Zadania z mechaniki klasycznej (zestaw 3 - piątek 22.10.2010) 8. Rozważmy system o

Zadania z mechaniki klasycznej (zestaw 3 - piątek 22.10.2010)

8. Rozważmy system o 𝑛 stopniach swobody, ktorego lagranżjan (składający się tylko z części kinetycznej) ma postać

𝐿 = 𝑚

2 𝑔

˙𝑞

˙𝑞

(stosujemy konwencję o sumowaniu powtarzających się wskaźników). Funkcje 𝑔

= 𝑔

zależą w ogólności od wszystkich współrzędnych uogólnionych 𝑞

. Zakładamy, że det(𝑔

) ∕= 0, więc istnieje 𝑔

takie, że 𝑔

𝑔

= 𝛿

. Proszę pokazać, że równaniami Lagrange’a dla tego układu są

¨

𝑞

+ Γ

˙𝑞

˙𝑞

= 0, gdzie

Γ

= 1

2 𝑔

( ∂𝑔

∂𝑞

+ ∂𝑔

∂𝑞

− ∂𝑔

∂𝑞

)

.

9. Proszę napisać lagranżjan dla cząstki swobodnej, która znajduje się (a) w układzie obracającym się wokół osi z ze stałą prędkością kątową;

(b) w układzie poruszającym się ze stałym przyspieszeniem a względem układu inercjalnego.

10. Klocek o masie m jest utrzymywany w spoczynku na równi pochyłej o masie M, która leży na poziomej płaszczyźnie. W pewnej chwili klocek jest puszczony. Proszę znaleźć przyspieszenie równi pochyłej.

11. Dwie masy 𝑀 i 𝑚 są połączone nicią przewieszoną przez dwa bloczki. Lewa masa 𝑀 porusza się pionowo, a prawa masa 𝑚 może sie huśtać. Proszę napisać równania ruchu. Jakie są całki ruchu?

12. Punkt materialny porusza się po powierzchni stożka ustawionego pionowo na wierzchołku.

Proszę napisać równania ruchu. Jakie są całki ruchu?

A. Rostworowski

http://th.if.uj.edu.pl/∼arostwor/