GAL II*, 11.03.2020
Zadanie 1.
Czy istnieją macierze kwadratowe A, B takie, że AB − BA = I?
Zadanie 2.
Jakie macierze A ∈ Mn×n(k) spełniają An = I dla pewnego n ∈ N?
Zadanie 3.
1. Sprawdź, że FP : Set → Set, FP(X) = P(X) (zbiór potęgowy), jest funktorem. Częścią zadania jest wymyślenie, jak powinno wyglądać przekształcenie na zbiorach morfizmów.
2. Sprawdź, że operacja brania singletona sing(x) = {x} zadaje transformację naturalną funktora idSet i funktora zbioru potęgowego.
Zadanie 4.
Sprowadź macierze do postaci Jordana (nad C):
A =
−6 5 7
5 2 −3
−6 −2 5
, B =
3 0 0 2
23 −1 2 10
−6 0 −1 −3
−8 0 0 −5
.
Zadanie 5.
Wykaż, że każdy wielomian stopnia n o najwyższym współczynniku (−1)njest wielomianem charakterystycznym pewnej macierzy stopnia n.
Zadanie 6. *
Oblicz wyznacznik macierzy cyklicznej
a1 a2 a3 . . . an
an a1 a2 . . . an−1
an−1 an a1 . . . an−2
... ... ... ... . . . a2 a3 a4 . . . a1
1
