(b) a1= 1, an+1=1+aan n dla n 1

(1)

17.3.2020, kl 2b Ciągi rekurencyjne

Zadanie 1. Znajdź (i udowodnij) wzór jawny na a_n, jeśli (a) a1= 1, an+1= 2an− 1 dla n = 1, 2, 3, . . .;

(b) a1= 1, an+1=_1+a^aⁿ

n dla n 1;

(c) a1= 1, an+1=p2a²_n+ 1 dla n 1;

(d) a1= 2, an+1=¹₃(an+ 1) dla n 1;

(e) a1= 3, an+1= an+ 3ⁿ⁺¹ dla n 1;

(f) a1= 6, a2= 18, an+2= 2an+1+ 8an− 18 dla n 1.

Zadanie 2. Znajdź (i udowodnij) wzór jawny na a_n, jeśli a₀= 0, a₁= 1, a_m+n+ a_m−n =a2m+ a2n

2 dla m n 0.

Definicja. Ciąg (an) nazywamy arytmetyczno-geometrycznym, jeśli dla pew- nych q, d mamy an+1= qan+ d dla n 1.

Zadanie 3. Czy ciągi (a) 1,³₂,⁷₄,¹⁵₈,³¹₁₆, . . .;

(b) −1,³₂,¹₄,⁷₈,₁₆⁹, . . .

są arytmetyczno-geometryczne?

Zadanie 4. Niech a1 = 2, ak+1= 3ak+ 1 dla k = 1, 2, 3, . . .. Znajdź jawny wzór na sumę pierwszych n wyrazów ciągu (an).

Zadanie 5. Oblicz

(2 + 1) · (2²+ 1) · (2⁴+ 1) · . . . · (2⁵¹²+ 1).

Zadanie 6. Ciąg (an) zdefiniowany jest przez równości a1= a2= 1, a2n = 2an− 1, a2n+1= 2an+ 1 dla n 1. Uzasadnij, że

a_n = 2

n − 2^blog²^nc + 1.

Zadanie 7. Ciąg (an) zdefiniowany jest przez zależności a1= a2= 1, an+2= an+1an+ 1 dla n 1.

Które wyrazy tego ciągu są parzyste, a które są podzielne przez 4.

Zadanie 8. Ciąg (an) spełnia zależność rekurencujną

an+1= 3 4a²_n+1

4.

Dla jakich wartości a1 ciąg ten jest (a) rosnący? (b) malejący?

Zadanie 9. Ciąg (an) spełnia zależność rekurencujną

an+1=

r1 + an

2 .

Dla jakich wartości a₁ ciąg ten jest (a) rosnący? (b) malejący?

Zadanie 10. Dany jest ciąg (an) taki, że

a₁= a₂= 1, a_n+2=a²_n+1+ 2 an

dla n 1. Wykaż, że wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowity- mi.

Zadanie 11. Dany jest ciąg (a_n) taki, że

a1= a2= a3= 1, an+3=an+1an+2+ 5 an

dla n 1. Wykaż, że wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowity- mi.

Zadanie 12. Ciąg (an) spełnia warunki

a1= 1, an+1= a²_n+ an dla n = 1, 2, 3, . . . . Wykaż, że dla każdego n

1 1 + a1

+ 1

1 + a1

+ . . . + 1 1 + an

< 1.

(b) a1= 1, an+1=1+aan n dla n ­ 1