MATEMATYKA lista zada´n nr 7
1. Obliczy´c pochodne kierunkowe podanych funckji we wskazanych punktach i kierunkach:
a) f (x, y) = 1
√x2+ y2, (x0, y0) = (1, 2), ~v = 1 2
h1, −√ 3i,
b) f (x, y) = ex+y, (x0, y0) = (1, −1), ~v = 1 2
h√ 2,√
2i,
c) f (x, y) = sin(πqx2 + y2), (x0, y0) = (−1, −1), ~v = [1, 1] .
2. Znale´z´c ekstrema lokalne podanych funkcji:
a) f (x, y) = e−x2−y2, b) f (x, y) = xy(1 − x − y),
c) f (x, y) = (y − x)2+ (y + 2)2, d) f (x, y) = xy ln(x2 + y2).
3. Znale´z´c ekstrema warunkowe podanych funkcji:
a) f (x, y) = xy, x + y = 4, b) f (x, y) = x + y, xy = 4,
c) f (x, y) = x2+ y2, x4+ y4 = 81, d) f (x, y) = x4+ y4, x2 + y2 = 9.
4. Znale´z´c warto´sci najmniejsze i najwi¸eksze podanych funkcji:
a) f (x, y) = x2+ 2xy − 2xy + 8y, 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2,
b) f (x, y) = sin x + sin y + sin(x + y), 0 ≤ x ≤ π
2, 0 ≤ y ≤ π 2, c) f (x, y) = xy, x2+ y2 ≤ 2.
5. Znale´z´c wymiary prostopad lo´scianu o obj¸eto´sci V , kt´ory ma najmniejsze pole powierzchni ca lkowitej.
6. Przekr´oj poprzeczny kana lu ma mie´c kszta lt trapezu r´ownoramiennego o polu S. Brzegi i dno kana lu wyk lada si¸e p lytkami. Znale´z´c wymiary kana lu, kt´orego koszt budowy b¸edzie najmniejszy.
