03DRAP - σ-ciała zdarzeń Definicja. 1.

03DRAP - σ-ciała zdarzeń

Definicja. 1. F jest σ-ciałem podzbiorów zbioru Ω, gdy spełnia następujące warunki:

C1. Ω ∈ F .

C2. Jeżeli A ∈ F , to A⁰= Ω \ A ∈ F . C3. Jeżeli Ai∈ F , i = 1, 2, ..., to

∞

S

i=1

Ai∈ F .

Podzbiór A zbioru Ω nazywamy zdarzeniem, gdy A ∈ F . Zbiór pusty nazywamy zdarzeniem niemożliwym, zbiór Ω zdarzeniem pewnym, natomiast zbiór A⁰ zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A.

Twierdzenie. 1 (własności σ-ciał). Niech F będzie σ-ciałem. Wtedy następujące stwierdzenia są prawdziwe.

W1 ∅ ∈ F .

W2 Jeśli A, B ∈ F , to A ∪ B ∈ F . W3 Jeśli A, B ∈ F , to A ∩ B ∈ F . W4 Jeśli A, B ∈ F , to A \ B ∈ F . W5 Jeśli A₁, A₂, . . . ∈ F , to T∞

n=1A_n ∈ F .

Definicja. 2. σ-ciałem zbiorów borelowskich na R nazywamy najmniejsze (w sensie zawierania) σ-ciało podzbiorów R, które zawiera wszystkie przedziały otwarte (a, b), a, b ∈ R.

A Zadania na ćwiczenia

Zadanie A.1. Losujemy 100 razy ze zwracaniem po jednej kuli z urny, w której są 3 ponumerowane różnymi liczbami {1, 2, 3} kule. Niech A_i będzie zdarzeniem: za i–tym razem wylosowaliśmy kulę z numerem 1. Korzystając ze zdarzeń A_i oraz operacji ∪, ∩ i dopełnienia, zapisz następujące zdarzenia:

a. kula z numerem 1 została wylosowana co najmniej raz;

b. kula z numerem 1 nie została wylosowana ani razu;

c. kula z numerem 1 została wylosowana dokładnie raz.

d. w pierwszych trzech losowaniach wylosowaliśmy numer 1 co najmniej raz;

e. w pierwszych trzech losowaniach numer 1 został wylosowany co najwyżej dwa razy.

Zadanie A.2. Wyznacz zbioryS∞

n=0A_n orazT∞

n=0A_n, jeżeli a. An= {x : n ¬ x ¬ n + 1},

b. An= {x : x = cos(^πn₂ )}, c. An= {x : 0 ¬ x ¬ 1 −_n+1¹ }.

Zadanie A.3. Niech A0, A1, A2, . . . będzie ciągiem zdarzeń w przestrzeni Ω. Wykaż, że a. A0∩S∞

n=1An =S∞

n=1(A0∩ An), b. (T∞

n=0A_n)⁰=S∞ n=0A⁰_n.

Zadanie A.4. Niech A będzie rodziną podzbiorów w przestrzeni Ω. Znajdź σ(A), czyli najmniejsze σ-ciało zawierające rodzinę A, jeżeli

a. Ω = R, A = {(−∞, 100), (−100, +∞)},

c. (a, +∞), d. (−∞, a],

e. {a, b}, f. N, g. Q.

Zadanie A.6. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (−∞, x), x ∈ R (tzn. najmniejszym σ-ciałem zawierającym tę rodzinę zbiorów). Pokazać, że wszystkie przedziały otwarte (a, b), a, b ∈ R, należą do F. Czy F ma jakiś związek z rodziną zbiorów borelowskich?

Zadanie A.7. Udowodnij, że warunek C1 w Definicji 1 można zastąpić warunkiem C1’. F jest niepusta.

Zadanie A.8. Niech F i G będą σ–ciałami. Udowodnij, że F ∩ G = {H : H ∈ F i H ∈ G} jest σ–ciałem.

Zadanie A.9. Niech Ω = N. Czy rodzina pozdbiorów przestrzeni Ω składająca się ze zbiorów skończonych lub ich dopełnień jest σ-ciałem?

B Zadania domowe

ZADANIA PODSTAWOWE Zadanie B.1. Wyznacz zbioryS∞

n=0An oraz T∞

n=0An, jeżeli a. An= {x : 0 ¬ x ¬ n + 1},

b. An= {x : x ≡ n( mod 4)},

c. An= {x : 1 −_n+1¹ ¬ x ¬ 1 +_n+1¹ }.

Zadanie B.2. Niech A0, A1, A2, . . . i B0, B1, B2, . . . będą dwoma ciągami zdarzeń w pzestrzeni Ω. Wykaż, że a. T∞

n=0An∩T∞

n=0Bn=T∞

n=0(An∩ Bn).

b. (S∞

n=0An)⁰=T∞ n=0A⁰_n.

Zadanie B.3. Niech A będzie rodziną podzbiorów w przestrzeni Ω. Znajdź σ(A), czyli najmniejsze σ-ciało zawierające rodzinę A, jeżeli

a. Ω = [−5, 5], A = {[−5, 0), (0, 5]}, b. Ω = [−5, 5], A = {[−5, 0], (0, 5]}

c. Ω = Z, A = {{2a − 1, 2a, 2a + 1} : a ∈ Z}.

Zadanie B.4. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów [x, ∞), x ∈ R (tzn. najmniejszym co do zawierania σ-ciałem zawierającym tą rodzinę zbiorów). Pokazać, że następujące zbiory należą do

F : (a){0}, (b)(e, π], (c)(1, 2] ∪ [3, 4).

Opisz związek tej rodziny z rodziną zbiorów borelowskich B(R).

Zadanie B.5. Rzucamy 7 razy kostką. Niech Ai (1 ¬ i ¬ 7) oznacza zdarzenie: za i–tym razem wypadła szóstka.

Korzystając ze zdarzeń Ai (1 ¬ i ¬ 7) oraz operacji ∪, ∩ i dopełnienia, zapisz poniższe zdarzenia:

a. szóstka wypadła co najmniej raz;

b. w pierwszych trzech rzutach szóstka wypadła dokładnie raz;

c. w pierwszym rzucie nie wypadła szóstka i szóstka wypadła co najmniej raz;

d. szóstka wypadła co najwyżej 6 razy.

ZADANIA DLA TYCH, KTÓRZY MIELI PROBLEM Z PODSTAWOWYMI

Zadanie B.6. Do n różnych urn wrzucamy losowo k różnych kulek. Możemy zdefiniować przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω dla tego eksperymentu następująco:

Ω = {(x₁, x₂, . . . , x_k) : x_i∈ {1, 2, . . . , n} dla i = 1, . . . , k}.

(gdzie xi to jest numer urny, do której wpadła i-ta kula).

Zdarzenie A polegające na tym, że wszystkie kulki wpadły do tej samej urny możemy zapisać tak:

A = {(x1, x2, . . . , xk) ∈ Ω : x1= x2= . . . = xk= j dla pewnego j ∈ {1, 2, . . . , n}}.

Proszę zapisać podobnie poniższe zdarzenia.

(a) Pierwsza urna jest pusta.

(b) W każdej urnie jest nie więcej niż jedna kulka.

Zadanie B.7. Niech A, B, C będą pewnymi zdarzeniami w przestrzeni Ω. Wyraź następujące zdarzenie za pomocą zdarzeń A, B, C :

a. zaszły wszystkie trzy zdarzenia,

g. zaszło nie więcej niż jedno zdarzenie, h. przeciwne do „nie zaszło ani A ani B”,

i. przeciwne do „zaszło C i nie zaszło A”,

j. przeciwne do „zaszło co najmniej jedno ze zdarzeń”.

Zadanie B.8. Załóżmy, że zapisujemy losowo każdego z 300 studentów do jednej z 20 grup ćwiczeniowych. Niech Gi

będzie zdarzeniem: i-ta grupa zawiera przynajmniej 20 studentów. Korzystając ze zdarzeń Gizapisz następujące zdarzenia:

a. przynajmniej jedna grupa zawiera co najmniej 20 studentów, b. każda z grup zawiera co najwyżej 19 studentów,

c. dokładnie jedna grupa zawiera co najmniej 20 studentów, d. co najwyżej jedna grupa zawiera co najmniej 20 studentów,

e. wśród pierwszych pięciu grup istnieje grupa, która zawiera co najmniej 20 studentów.

C Zadania dla chętnych

Zadanie C.1. Udowodnij, że warunek C1 w Definicji 1 można zastąpić warunkiem

C1’ . F jest niepusta.

C1” . ∅ ∈ F .

Zadanie C.2. Niech F i G będą σ–ciałami. Udowodnij, że F ∩ G = {H : H ∈ F i H ∈ G} jest σ–ciałem.

Zadanie C.3. Niech F będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru Ω oraz przypuśćmy, że B ∈ F . Udowodnij, że G = {A ∩ B : A ∈ F } jest σ–ciałem podzbiorów zbioru B.

Zadanie C.4. Niech Ω = N. Czy rodzina pozdbiorów przestrzeni Ω składająca się ze zbiorów skończonych lub ich dopełnień jest σ-ciałem?

Zadanie C.5. Niech F i G będą σ–ciałami. Udowodnij, że F ∪ G = {H : H ∈ F lub H ∈ G} nie koniecznie jest σ–ciałem.

Zadanie C.6 (Czy istnieje podzbiór Ω dla którego nie można określić prawdopodobieństwa?). Przypuśćmy, że miara µ (spełnia warunki 1 i 3 def.2.1.) określona na pewnym σ–ciele podzbiorów R ma dwie naturalne własności: jest przesuwalna, czyli ∀_A⊆R,x∈Rµ(A) = µ(A + x), a ponadto miara przedziału jest równa jego długości. P = µ|[0;1]jest oczywiście dobrze określonym prawdopodobieństwem. Okazuje się, że istnieje wtedy podzbiór, któremu nie da się sensownie przypisać miary – zbiór niemierzalny. Dowód zawiera się w poniższych zadaniach:

a. Udowodnij, że relacja x ∼ y wtw x − y ∈ Q jest relacją równoważności.

b. Niech U będzie podzbiorem odcinka [0; 1] zawierający dokładnie jeden element z każdej klasy abstrakcji powyższej relacji (Istnienie U wynika z aksjomatu wyboru). Udowodnij, że

u, w ∈ Q i u 6= w ⇒ (U + u) ∩ (U + w) = ∅.

c. Niech ciąg (wi)^∞_i=1 zawiera wszystkie liczby wymierne z odcinka [−1; 1]. Udowodnić, że

∞

[

i=1

(U + wi) ⊇ [0; 1].

d. Udowodnić, że zbiór U jest niemierzalny (tzn. nie da się jego miary określić za pomocą µ.)

Odpowiedzi do niektórych zadań

B.1 a)S∞

n=0An= [0, +∞],T∞

n=0An= [0, 1] b)S∞

n=0An= N,T∞

n=0An = ∅ c)S∞

n=0An= [0, 2],T∞

n=0An= {1}

B.3 a) σ(A) = {∅, Ω, [−5, 0), (0, 5], [0, 5], [−5, 0], [−5, 0) ∪ (0, 5], {0}} b) σ(A) = {∅, Ω, [−5, 0], (0, 5]} c) σ(A) = 2^Z B.5 a) A1∪ A2∪ A3∪ A4∪ A5∪ A6∪ A7

b) (A1∩ A⁰₂∩ A⁰₃) ∪ (A⁰₁∩ A2∩ A⁰₃) ∪ (A⁰₁∩ A⁰₂∩ A3) c) A⁰₁∩ (A2∪ A3∪ A4∪ A5∪ A6∪ A7)

d) (A1∩ A2∩ . . . ∩ A7)⁰= A⁰₁∪ A⁰₂∪ . . . ∪ A⁰₇

B.6 (a){(x₁, x₂, . . . , x_k) ∈ Ω : x_i6= 1 dla każdego i ∈ {1, 2, . . . , k}}

(b) {(x₁, x₂, . . . , x_k) ∈ Ω : x_i6= x_j dla każdego i, j ∈ {1, 2, . . . , k}}

B.7 (w tym zadaniu niektóre punkty mogą mieć kilka poprawnych odpowiedzi) a) A ∩ B ∩ C

b) (A⁰∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B⁰∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C⁰) c) (A⁰∩ B⁰∩ C) ∪ (A⁰∩ B ∩ C⁰) ∪ (A ∩ B⁰∩ C⁰) d) A ∩ B ∩ C

e) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = (A⁰∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B⁰∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C⁰) ∪ (A ∩ B ∩ C) f) A ∩ B⁰∩ C⁰ = A \ (B ∪ C)

g) (A⁰∩ B⁰∩ C) ∪ (A⁰∩ B ∩ C⁰) ∪ (A ∩ B⁰∩ C⁰) ∪ (A⁰∩ B⁰∩ C⁰) = ((A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C))⁰ h) (A⁰∩ B⁰)⁰ = A ∪ B

i) (C \ A)⁰= (C ∩ A⁰)⁰ = C⁰∪ A j) (A ∪ B ∪ C)⁰= A⁰∩ B⁰∩ C⁰ B.8 a)S20

n=1Gi

b)T20 n=1G⁰_i c) S2

i=10(Gi∩T20

j=1,j6=iG⁰_j) d)T20

i=1G⁰_i∪S2

i=10(G_i∩T20

j=1,j6=iG⁰_j) e) G₁∪ G₂∪ G₃∪ G₄∪ G₅