GAL II*, 11.03.2020 – zadania i wskazówki
Zadanie 1.
Czy istnieją macierze kwadratowe A, B takie, że AB − BA = I?
Zadanie 2.
Jakie macierze A ∈ Mn×n(k) spełniają An = I dla pewnego n ∈ N?
Zadanie 3.
1. Sprawdź, że FP : Set → Set, FP(X) = P(X) (zbiór potęgowy), jest funktorem. Częścią zadania jest wymyślenie, jak powinno wyglądać przekształcenie na zbiorach morfizmów.
2. Sprawdź, że operacja brania singletona sing(x) = {x} zadaje transformację naturalną funktora idSet i funktora zbioru potęgowego.
Zadanie 4.
Sprowadź macierze do postaci Jordana (nad C):
A =
−6 5 7
5 2 −3
−6 −2 5
, B =
3 0 0 2
23 −1 2 10
−6 0 −1 −3
−8 0 0 −5
.
Zadanie 5.
Wykaż, że każdy wielomian stopnia n o najwyższym współczynniku (−1)njest wielomianem charakterystycznym pewnej macierzy stopnia n.
Zadanie 6. *
Oblicz wyznacznik macierzy cyklicznej
a1 a2 a3 . . . an
an a1 a2 . . . an−1
an−1 an a1 . . . an−2
... ... ... ... . . . a2 a3 a4 . . . a1
1
Wskazówki
1. Nie istnieją, trzeba poszukać niezmiennika, który o tym świadczy.
2. Diagonalne (a jak to już wiemy, to łatwo sprawdzić, co mogą mieć na przekątnej). Żeby sprawdzić diago- nalność, warto popatrzeć, co się dzieje jeśli dla pewnej wartości własnej a0 mamy wektor, który należy do ker(A − a0I)2, ale nie do ker(A − a0I), czyli nie jest wektorem własnym.
3. Żeby znaleźć przekształcenie na zbiorach morfizmów, można potraktować element P(Y ) jako funkcję z : Y → {0, 1} i cofać ją przez morfizm X −→ Y , żeby dostać podzbiór X wyznaczony przez f ◦ z. W szczególnościf otrzymujemy funktor kontrawariantny.
4. Trzeba zrozumieć opis podprzestrzeni niezmienniczych i dowód twierdzenia Jordana w notatkach z wykładu.
Ale uwaga: nie zawsze trzeba przeliczyć wszystko, czasami np. zbiór wartości i wektorów własnych już wyznacza postać Jordana.
5. Można tę macierz skonstruować.
6. Wektory i wartości własne.
2
