Niech dana będzie przestrzeń Banacha X . Operację liniową A, taką że A 2 — A, nazywamy operacją rzutową. W pracy tej szukam odpowie­

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE III (1959)

S,

(Warszawa)

O domkniętości rzutu podprzestrzeni w przestrze­

niach Banacha

Niech dana będzie przestrzeń Banacha X . Operację liniową A, taką że A 2 — A, nazywamy operacją rzutową. W pracy tej szukam odpowie­

dzi na pytanie postawione przez M. Altmana: kiedy rzut A( L) danej podprzestrzeni L jest domknięty?

Dla dalszych rozważań wprowadzimy najpierw pewne pojęcia.

Mówimy, że dwie podprzestrzenie К i L przestrzeni Banacha X mają odstęp dodatni, jeśli

- Niech К i L mają odstęp dodatni i niech y eL i = 1. Gdyby К i L nie miały odstępu dodatniego, to istniałby element x e K taki, że

\\y — x\\ < la , ale wtedy oczywiście ||ж|| < \a i \[y — x\\ ^ \a, skąd sprzecz­

ność. Więc jeśli K i L mają odstęp dodatni, to L i К mają odstęp dodatni.

Jeśli К i L mają odstęp dodatni, to ich suma prosta K + L (tzn.

zbiór wszystkich sum x-\-y, gdzie x e K, a ye L) jest zbiorem domknię­

tym. Istotnie, niech ciąg zn — xn-\-yn będzie podstawowy, tzn. zn — zm =

= (®я

+ (yn — Ут) 0 dla n, m, wtedy na mocy (2) xn — x m - » 0 i, z zupełności K , xn x e K, podobnie yn ^ y e L i jak łatwo widzieć

Zn ~> Z

= x-\-y eK + L, c.b.d.o.

Oznaczmy przez RA = {x: A{ x) = x}, a przez K A — [x: A(x) = 0}.

Jak łatwo sprawdzić,

(3) inf{||*+y||: x e K A, y e K A, 1И1 = 1} = 1 l\\A\\ oraz RA+ K A = X .

Dana jest przestrzeń Banacha X , operacja rzutowa oraz podprzestrzeń L C I taka, że K Ar^L = {0}. Na to, aby rzut A{ L) podprzestrzeni L był domknięty, potrzeba i wystarcza, by K A i L miały odstęp dodatni.

(

1

a = in f{||ж+2/||: x e K , yeL, ||ж|| = 1 } > 0.

Jak łatwo sprawdzić, z (1) wynika

(

2

dla wszystkich x e K i yeL.

144 S. R o l e w i c z

D o w ó d k o n ie c z n o ś c i. Ponieważ K Ar^L = {0}, więc istnieje izomorfizm algebraiczny między L i A(L). Gdyby K A i L nie miały odstępu dodatniego, to istniałby taki ciąg uneL, \\un\\ = 1, i y'neK, że

(4) 1 К + Й <1/|Ц||2".

Ale un = x n£ y n, gdzie xneRA , a ynt K A , więc \\xn + {yn + y'n)j| <

< l/\\A\[2n, więc na mocy (3) i (2) ||a?n|| < 1/2и.

П

Weźmy teraz ciąg x'n = £ XieA(L). Ciąg ten jest zbieżny,

i=l

П

ciąg zaś przeciwobrazów un = щ jest rozbieżny, bo \\un\\ = 1. Zatem

i = l

A -1 nie byłaby operacją ciągłą i na mocy twierdzenia Banacha rzut A( L) nie byłby zbiorem domkniętym.

D o w ód d o s t a t e c z n o ś c i. Niech xeL; jak łatwo zauważyć, A(x) —

= x + y, gdzie element y e K A jest dobrany w ten sposób, że x Jr y e R A . Oznacza to, że A( L) = RAr^(KA+ L). Jeśli więc K A i L mają odstęp dodatni, to A(L), jako iloczyn dwn zbiorów domkniętych, jest zbio­

rem domkniętym.

Wniosek

1. Przypuśćmy, że M = Lr\ K A Ф {0}. Bozpatrzmy przestrzeń ilorazową S = X j M. Operacja A indukuje w tej przestrzeni operację rzutową 21 określoną w ten sposób, iż warstwie przechodzą­

cej przez x jest przyporządkowana warstwa przechodząca przez A (x).

Jak łatwo sprawdzić, K % = K A(M, a Rn jest zbiorem wszystkich takich warstw, które mają wspólny element z RA, i jest z RA izomorficzne.

Przestrzeni L odpowiada przestrzeń £ , której rzut 2l(£) jest izomor­

ficzny z A(L).

Więc, na mocy twierdzenia, warunkiem koniecznym i dostatecznym, na to, żeby rzut A( L) przestrzeni L był domknięty, jest, żeby podprzestrze- nie LjLr^KA i K A/Lr>KA przestrzeni X j L r ^ K A miały odstęp dodatni.

Wniosek 2.

Niech dana będzie przestrzeń Hilberta X . Jeśli L jest podprzestrzenią nieskończenie wymiarową, taką że jej dopełnienie ortogo­

nalne jest nieskończenie wymiarowe, to istnieje taka podprzestrzeń K , że К i L nie mają odstępu dodatniego (*). Tym samym rzut ortogonalny prze­

strzeni L na przestrzeń R, będącą dopełnieniem ortogonalnym K, nie jest domknięty.

(*) Patrz np. Paul. R. H a lm o s , Introduction to Hilbert space and the theory oj spectral multiplicity, Chelsea Puhl. Comp., New York 1951, str. 28-29.

O domkniętosci rzutu podprzestrzeni w przestrzeniach Banacha 1 4 5

С. Ро л е в и ч (Варшава)

ОБ З А М К Н У Т О С Т И П РО Е К Ц И И В П РО С ТР А Н С ТВ А Х Б А Н А Х А

РЕЗЮМЕ

Пусть X пространство Банаха, пусть А проективный оператор (т. е.

А 2 — А) и пусть L — подпространство пространства X . Мы обозначим Ка =

= {ж: А х = Oj. В этой работе я доказываю, что множество А Щ — [ у : у ~

= А х , x e L } замкнуто тогда и только тогда, когда

f L К А }

infi||» + y||: |!®||=1, х е —----у е —---— } > О,

I Ь

^К

£

>К

J

S. Bo l e w i c z (Warszawa)

ON T H E C LO SED N ESS OP P RO JEC T IN TH E B AN A C H SPACE

S U M M A R Y

Let X be a Banach space. Let A he a projective operation (i. e. A 2 — A).

Let L be a closed subspace of the space X . W e denote К a — {x: A x — 0}.

In this paper I prove that the set A (L) = \y- у = A x, x e L } is closed if and only if

f L KA ]

inf |||ж+ y \\: N| = h x e ’ у е ЪТлКа J > ° '

Roczniki PTM - Prace Matematyczne III 10