Wrocław, 31 sierpnia 2018 ZASTOSOWANIE CAŁEK
Przypomnij sobie, wymy´sl lub znajd´z odpowiedni wzór i rozwi ˛a˙z poni˙zsze zadania.
1. Znajd´z pole powierzchni ograniczonej wykresami y = cos x, y = sin(2x) w obszarze 0 ≤ x ≤ π/2.
2. Dla jakich warto´sci m prosta y = mx i krzywa y =x2x+1 zamyka obszar? Znajd´z pole tego obszaru.
3. Znajd´z obj˛eto´s´c bryły powstałej przez obrót obszaru ograniczonego przez wykresy: y = x2/4 oraz y = 5 − x2wokół osi o X .
4. Znajd´z obj˛eto´s´c bryły powstałej przez obrót obszaru ograniczonego przez wykresy: y = ln x, x = 2, y = 0 wokół osi oY .
5. Dany jest okr ˛ag o promieniu 1 i ustalona ´srednica. Rysujemy wszystkie ci˛eciwy równoległe do tej ´srednicy i nad ka˙zd ˛a z nich stawiamy namiot w kształcie trójk ˛ata równobocznego (pionowo). Oblicz obj˛eto´s´c tak powstałej bryły.
6. Policz obj˛eto´s´c torusa, czyli bryły powstałej przez obrót koła (x − 2)2+ y2≤ 1 wokół osi oY . 7. Zbiornik ma kształt odwróconego sto˙zka o wysoko´sci 10m i promieniu podstawy 4m i jest
wypełniony wod ˛a do wysoko´sci 8m. Oblicz prac˛e potrzebn ˛a do wypompowania wody przez otwór na wysoko´sci podstawy zbiornika.
8. Gumka ma naturaln ˛a długo´s´c 20cm. Porównaj prac˛e potrzebn ˛a do rozci ˛agni˛ecia gumki z 20cm do 30cm do pracy potrzebnej do rozci ˛agni˛ecia gumki z 30cm do 40cm (Tzn. znajd´z zale˙zno´s´c mi˛edzy tymi pracami. Prawo Hooke’a mówi, ˙ze siła działaj ˛aca na gumk˛e, jest proporcjonalna do wydłu˙zenia gumki ponad naturaln ˛a długo´s´c.)
9. Samochód, który w czasie t = 0 ma pr˛edko´s´c v(0) = 10km/h zaczyna przyspiesza´c. Przy- spieszenie dane jest według wzoru a(t ) = t2+ t + 1. Znajd´z pr˛edko´s´c samochodu w czasie t = T > 0.
10. Pr˛et metalowy o wadze 80k g i długo´sci 10m le˙zy na ziemi. Jak ˛a prac˛e nale˙zy wykona´c, ˙zeby podnie´s´c jeden koniec ła ´ncucha na wysoko´s´c 6m?
11. znajd´z ´sredni ˛a wysoko´s´c funkcji f (x) = cos4x sin x na odcinku [0,π].
12. Nieporuszaj ˛acy si˛e obiekt spada swobodnie przez czas t ∈ [0,T ] według wzoru s = 12g t2. Poka˙z, ˙ze ´srednia pr˛edko´s´c wzgl˛edem czasu wynosi12vT, gdzie vTjest pr˛edko´sci ˛a po czasie T oraz ˙ze ´srednia pr˛edko´s´c wzgl˛edem drogi s wynosi23vT.
13. Znajd´z długo´s´c krzywej zadanej przez wykres funkcji f (x) = ln(cos x) dla 0 ≤ x ≤ π/3.
14. Statek kosmiczny w przestrzeni porusza si˛e ruchem spiralnym, gdzie współrz˛edne to: x(t ) = cos t , y(t ) = sin t, z(t) = t. Oblicz drog˛e przebyt ˛a przez statek w czasie [0, T ].
15. Znajd´z powierzchnie bryły powstałej przez obrót wokół osi oX wykresu funkcji f (x) = c + a cosh(x/a) dla 0 ≤ x ≤ a.
16. Kroimy pomara ´ncz˛e (kul˛e) dwoma równoległymi ci˛eciami odległymi o d od siebie. Poka˙z,
˙ze wyci˛ety fragment ma zawsze tyle samo powierzchni skórki (sfery).
17. Znajd´z ´srodek masy obszaru ograniczonego przez x = 0, y = 0, y = cos x.
18. Znajd´z moment bezwładno´sci kuli jednorodnej o ´srednicy R przy obrocie wzgl˛edem jego osi symetrii.
1
