Cwiczenia nr 10, GAL I.2, 5.5.2020 Macierze kongruentne Zadanie 1. Sformułuj twierdzenie o bezwładności.
Zadanie 2. Zbadaj, czy macierze
A =
"
3 4 4 5
#
, B =
"
2 4 4 5
#
, C =
"
5 4 4 5
#
sąkongruentne nad (a) C, (b) R, (c) Q.
Zadanie 3. Znajdźbazę półunormowaną dla (R3, ξ), gdzie
M (ξ, st) =
1 1 0 1 1 1 0 1 0
Czy istnieje taka baza A, że M (ξ, A) =
1 1 0
1 2 −1
0 −1 2
? Zadanie 4. Niech
A =
1 0 1 0 2 3 1 3 t
, B =
1 2 0 2 5 1 0 1 0
(a) Dla jakich t ∈ R macierze A, B są kongruentne na C?
(b) Dla jakich t ∈ R macierze A, B są kongruentne na R?
Zadanie 5. Uzasadnij, że macierze symetryczne A, B ∈ Mn×n(C) są kongrentne nad C wtedy o tylko wtedy, gdy mają ten sam rząd.
Zadanie 6. Niech (Rn, ξ) będzie przestrzenią dwuliniową symetryczną. Udowodnij, że (V, ξ) nie ma niezerowych wektorów izotropowych wtedy i tylko wtedy, gdy M (ξ, st) jest kon- gruentna do In lub −In.
Zadanie 7. Niech (R3, ξ) będzie przestrzenią dwuliniową o zerowej sygnaturze, zaś A ⊂ R3 jej podprzestrzenią. Uzasadnij, że A⊥ = A wtedy i tylko wtedy, gdy A jest maksymalną całkowicie zdegenerowaną podprzestrzenią.
Zadanie 8. Dany jest funkcjonał dwuliniowy symetryczny ξ na R4 opisany macierzą
M (ξ, st) =
0 −1 0 1
−1 −1 0 1
0 0 0 −1
1 1 −1 −1
(a) Znajdź bazę półunormowaną przestrzeni (R4, ξ) oraz sygnaturę (R4, ξ).
(b) Czy w przestrzeni W = lin{e2, e4} jest niezerowy wektor izotropowy?
(c) Czy istnieje dwuwymiarowa podprzestrzeń Z ⊂ R4 złożona z wektorów izotropo- wych?
Zadanie 9. Niech (V, ξ) będzie dwuwymiarową przestrzenią dwuliniową nad ciałem K, charK 6=
2. Uzasadnij, że następujące warunki są równoważne:
(a) Przestrzeń V jest niezdegenerowana oraz zawiera niezerowy wektor izotropowy.
(b) Istnieje baza A przestrzeni V taka, że
M (ξ, A) =
"
1 0 0 −1
#
Istnieje baza B przestrzeni V taka, że
M (ξ, B) =
"
0 1 1 0
#
Zadanie 10. Niech (V, ξ) będzie niezdegenerowaną przestrzenią dwuliniową nad R.
(a) Załóżmy, ze dim V 4 i 0 6= α ∈ V jest wektorem izotropowym. Pokaż, że istnieją podprzestrzenie liniowe W1 i W2 6= W1 wymiaru 3 przestrzeni V takie, ze przestrzeń dwuliniowa (Wi, ξ|Wi×Wi) jest niezdegenerowana dla i = 1, 2 oraz α ∈ W1∩ W2. (b) Załóżmy, że dim V 3 i 0α ∈ V jest wektorem izotropowym. Pokaż, że istnieją
podprzestrzenie liniowe W1 i W2 6= W1 wymiaru 2 przestrzeni V takie, że przestrzeń dwuliniowa (Wi, h|Wi×Wi) jest nieosobliwa dla i = 1, 2 oraz lin{α} = W1∩ W2. Zadanie 11. Które z podanych macierzy są kongruentne nad C? Które są kongruentne nad
R?
A =
0 0 1 0 0 1 1 1 0
, B =
0 1 1 1 0 1 1 1 0
, C =
1 1 1 1 0 1 1 1 1
2 1 1 1 1 0 1 0 1
2
