_i)ds1.. .dsn_i
(i® i — $ i ) 2 + • • • + (a>»_ x — s n - 1)2 + x n)nl2 1
jest jednostajnie zbieżna w każdym walcu W (у, A , B), 2° xni p ( X ) 0, gdy X (a?J, 0), a?n > 0, 3° f ( s 1, . . . , sn_j) = O(r“) oraz
</($!, ..., i) = O(ra) dla r = (Si + ... + 4__1) o o , a stała, a e ( 0 ,l ) , 4° f ( S i , . . . , s n_i), g{Si, sn_x) spełniają warunek Hóldera z wykład
nikiem a w En_ 1, to funkcja
f ( s lf ..., sn_ 1)ds1...d sn„ 1
•да-^SS
i ( ( # 1 — s i ) 2 + - • • + ( x n ~ 1— s n - l ) 2 + #w)n/2
2аь
(2—w) a* SS 0 ( * i , sn_ 1)ds1...dsn_ l
((®i — «i)2 + • • • + (®n-i — * »-1)2 + 2)/2 jest rozwiązaniem zagadnienia (B), tzn. ma następujące własności:
(a) u (X )eC 4’ dla xn> 0 , (b) A2u( X) = 0 dla xn> 0 ,
(c) u( X) - » f(x°1} . .. , a£_x) gdy X -> (ж?, . .. , przy xn> 0, (d) Au( X) -^g{x\, ...,a £ _ i) gdy X -> (a??,..., a?°_u 0) przy a?n> 0 . D o w ó d . Na podstawie założenia 1° oraz lematów 4 i 5 całki
dl Xnds-t.. .dsn_ 1
SS/<*»->‘
En-X
SS*<*»-«
da?) (( ^ i — ^ i) 2 + - • • + *sw - i)2 + ^n)n/2 ’
d* Xnds-L..
кłl— 1 da;} ((a?! — + + —«п-х)2 + ^У(гг 2)/2 ’ i = 0 , l , 2 , 3 , 4 , j — 1 ,2 , n, są jednostajnie zbieżne w każdym walcu W(??, A , B). Wynika stąd wła
sność (a).
Ponieważ funkcja
1
((a?x - $i)2+ . . . + (xn_ i - i)2 + x2n)(n 2)12
248 F. B arań ski
oraz jej pochodna względem xn, równa
są funkcjami harmonicznymi, przeto funkcja (18) oraz
są funkcjami harmonicznymi w półprzestrzeni xn > 0.
Ponieważ
więc funkcja xnyj(X) jest funkcją harmoniczną. Wobec tego A2(xnV>(X)) = 0 dla xn> 0 ,
czyli funkcja xntp(X) jest funkcją biharmoniczną, skąd wynika waru
nek (b).
Na podstawie lematu 6 oraz założenia 2° u( X) dąży do f(x\, ..., gdy X -> {x\, . .. , x l_ l7 0), xn> 0 . Spełniony jest więc warunek (c).
Ponieważ
przeto na podstawie lematu 6 spełniony jest warunek (d) tezy.
6. Podamy teraz za Huberem [1] twierdzenie, które zastosujemy do dowodu jednoznaczności rozwiązania zagadnienia (E).
Tw ie r d z e n ie 3. Jeżeli 1° u( X) jest funkcją harmoniczną w półprze
strzeni xn> 0 , 2° u{ X) = o{r) dla r = (a^ + ...-)-a4)1/2 -> oo, 3° u( X) -> 0, gdy X -> (x°, . .. , Xn_x, 0) przy xn> 0, to u( X) = 0.
Korzystając z twierdzenia 3 udowodnimy twierdzenie 4, z którego wynika jednoznaczność rozwiązania zagadnienia (E).
Tw ie r d z e n ie 4. Niech К oznacza Masę funkcji u( X) określonych w półprzestrzeni xn > 0, spełniających warunki: 1° u( X) = <p{X)Ą- xny)(X), gdzie <p(X) oraz y ( X ) są funkcjami harmonicznymi, 2° <p (X) = o(r),
dla X -> (Xi, . .. , a?®+1, 0); wówczas <p(X) oraz ip(X) są identycznie równe zero w półprzestrzeni xn> 0.
D o w ó d . Mech
9 ( s i ? • • • ? s n -i ) ^ ® i • • • d s n_i
'n~ 1 J
,0
będą dwiema funkcjami należącymi do klasy K . Wówczas funkcja (20) TJ{X) = u1{ X ) — u2{X) = <pi{X) — <р2{Х) + хп(грг{Х) — y t {X)) należy do K. Ponadto, na podstawie warunku 5° oraz tożsamości
А ЩХ ) = 2 l ^ - n ( X ) - - ^ - W2(X)\,
\ QXn I
wynika, że AU( X) jest funkcją harmoniczną dążącą do zera, gdy X ->
-> (x\, ..., %n_i, 0). W obec tego AU( X) = 0, a więc U( X) jest funkcją harmoniczną. Na podstawie twierdzenia 3 U (X ) = 0. Z (20) wynika, że (21) хп(ух{Х) — щ{ Х) ) = (рг(Х) — <px(X).
Z (21) oraz z twierdzenia 3 wynika, że
V>i(X) = y>2(X), <Pi(X) = (p2{X) dla xn> 0 . Z twierdzenia 4 wynika
Tw ierdzenie 5. Jeżeli rozwiązanie u( X) zagadnienia (E) spełnia warunki 1°, 2° i 3° twierdzenia 4 oraz warunek
-t^ - - > 0, gdy 1 - > Й , . . . , 4 _ 1 , 0 ) , oxn
to rozwiązanie to jest jedyne.
Praca cytowana
[1] A . H u b e r , On the reflection principle for polyharmonic functions, Comm.
Pure and Appl. Math. 9 (1956), str. 4 71-47 8.
Ф. Бараньски (Краков)
О РЕШ ЕНИИ З А Д А Ч И Р И К Ь Е ДЛЯ П ОЛ УП ЛО СКО СТИ И П О Л УП Р О С Т Р А Н С Т В А ДЛЯ БИ ГАРМ О Н И ЧЕСКО ГО У Р А В Н Е Н И Я
РЕЗЮ М Е
В работе дается решение и ( Х ) бигармонической задачи типа Рикье;
А *и {Х ) = 0 , X — (хХУ хп) , х п > 0, и (Х ) ...,a jJ _ j) , А и { Х ) - * д { х \ , . . . , х°п 1 ) для X - * (я?®, ...,х ° п 1 , 0).
Между прочим, автор доказывает следующую теорему:
ОО
Те о р е м а 1. Если 1° f д (s)ln((ce— s)2 + y2)ds равномерно сходится в каждом
— ОО
прямоугольнике W (у, А , В) — {(ж, у):\х\ < В , 0 < г\ < у < А }, где у , А , В — есть
250 Г. B a ra ń sk i
произвольные положительные постоянные; 2° у J д (s) 1п((ж — s)2 + y 2)ds -> 0 для
— ОО
(ж, у) -> (ж0, 0) , у > 0 ; 3° f(s) = 0(js|“), g(s) = 0(|s|a) для |s| -> oo, a — const, a e(0, 1);
4° f ( s) ’ 9 (s) выполняют условие Гельдера с показателем а, тогда
° ° . оо
и ( х , у ) = ~ Г - — I 2 ds + - j Г $ r ( s ) l n ( ^ - s )2+ ;i/2)ds тс ^ (ж—s)2 + 'M— ОО ' ^ 2 4тт Д—00
есть решением задачи (R).
Для те-мерного полупространства, решением задачи есть функция:
. - у . __ %П Q Q / ( S j , • • • , $п — l ) dSy • • • d s n — 1
an _ [(^1—si)2 + • • • + (®n—1 — 1)2 + Ж^]И/2
•“ и—1
2xn SS (®i 5 • • • > ®n— i) dsy... dsn— i
где
(2 —w)a» [(®i — + —en-i)2+ * * ] (n-1)/a ’
"и— 1
P P ^ • • • dtfi— x a" = j > 5 < * ; + - + 4 - i + i >n/2’
Пусть Ky является классом функций ti(Z ) выполняющих следующее усло
вия: 1° ад(Х) = 9?(JT) + хпу){Х ) ; 9? ( X ) , хр (X) — гармонические функции; 2° р (Х ) =
= о(г), хпгр(Х) — о(г) для г2 = ж2 + . . . + ж2 -> оо; 3° хпу)(Х) -*• 0 для X -► (ж®,...
•••» ° ) ; 4° для (ж®, . . . , ж£_х, 0).
uX^fi
Автор доказывает, что в точке ińj решение и (Х ) задачи (R) является един
ственным.
F. Ba r a ń s k i (Kraków)
TH E SO LU T IO N OF T H E R IQ U IE R P R O B L E M FO R TH E B IH A R M O N IC E Q U A T IO N IN A SE M I-P L A N E A N D A SEMI-SPACE
S U M M A R Y
The autor gives the formula for the solution u (X ) of the biharmonic problem of the Riquier type (R) A^u(X) — О, X = ( Xy , . . . , x n), xn > 0, u (X ) -*■f ( x ®, . . . , ж®^), A u (X ) ->д{х^ , . . . , ж®_ j ) for X —► (x^, . . . , ж®_х, 0) and gives the conditions for unicity of the solution.
OO
Theorem 1. I f 1° f g(s) In ((ж — s)2 + y 2)ds is uniformly convergent in every
— OO
rectangle W (у, А , В) = {(ж, у): |ж| < В , 0 < у < у < A}, where у , А , В are arbitrary
ОО
positive numbers, 2° у f g(s) In ((ж— s)2 + y2)ds -► 0, as (ж, ?/) -*(ж 0, 0), у > 0, 30 f(s)
— OO
= 0(|s|a), <7(s) = 0(|s|a) /o r |s| -► oo, 4 ° /( s ) and g(s) satisfy Holder's condition with an exponent a, a e (0, 1), then the function
O O OO
u { x , y ) = ^ ~ f --- 8 -g + - j - f g ( s ) l n ( ( x - s ) 2 + y2)ds 7C ^ (ж— s)2 + w2 4tt j
- O O ' ’ 9 - 0 0
is a solution of the problem (R).
Under similar conditions for n > 3, the function
(1) x ) Xn C C f ( * i , • • •> l) dsj • • • dsn~ i 1’
an ~ (0*V
En—1 - S!)2 + ..., + (хП— 1 —
2xn c c g(h> ■. . . , Św— i) dsj . . . dsn— x (2 — n) an
я ((*1- S i ) 2+ •••. + { X n - 1 - sn- i ) 2 + xl)(n~ 2V2 where
an = SS
E n- 1
city • • • dtn_i
(< ? + - + t i + l ) ¥
is a solution of the problem (R).
Let K ± denotes the class of the functions u (X ) for which: 1° u (X ) = <p(X)Ą- + xny)(X), <p{X), y>(X) harmonic functions, 2° q>(X) = o(r), xnxp(X) = o(r) for r2
= x\ + ... + x2n - > OO, 3° xnip {X )-> 0 for X - > (a^, xQn l , 0), 4° xn ~ - - + b
for Z 4 _ l f 0). n
Autor proves that the function (1) is the unique solution of the problem (R) in the class K l .
