S D l DuD D F 1.8Wiskozymetrrotacyjny(M17)

1.8 Wiskozymetr rotacyjny (M17)

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy w temperaturze pokojowej.

Zagadnienia do przygotowania:

– lepkość;

– wiskozymetr rotacyjny.

Literatura podstawowa: [1], [2], [5], [7].

1.8.1 Podstawowe pojęcia i definicje

Główną właściwością, która odróżnia płyn (ciecz, gaz, plazmę) od ciała stałego jest to, że w płynie nie może się utrzymywać przez żaden skończony czas naprężenie ścinające. Jeżeli poddamy płyn naprężeniom ścinającym, spowodują one jego ruch. Tą właściwość nazywamy lepkością (tarciem wewnętrznym). Ilościowo naprężenia ścinają- ce charakteryzuje współczynnik lepkości η, stanowiący współczynnik proporcjonalności w podanej przez Newtona zależności

∆F

∆S = η∆υ

∆l. (1.8.1)

Wzór ten wiąże stosunek siły ∆F wzajemnego oddziaływania stycznego dwóch płaskich elementów równoległych warstw płynu do pola powierzchni ∆S każdego z nich, ze stosunkiem różnicy prędkości ∆υ tych elementów do dzielącej je odległości ∆l (rysunek 1.8.1). W układzie SI jednostką współczynnika lepkości η jest N · s · m⁻²= P a · s.

Du

DS

DF

Dl

Rys. 1.8.1: Rozkład prędkości płynu pomiędzy dwoma płaskimi, równoległymi, poruszającymi się względem siebie elementami.

Obraz mikroskopowy

Z punktu widzenia teorii cząsteczkowej lepkość tłumaczy się wymianą pędu mię- dzy równoległymi, przylegającymi do siebie warstwami płynu. Wymiana ta zachodzi

wskutek przedostawania się cząsteczek z jednej warstwy do drugiej. Cząsteczki opusz- czające warstwę poruszającą się wolniej powodują zmniejszanie pędu warstwy szybszej do której przechodzą. Analogicznie cząsteczki z warstwy szybszej powodują wzrost pędu warstwy wolniejszej.

Współczynnik lepkości zależy od temperatury ośrodka. Ze wzrostem temperatu- ry rośnie chaotyczny ruch cząstek, co prowadzi do zwiększenia wymiany cząsteczek.

Powoduje to, że współczynnik lepkości gazu rośnie wraz z temperaturą. W cieczach wzajemnemu przesuwaniu się sąsiednich warstw przeciwdziałają siły spójności i ruchy takie są możliwe głównie dzięki ruchliwości cząsteczek przenikających z jednej warstwy do drugiej. W tym przypadku nasilająca się wraz ze wzrostem temperatury wymiana cząsteczek między warstwami powoduje zmniejszanie współczynnika lepkości wraz ze wzrostem temperatury.

Podczas ruchu płynu lepkiego występuje przekształcanie części jego energii kine- tycznej w energię kinetyczną bezładnego ruchu cząsteczek. Oznacza to, że następuje ogrzewanie się płynu. Jest to zjawisko dyssypacji, czyli rozpraszania koherentnej energii kinetycznej płynu jako całości.

Wiskozymetr rotacyjny

Schemat wiskozymetru rotacyjnego przedstawiony jest na rysunku 1.8.2. Zasadni- czą częścią wiskozymetru jest walec wewnętrzny o średnicy zewnętrznej d_ai wysokości lw oraz walec zewnętrzny o średnicy wewnętrznej d_b i głębokości lg. Wąska przestrzeń pomiędzy walcami wypełniona jest warstwą badanej cieczy o grubości d i wysokości l = l_w− ∆l, przy czym d_b = d_a+ 2d. Pod walcem wewnętrznym również znajduje się badana ciecz o grubości d_d= lg+ ∆l − lw. Walec wewnętrzny zakończony jest szpulką o średnicy d_c. Nić wychodząca ze szpulki przechodzi przez bloczek i jest zakończona szalką o masie m_s z ciężarkiem o masie m. Zaraz po starcie szalka z ciężarkiem po- rusza się ruchem przyspieszonym i za pośrednictwem nici wprawia walec wewnętrzny w ruch obrotowy przyspieszony. Jednak ze wzrostem prędkości obrotowej rosną siły lepkości hamujące walec. W końcu ustala się stan równowagi, w którym walec porusza się ruchem obrotowym jednostajnym, a szalka ruchem prostoliniowym jednostajnym.

Wtedy szalka w czasie t pokonuje odległość s pomiędzy fotokomórkami ustawionymi na trasie jej ruchu.

Zagadnienie ruchu cieczy pomiędzy dwoma współśrodkowymi walcami opisane jest w pracy [7]. Nie można w tym przypadku korzystać z prostego wzoru (1.8.1), po- nieważ ciecz porusza się po okręgu. Trzeba wtedy stosować ogólniejszy wzór wiążący naprężenie ścinania ze zmianami składowych prędkości cieczy w określonych kierun- kach. Przykładowo naprężenie S_xy w płaszczyźnie XY prostopadłej do osi walców ma postać

S_xy = η ∂υy

∂x +∂υx

∂y



. (1.8.2)

d_b d_c

l_w l_g

m_s l

m d_a

d

dd

Dl

Rys. 1.8.2: Schemat wiskozymetru rotacyjnego.

Chcemy znaleźć rozkład prędkości cieczy pomiędzy walcami. Zaczniemy od znalezienia wzoru na naprężenie ścinające spowodowane lepkością cieczy, w odległości r od osi (d_a/2 < r < d_b/2). Ze względu na symetrię zagadnienia można założyć, że istnieje tu tylko przepływ w kierunku prostopadłym do płaszczyzn przechodzących przez oś walców i że jego wielkość zależy tylko od promienia r, czyli υ = υ(r). Jeżeli obserwować pyłek poruszający się wraz z wodą, w odległości r od osi, to jego współrzędne jako funkcja czasu są równe

x = r cos(ωt), (1.8.3)

y = r sin(ωt), (1.8.4)

gdzie ω(r) = υ(r)/r. Składowe prędkości w kierunkach x i y są więc równe

υ_x= −rω sin(ωt) = −ωy, (1.8.5)

υ_y = rω cos(ωt) = ωx. (1.8.6)

Z równania (1.8.2) mamy:

S_xy = η

 x∂ω

∂x − y∂ω

∂y



. (1.8.7)

Dla punktu o współrzędnej y = 0, ∂ω/∂y = 0 i x∂ω/∂x jest równe rdω/dr. Dla tego zatem punktu naprężenie ścinające w kierunku prostopadłym do płaszczyzny przecho- dzącej przez oś walca i oś x wynosi:

(Sxy)_y=0= ηrdω

dr. (1.8.8)

Moment siły, działający na powierzchnię walca utworzonego z cząstek cieczy w od- ległości r od osi, można otrzymać mnożąc naprężenie ścinające przez ramię r i po- wierzchnię 2πrl. Ponieważ liczona jest długość wektora momentu siły, to należy użyć wartości bezwzględnej |dω/dr|, ponieważ prędkość kątowa może zarówno rosnąć jak i maleć z promieniem r (więc pochodna dω/dr może być dodatnia i ujemna). W wyni- ku otrzymujemy:

N1 = 2πr²l (S_xy)_y=0 = 2πηlr³    

dω dr    

. (1.8.9)

Ponieważ ruch wody jest jednostajny – nie ma przyspieszenia kątowego – wypadkowy moment siły działający na cylindryczną warstwę cieczy zawartą pomiędzy r a r + dr, musi być równy zeru. Oznacza to, że moment siły działający w odległości r musi być równoważony przez równy mu i skierowany przeciwnie moment siły w odelgłości r + dr, czyli N¹ musi być niezależne od r. Innymi słowy, r³dω/dr jest równe jakiejś stałej, np.

C1 czyli:

dω dr = C1

r³. (1.8.10)

Całkując znajdujemy, że ω zmienia się z r jak ω = −C1

2r² + C2. (1.8.11)

Stałe C¹i C²należy tak określić, aby spełnione zostały warunki brzegowe. Dla r = d_a/2 prędkość kątowa cieczy musi być równa prędkości kątowej wewnętrznego walca czyli ω = 2s/(td_c). Dla r = d_b/2 prędkość kątowa cieczy musi być równa zero. Dostajemy więc

C¹ = d²_ad²_bs

td_c(d²_a− d²_b), (1.8.12) C² = 2sd²_a

td_c(d²_a− d²_b). (1.8.13)

Korzystając z wzorów (1.8.9), (1.8.10) oraz (1.8.12) otrzymujemy wyrażenie na moment siły:

N1= 2πηl |C1| = 2πηld²_ad²_bs

tdc(d²_b − d²_a). (1.8.14) Ruch walca wewnętrznego wywołany jest momentem siły (m + m_s)gd_c/2 pochodzącym od szalki z ciężarkiem, gdzie g to przyspieszenie ziemskie. W czasie ruchu jednostajnego walca ten moment siły musi być równy przeciwnie skierowanemu momentowi siły N1. Z porównania momentów sił, po odpowiednich przekształceniach, otrzymujemy wzór na zależność liniową odwrotności czasu przelotu od masy ciężarka na szalce

1

t = Am + B, (1.8.15)

A = gd²_c d²_b− d²_a

4πηlsd²_ad²_b , B = Am_s. (1.8.16) 1.8.2 Przebieg pomiarów

Układ doświadczalny

Przyrządy: wiskozymetr rotacyjny, układ z fotokomórkami do pomiaru czasu prze- lotu, suwmiarka, głębokościomierz, przymiar, odważniki, badana ciecz, termometr.

Przebieg doświadczenia

Zdjąć szalkę, a nitkę nawinąć na wiskozymetr. Odkręcić śrubę trzymającą walec wewnętrzny oraz górną kopułę wiskozymetru. Wyjąć walec wewnętrzny i położyć go poziomo na drewnianej podstawce. Ciecz zlać do zlewki do ponownego wykorzystania.

Należy uważać, aby nie uszkodzić łożyska znajdującego się na spodzie walca wewnętrz- nego. Nie wolno kłaść walca bezpośrednio na płaskiej powierzchni stołu lub zlewu.

Nie wolno składać wiskozymetru na sucho (należy najpierw wlać ciecz do walca ze- wnętrznego, a potem wkładać walec wewnętrzny). Umyć walce szczotką i płynem do mycia naczyń, a następnie wysuszyć je przy pomocy wentylatora. Po umyciu nie wol- no części wewnętrznych wiskozymetru wycierać szmatką lub watą. Wykonać pomiary odpowiednich średnic i wysokości części wiskozymetru - da, d_b, dc, lg, lw.

Złożyć wiskozymetr podkładając na stole papierowe ręczniki, które wchłoną wyle- wający się nadmiar cieczy. Do walca zewnętrznego wlać badaną ciecz. Ostrożnie wło- żyć walec wewnętrzny i przez pewien czas wolno obracać go w celu rozprowadzenia cieczy po szczelinie pomiędzy walcami i pozbycia się pęcherzyków powietrza. Dobrze napełniony wiskozymetr poznajemy po widocznym menisku wypukłym wokół szcze- liny pomiędzy walcami. Należy utrzymywać jednakową szerokość szczeliny pomiędzy walcami, aby uniknąć wylania cieczy. Zmierzyć wielkość ∆l określającą poziom cieczy.

Zakręcić górną kopułę wiskozymetru z mocno wykręconą (lub zdjętą) śrubą.

Kluczową sprawą jest właściwe dokręcenie śruby. Walec wewnętrzny musi obra- cać się wokół pionowej osi, a szczelina z cieczą między walcami musi być wszędzie jednakowa. Należy jedną ręką przykręcać delikatnie śrubę, przytrzymując drugą ręką walec w pozycji pionowej uważając na to, aby wystająca część łożyska znalazła się we wgłębieniu śruby (można lekko obracać walec). Kiedy opór przy zakręcaniu śruby jest wyczuwalny, śrubę należy lekko popuścić i trzymając ją zakręcić nakrętkę. Dobrze za- kręcony wiskozymetr powinien poruszać się ruchem jednostajnym pod ciężarem pustej szalki (lub z masą 1g). Wszelkie zatrzymania świadczą o złym przykręceniu łożyska, zbyt małej ilości cieczy lub zabrudzeniu wiskozymetru w czasie składania.

Ustawić fotokomórki tak, aby szalka bez problemu je uruchamiała. Górna fotoko- mórka powinna być tak ustawiona, aby ruch szalki z odważnikami był już jednostajny po dotarciu do niej. Zmierzyć odległość s między fotokomórkami i wyznaczyć masę szalki m_s. Zmierzyć kilkakrotnie czasy przelotu szalki dla mas z zakresu od 1 g do 20 g. Na końcu odczytać temperaturę otoczenia, przy której wykonano ćwiczenie.

1.8.3 Opracowanie wyników

Dla każdej masy m obliczyć średni czas przelotu i jego odwrotność. Porównać ob- liczoną niepewność przypadkową z niepewnością systematyczną (dokładność fotoko- mórki). Metodą regresji liniowej obliczyć współczynniki A i B określone w równaniu (1.8.15) oraz wyznaczyć ich niepewności pomiarowe.

Obliczyć średnie wartości d_a, d_b, d_c, l_g, l_w, l, d, d_d i ich niepewności. Używając współczynnika A obliczyć współczynnik lepkości η i jego niepewność. Wyniki porównać z tablicowymi wartościami dla wody, gliceryny i cieczy zbliżonych do badanej.

Obliczyć masę szalki m_s = B/A i porównać ją z wartością zmierzoną bezpośred- nio. Różnica tych dwóch wartości pozwala oszacować wielkość stałych oporów ruchu wiskozymetru.

Można oszacować, czy wolno było zaniedbać wpływ cieczy pod walcem wewnętrz- nym. Moment siły działający na boczną powierzchnię walca wynosi N1. Załóżmy, że prędkość cieczy rośnie liniowo od dna do spodu walca wewnętrznego. Szacujemy mo- ment siły ∆N2 pochodzący od cieczy, która znajduje się w odległości od r do (r + ∆r) od osi obrotu

∆N2 = r∆F = rη (2πr∆r) ωar d_d



. (1.8.17)

Całkowity moment siły pochodzący od cieczy na dnie wynosi N2 = 2πηω_a

d_d

Z da/2 0

r³dr = πηω_ad⁴_a

32d_d . (1.8.18)

Korzystając ze zmierzonych wielkości wyznaczyć stosunek momentów sił N²/N¹. Na podstawie otrzymanego wyniku stwierdzić czy wpływ cieczy na spodzie wiskozymetru jest zaniedbywalny.