Szczególna teoria wzgl ˛edno´sci

Szczególna teoria wzgl ˛edno´sci

prof. dr hab. Aleksander Filip ˙Zarnecki

Zakład Cz ˛astek i Oddziaływa ´n Fundamentalnych Instytut Fizyki Do´swiadczalnej

Wykład IV:

• relatywistyczna definicja p ˛edu

• ruch pod wpływem stałej siły

• zasada zachowania energii

• transformacja Lorentza dla energii i p ˛edu

• masa niezmiennicza

P˛ed cz ˛astki

Granice podej´scia klasycznego

Elektron w kondensatorze

(najprostszy ’akcelerator’ cz ˛astek):

U

q<0

+

− Klasycznie:

m~a = ~F = q ~E

Potrafimy wytwarza´c pola elektryczne E ∼ 10 MV /m = 10⁷ V /m Dla elektronu:

m_e = 9.1 · 10⁻³¹kg = 0.5 M eV /c²

|q^e| ≡ 1 e = 1.6 · 10⁻¹⁹C

⇒ a ≈ 20 m⁻¹ · c² ≈ 2 · 10¹⁸m/s² W podej´sciu klasycznym elektron powinien osi ˛agn ˛a´c pr ˛edko´s´c ´swiatła ju˙z po przebyciu

∆x ≈ 2.5 cm !!!

⇒ konieczno´s´c modyfikacji praw ruchu

P˛ed cz ˛astki

Uogólnienie praw ruchu

Załó˙zmy, ze chcemy zachowa´c klasyczn ˛a definicj ˛e siły opart ˛a na II prawie Newtona

F =~ ^d~_dt^p

Oznacza to jednak, ˙ze musimy zmieni´c definicj ˛e p ˛edu, bo Newtonowska definicja

~

p = m~v

ogranicza warto´s´c p ˛edu od góry (v < c) a przecie˙z wcia˙z mog ˛a działa´c siły...

Ale mo˙ze definicja p ˛edu jest OK, a definicj ˛e siły trzeba zmieni´c?

Do´swiadczenie my´slowe

Zderzenie dwóch kul o jednakowej masie m:

V

X Y

−V

v_x v_y

P˛edy obu kul s ˛a równe co do warto´sci ale przeciwnie skierowane

P˛ed cz ˛astki

Do´swiadczenie my´slowe

Przejd´zmy do układu w którym jedna z kul porusza si ˛e tylko wzdłu˙z osi Y:

X Y

V1

V2

−V2,y

V1,y

V2,x

P˛edy wzdłu˙z osi Y powinny by´c równe.

Dwia kule ⇒ dwa układy odniesienia

Wybór jednej z kul łamie symetri ˛e zagadnienia !

Przesuni ˛ecia wzdłu˙z osi Y nie zmieniaj ˛a si ˛e w transformacji Lorentza, ale zmienia si ˛e czas w jakim nast ˛euj ˛a.

Pr ˛edko´s´c wzdłu˙z osi Y pierwszej kuli:

V_1,y = γ V_y

Pr ˛edko´s´c wzdłu˙z osi Y drugiej kuli:

V_2,y = V_y

γ(1 + β²) β = V_x

c γ = 1

q

1 − vx²/c² Czyli:

m V_1,y 6= m V2,y

Zderzenia ciał

Czy mo˙zemy z “zasad pierwszych” powiedzie´c jakie powinno by´c wyra˙zenie na p ˛ed dla cz ˛astek relatywistycznych?

Wyobra´zmy sobie dwie identyczne kule lec ˛ace (w układzie O) z pr ˛edko´sciami V₁ i V₂ wzdłu˙z osi X:

x

0 1 2

t

3

O

Przyjmijmy, ˙ze w którym´s momencie ciało 1 dogania ciało 2 i zlepia si ˛e z nim.

Jaka b ˛edzie pr ˛edko´s´c ciał po zlepieniu?

x

0 1 2

t

3

O

Klasycznie byłoby to V_c = ^V1+V₂ ², co wynikało wła´snie z zasady zachowania p ˛edu...

Zderzenia ciał

Przejd´zmy do układu odniesienia O’ zwi ˛azanego z powstaj ˛acym “zlepkiem”.

0 1 2 3

O’ t’

x’

V V

Poniewa˙z kule s ˛a identyczne z symetrii zagadnienia oczekujemy, ˙ze w układzie tym b ˛ed ˛a miały pr ˛edko´sci równe co do warto´sci, lecz przeciwnie skierowane.

Wiemy ju˙z jednak jak składaj ˛a si ˛e pr ˛edko´sci!

Pr ˛edko´sci w układzie O’ wyra˙zaj ˛a si ˛e przez V₁ i V₂, oraz pr ˛edko´s´c O wzgl ˛edem O’ (−V^c) Ze wzoru na składanie pr ˛edko´sci:

V = V₁ − Vc

1 − ^V1_c2^Vc

i −V = V₂ − Vc

1 − ^V_c²2^Vc

(warto´s´c ujemna pr ˛edko´sci odpowiada zwrotowi przeciwnemu do osi X)

Zderzenia ciał

Dla uproszczenia rachunków wprowad´zmy pr ˛edko´sci wzgl ˛edne:

β₁ = V₁

c β₂ = ^V_c² β_c = V_c c

Z warunku, ˙ze warto´sci pr ˛edko´sci w układzie O’ powinny by´c takie same otrzymujemy:

β₁ − β^c

1 − β1 β_c = β_c − β2

1 − β2 β_c Po przekształceniach:

(β₁ − β^c)(1 − β2 β_c) = (β_c − β2)(1 − β1 β_c)

β₁ − β1 β₂ β_c − βc + β₂ β_c² = β_c − β1 β_c² − β2 + β₁ β₂ β_c Otrzymujemy równanie kwadratowe na β_c:

(β₁ + β₂) β_c² − 2(1 + β1 β₂) β_c + (β₁ + β₂) = 0

⇒ ∆ = 4 (1 + β₁ β₂)² − 4 (β1 + β₂)² = 4 (1 − β1²) (1 − β2²) = 4 γ₁² γ₂²

Zderzenia ciał

Rozwi ˛azuj ˛ac równanie wyznaczamy

β_c = 2(1 + β₁ β₂) − _γ1²_γ2 2(β₁ + β₂)

Przekształcamy dalej to wyra˙zenie mno˙z ˛ac licznik i mianownik przez (γ₁ + γ₂):

β_c = 1 + β₁ β₂ − _γ1¹_γ2

β₁ + β₂ · γ₁ + γ₂ γ₁ + γ₂

= γ₁ + γ₂ + β₁ β₂ γ₁ + β₁ β₂ γ₂ − _γ¹₁ − _γ¹₂ (β₁ + β₂) · (γ1 + γ₂)

= β₁² γ₁ + β₂² γ₂ + β₁ β₂ γ₁ + β₁ β₂ γ₂ (β₁ + β₂) · (γ1 + γ₂)

gdzie skorzystali´smy z zale˙zno´sci: γ_i − _γ¹_i = γ_i



1 − _γ¹2 i



= γ_i β_i²

Zderzenia ciał

Ostatecznie otrzymujemy:

β_c = (β₁ + β₂) · (β1 γ₁ + β₂ γ₂) (β₁ + β₂) · (γ1 + γ₂)

Dla symetrii pomnó˙zmy licznik i mianownik po lewej stronie przez γ_c:

β_c γ_c

γ_c = β₁ γ₁ + β₂ γ₂ γ₁ + γ₂

Warto´s´c ułamka nie zmienia si ˛e je´sli licznik i mianownik pomno˙zymy przez t ˛a sam ˛a liczb ˛e (M dla lewej i m dla prawej strony):

β_c γ_c M

γ_c M = β₁ γ₁ m + β₂ γ₂ m γ₁ m + γ₂ m

P˛ed relatywistyczny

Ale M i m s ˛a dowolne! Mo˙zemy zawsze tak dobra´c stosunek ich warto´sci,

˙zeby tak˙ze liczniki i mianowniki po obu stronach równania były sobie równe:

β_c γ_c M = β₁ γ₁ m + β₂ γ₂ m γ_c M = γ₁ m + γ₂ m

Wychodz ˛ac z bardzo ogólnych zało˙ze ´n otrzymalismy dwa prawa zachowania!

Symetria + zasada wzgl ˛edno´sci + wła´sciwy dobór współczynników M i m

Uogólniaj ˛ac na dowoln ˛a liczb ˛e cz ˛astek w stanie pocz ˛atkowym (ini) i ko ´ncowym (f in):

X i∈ini

β_i γ_i m_i = ^X

j∈fin

β_j γ_j m_j

X i∈ini

γ_i m_i = ^X

j∈fin

γ_j m_j Czy mo˙zemy zidentyfikowa´c poszczególne człony?

P˛ed relatywistyczny

W granicy małych pr ˛edko´sci (β ≪ 1, γ = 1) równania te sprowadzaj ˛a sie do c ^X

i

β_i m_i = ^X

i

m_i V_i = const ^{zasada za howania pdu}

X i

m_i = const ^{zasada za howania masy}

Wnioskujemy, ˙ze relatywistycznym wyra˙zeniem na p ˛ed cz ˛astki jest

p = m c γ β = m γ V

Wprowadzone współczynniki m s ˛a miar ˛a bezwładno´sci ciał i nazywamy je mas ˛a.

Jedn ˛a z mas mogli´smy ustali´c dowolnie - wybór wzorca masy.

Masy pozostałych cz ˛astek mo˙zna nast ˛epnie wyznaczy´c w oddziaływaniu ze wzorcem (z wyprowadzonych praw zachowania).

Ruch pod wpływem stałej siły

Równanie ruchu

Chcemy zachowa´c klasyczn ˛a definicj ˛e siły opart ˛a na II prawie Newtona:

F =~ d~p dt

gdzie: ~p = m γ ~v = mc γ ~β

γ = 1

q

1 − β²

W przypadku ruchu prostoliniowego F = d

dt (mc γ β)

= mc γ³ dβ dt

⇒ przyspieszenie maleje jak γ⁻³ !

Rozwi ˛azanie ruchu pod wpływem stałej siły elektrycznej F = qE:

dβ

dt = qE

mc (1 − β²)^3/2

⇒ dβ

(1 − β²)^3/2 = qE mc dt

Całkujemy podstawiaj ˛ac β = sin u:

Z du

cos² u = qE mc

Z

dt

⇒ tan u = qE mc · t

przyjmuj ˛ac, ˙ze cz ˛astka spoczywała w t = 0

To˙zsamo´s´c trygonometryczna:

sin u = tan u p1 + tan²u

Ruch pod wpływem stałej siły

Otrzymujemy rozwi ˛azanie w postaci:

β(t) = αt

q

1 + (αt)²

gdzie: α = qE mc

W naszym przykładzie (e⁻ w polu 10^{M V}_m ) α ∼ 6 · 10⁹ s⁻¹, α⁻¹ ∼ 0.17 ns

W granicy α t ≫ 1:

1 − β(t) ≈ 1 2α²t²

nigdy nie osi ˛agniemy β = 1 Ale: p(t) = mc α · t – ro´snie ∼ t !

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

10^-3 10^-2 10^-1 1 10

t [ns]

β1-β

10

-6

10

-5

10

-4

10

-3

10

-2

10^-1 1

-3 -2 -1

Ruch pod wpływem stałej siły

Rozwi ˛azuj ˛ac dalej otrzymujemy:

dx

dt = c αt

q

1 + (αt)²

⇒ x(t) =

Z

dx = c α

Z αt d(αt)

q

1 + (αt)²

= c α

q

1 + (αt)² − 1



W granicy α t ≫ 1:

x(t) ≈ c t − c α W naszym przykładzie:

´swiatło wyprzedzi elektron tylko o 5 cm !!!

10

-6

10^-5 10^-4 10^-3 10

-2

10^-1 1 10 10²

10^-3 10^-2 10^-1 1 10

t [ns]

x(t) [m]

t [ns]

x(t) - ct [m]

-0.1 0

10^-3 10^-2 10^-1 1 10

Energia relatywistyczna

Dla ruchu ciała pod wpływem stałej siły otrzymali´smy:

x(t) = c α

q

1 + (αt)² − 1



β(t) = αt

q

1 + (αt)²

gdzie: α = F mc Mo˙zna zauwa˙zy´c, ˙ze: γ(t) = 1

q

1 − β²(t)

=

q

1 + (αt)²

⇒ x(t) = mc²

F (γ − 1)

Energia kinetyczna jest równa pracy wykonanej przez sił ˛e:

E_k(t) = F · x(t) = m c² (γ(t) − 1)

Energia relatywistyczna

Uzyskan ˛a zasad ˛e zachowania:

X i

γ_i m_i c² = const mo˙zemy wi ˛ec przepisa´c w postaci:

X i

hm_i c² (γ_i − 1) + mi c²ⁱ = const

X i

h E_k,i + E_0,i ⁱ = const

Gdzie: E_k = m c² (γ − 1) - energia kinetyczna

E₀ = m c² - energia spoczynkowa ciała

Konieczno´s´c wprowadzenia energii spoczynkowej wynika z otrzymanej postaci zasady zachowania energii!

Energia całkowita: E = E_k + E₀ = γ · m c²

Energia relatywistyczna

Wyra˙zenie na energi ˛e kinetyczn ˛a

E_k = m c² (γ − 1) = m c²







1

q

1 − β² − 1







W granicy małych pr ˛edko´sci (β ≪ 1) korzystamy ze wzorów na rozwini ˛ecie w szereg:

p1 + ε ≈ 1 + 1

2ε−1

8ε² + . . . 1

1 + ε ≈ 1 − ε+ε² + . . .

⇒ γ = 1

q

1 − β² ≈ 1 + 1 2β²

E_k = m c² (γ − 1) = (1 + 1

2β² − 1) = 1

2m c² β² = 1

2m V ²

Zasady zachowania energii i p ˛edu

Energia całkowita ciała:

E = γ · m c² p ˛ed ciała:

p = γ · m ~~ V c ~p = ~β γ · m c²

β =~ V~ c

Wychodz ˛ac z reguły składania pr ˛edko´sci

(zasada bezwładno´sci + zasada wzgl ˛edno´sci), wykorzystuj ˛ac symetri ˛e rozwa˙zanego zagadnienia (zasada wzgl ˛edno´sci) oraz mo˙zliwo´s´c doboru

współczynników opisuj ˛acych bezwładno´s´c ciała (mas ˛e) otrzymali´smy:

X i

E_i = ^X

i

γ_i m_i c² = const

zasada za howania enegrii

X i

~

p_i = ^X

i

γ_i · mi V~_i = const

zasada za howania pdu

Zasady te wyprowadzili´smy dla procesu zderzenia, ale okazuje si ˛e, ˙ze s ˛a one du˙zo bardziej ogólne. Zasady te obowi ˛azuj ˛a we wszystkich znanych nam procesach!!!

Zasady zachowania energii i p ˛edu

Zasada zachowania energii ma jednak swoj ˛a “cen ˛e”

V V

Z zasady zachowania energii:

E_c = E₁ + E₂

M c² = γ m c² + γ m c² M = 2 γ m

Masa “zlepka” jest wi ˛eksza ni˙z suma mas cz ˛astek! M > m + m

W ´swiecie relatywistycznym przestaje obowi ˛azywa´c zasada zachowania masy!

Energia kinetyczna zderzaj ˛acych si ˛e cz ˛astek została zamieniona na energi ˛e wewn ˛etrzn ˛a, co jest równowa˙zne ze wzrostem masy (energii spoczynkowej) “zlepka”.

Energia relatywistyczna

Transformacja

Energia spoczynkowa cz ˛astki:

E_◦ = m c² Energia całkowita:

E = E_◦ + E_k = m c² · γ Wyra˙zenie na p ˛ed:

p = m c · β γ W układzie własnym cz ˛astki:

p_◦ = 0

Zgodnie z definicj ˛a układu ´srodka masy.

Mo˙zemy zauwa˙zy´c, ˙ze:

E = γ E_◦ p c = β γ E_◦

Je´sli cz ˛astka porusza si ˛e wzdłu˙z osi X: E = γ E_◦

c p_x = β γ E_◦ c p_y = 0

c p_z = 0

Energia relatywistyczna

Transformacja

Formalnie mo˙zemy zapisa´c:

(p_◦ = p_◦,x = p_◦,y = p_◦,z = 0)















E c p_x c p_y c p_z















=















γ E_◦ + γ β c p_◦,x γ β E_◦ + γ c p_◦,x

c p_◦,y c p_◦,z















=















γ γ β 0 0 γ β γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1















·















E_◦ c p_◦,x c p_◦,y c p_◦,z















Okazuje si ˛e, ˙ze energia i p ˛ed podlegaj ˛a, przy zmianie układu odniesienia, transformacji Lorenza identycznej z transformacj ˛a czasu i poło˙zenia.

Masa niezmienicza

Niezmiennik transformacji

Z definicji czynnika Lorenza

γ = 1

q

1 − β²

⇒ γ² − β²γ² = γ²(1 − β²) = 1 γ² E_◦² − β²γ² E_◦² = E_◦²

E² − c² p² = m² c⁴

niezale˙znie od pr ˛edko´sci cz ˛astki,

czyli niezale˙znie od układu odniesienia

Wyra˙zenie:

s = M² c⁴ = E² − c² p²

jest niezmiennikiem transformacji Lorenza dla dowolnego układu fizycznego

(nie zale˙zy od wyboru układu odniesienia) M ≡ √

s - masa niezmienicza układu (masa inwariantna)

Kluczowa wielko´s´c w opisie zderze ´n relatywistycznych...

Energia relatywistyczna

Transformacja Lorenza

Transformacja Lorenza ma zastosowanie do wszystkich czterowektorów:

• czterowektor poło˙zenia (w czasoprzestrzeni): (ct, x, y, z)

• czterowektor energii-p ˛edu (“czterop ˛ed”): (E, cp_x, cp_y, cp_z)

• czteropotencjał pola elektromagnetycznego: (Φ, A_x, A_y, A_z) E = −~ ^gradΦ − ¹_c ^{∂ ~}_∂t^A B =~ ^rotA~

• ró˙znica dwóch czterowektorów (np. odst ˛ep mi ˛edzy zdarzeniami, przekaz czterop ˛edu...)

Niezmiennikiem transformacji Lorenza jest “kwadrat” ka˙zdego czterowektora

A^(4)2 = A²₀ − A~² = A²₀ − A²_x − A²_y − A²_z

• zmiana poło˙zenia ⇒ interwał: s_AB = (∆t)² − (∆x)² − (∆y)² − (∆z)²

• energia-p ˛ed ⇒ masa niezmiennicza: M² = E² − p² − p² − p²

Energia relatywistyczna

Lini ˛e ´swiata cz ˛astki mo˙zemy zparametryzowa´c jej czasem własnym

X (τ) = (ct(τ), ~r(τ)) = (ct(τ), x(τ), y(τ), z(τ))

Czas własny jest miar ˛a odległo´sci czasoprzestrzennej (interwału) mi ˛edzy zdarzeniami na lini ´swiata: dτ =

q

d(ct)² − dx² − dy² − dz² Czterowektor energii-p ˛edu

E = (E, c~p) = (E, cpx, cp_y, cp_z) mo˙zemy zapisa´c w postaci:

E = mc dX

dτ = mc d(ct)

dτ , d~r dτ

!

= mc d(ct)

dτ , dx dτ , dy

dτ, dz dτ

!

Nie musieli´smy rezygnowa´c z klasycznej definicji p ˛edu. Wystarczy, ˙ze “zwykł ˛a” pr ˛edko´s´c (^d~_dt^r) zast ˛apimy “pr ˛edko´sci ˛a” liczon ˛a jako pochodna poło˙zenia po czasie własnym.

Fundamentalnie nowa jest relatywistyczna koncepcja energii!

E podlega transformacji Lorentza, gdy˙z wyra˙za si ˛e przez czterowektor dX i skalar (niezmiennik) dτ.

Zderzenia relatywistyczne

Układ ´srodka masy

Energia układu cz ˛astek: E = ^P_i E_i P˛ed układu cz ˛astek: P =~ ^P_i p~_i

⇒ masa niezmiennicza M

Jak znale´z´c układ ´srodka masy P~^⋆ = 0 ?

Wiemy, ˙ze w CMS E^⋆ = M

⇒ E = γ M c P = β γ M

Otrzymujemy zwi ˛azki na wspólczynniki transformacji do układu ´srodka masy:

β = c P E γ = E

M c² β γ = P

M c

obowi ˛azuj ˛a zarówno dla pojedy ´nczej cz ˛astki jak i dowolnego układu cz ˛astek