f x y y x → nie istnieje

Zadanie 2

TEMAT: Niech _{2 2 2}

2 2

) ) (

,

( x y x y

y y x

x

f = + − dla (x,y) ≠(0,0).

Pokazać, że granice iterowane: 



→

→ lim ( , )

lim0 0 f x y

y

x i ^lim_y→0[^lim_x→0 ^f(x,y)] istnieją i są równe 0, ale )

, ( lim) (0,0) ,

( f x y

y

x → nie istnieje.

ROZWIĄZANIE:



 





− +

→

→ 2 2 2

2 2 0

0 lim ( )

lim x y x y

y x

y

x = ₂

00 lim 0

x

x^→ + ⁼ lim0

→0 x = 0



 





− +

→

→ 2 2 2

2 2 0

0 lim ( )

lim x y x y

y x

x

y = ₂

00 ( )

lim 0

y

y^→ + − ^{= limy→00 = 0}

Szukamy granicy _{2 2 2}

2 2 )

0 , 0 ( ) ,

( lim ( )

y x y x

y x

y

x ^→ + − ^.

Obliczmy granicę wzdłuż drogi y = 0:

2 2

2

2 2 )

0 , 0 ( ) ,

( lim ( )

y x y x

y x

y

x ^→ + − ^{= 0}0 ²

lim 0 x

x^→ + ⁼ lim0

→0 x = 0 Obliczmy granicę wzdłuż drogi y = x:

2 2

2

2 2 )

0 , 0 ( ) ,

( lim ( )

y x y x

y x

y

x ^→ + − ^{= 4 2}

4

0 0

lim^→ x + x

x = lim1

→0

x = 1 ≠0 ⇒ granica nie istnieje bo wzdłuż różnych dróg osiąga różne wartości.