LISTA 15
Zadanie 1.
Wyznacz cztery kolejne liczby takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych.
Zadanie 2.
Rozwiąż nierówność: 𝑥4+ 𝑥2 ≥ 2𝑥 Zadanie 3.
Rozwiąż równanie: cos 2𝑥 + 2 = 3 cos 𝑥 Zadanie 4.
Oblicz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie 𝑥2− (𝑚 + 2)𝑥 + 𝑚 + 4 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste 𝑥1, 𝑥2 takie, że 𝑥14+ 𝑥24 = 4𝑚3+ 6𝑚2− 32𝑚 + 12.
Zadanie 5.
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie możliwości.
Zadanie 6.
W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty 𝑃 postaci: 𝑃 = (1
2𝑚 +5
2, 𝑚) gdzie 𝑚 ∈ 〈−1; 7〉. Oblicz najmniejszą i największą wartość |𝑃𝑄|2, gdzie 𝑄 = (552 , 0).
Zadanie 7.
Udowodnij, że jeżeli 𝑎 + 𝑏 ≥ 0, to prawdziwa jest nierówność 𝑎3+ 𝑏3≥ 𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2. Zadanie 8.
Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 1, a jego wysokość 2.
Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 9.
Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się 11 kul: 7 białych i 4 czarne. W drugim pojemniku jest 6 kul: 3 białe i 3 czarne. Z każdego pojemnika losujemy po dwie kule.
Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania czterech kul czarnych.
Zadanie 10.
Dane są zbiory 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ: log42𝑥 − 1 > 0} oraz 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ: log0,5𝑥 ≤ 1}. Wyznacz ich sumę oraz iloczyn.
