Zadanie 1 (10 pkt). Zapisać poniższą sumę w postaci szeregu hipergeometrycznego:

Matematyka dyskretna II kolokwium zaliczeniowe

17 czerwca 2010 Czas pracy: 120 minut

Zadanie 1 (10 pkt). Zapisać poniższą sumę w postaci szeregu hipergeometrycznego:

X

k­0

n k + 1

! (−1)

(2k)! .

Zadanie 2 (20 pkt). Korzystając z uogólnionej definicji współczynnika dwumianowego:

r k

!

=

 r

/k!, dla k ­ 0, 0, dla k < 0,

udowodnić, że dla dowolnego naturalnego n zachodzi następująca równość:

(−4)

1 2

n + 1

!

= 1

2(n + 1) 2n

n

! .

Zadanie 3 (10 pkt). Obliczyć:

X

k

n k

!

(2

− 3

), ∆

x n

! ,

n

X

k=1

k n k

! ,

gdzie ∆ jest operatorem różnicy: ∆f (x) = f (x + 1) − f (x), natomiast ∆

oznacza n-krotne złożenie operatora ∆.

Zadanie 4 (20 pkt). Zapisać następującą sumę w postaci zwartej:

∞

X

n=0 n

X

k=0

k

2

F

, gdzie F

są liczbami Fibonacciego.

Zadanie 5 (10 pkt). Korzystając z teorii funkcji tworzących rozwiązać następującą rekurencję:

a

= 1, a

= −2,

a

= 6a

− a

, dla n ­ 2.

Zadanie 6 (20 pkt). Badacze z SETI mają silne podejrzenia, że odebrany przez nich sygnał z galaktyki NGC 5195 pochodzi od inteligentnej cywilizacji. Badając sygnał odkryli, że alfabet, którym posługują się mieszkańcy NGC 5195 składa się jedynie z 7 liter: A, E, O, U, B, P oraz X. Stwierdzili, że podobnie do nas, grupują litery w wyrazy. Zauważyli również dwie „reguły ortograficzne”:

(i) samagłoski występują parami: AA, EE, OO, UU;

(ii) każda samogłoska jest poprzedzona spółgłoską.

Zgodnie z powyższymi regułami OOBAAP, OOXOO są wyrazami, ale AAAX, PEEBOOX, EAP, XXEE nie.

Niech a

oznacza liczbę wyrazów o długości n. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu {a

}

. Zadanie 7 (10 pkt). Zmienna losowa X przyjmuje wartości całkowite nieujemne. Funkcja two- rząca prawdopodobieństwa zmiennej losowej X ma postać:

G

(z) = q

(1 − pz)

, gdzie p + q = 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość k, dla k ­ 0?

Zadanie 8 (20 pkt). Korzystając z teorii funkcji tworzących rozwiązać następującą rekurencję:

f

= 1,

f

= −f

+ f

− f

+ · · · + (−1)

f

, dla n ­ 1.