Zadania domowe na 20 grudnia Zadanie 1. Dana jest macierz
A =
1 2 3 2 4 5 1 3 7
.
Przy pomocy arkusza kalkulacyjnego obliczyć a) wyznacznik macierzy A,
b) macierz odwrotną do A (pod warunkiem, że A jest odwracalna, czyli det A 6= 0), c) rozwiązania układu równań A ·
x y z
=
2 8 32
.
W arkuszu kalkulacyjnym można znaleźć funkcje pozwalające obliczyć wyznacznik i macierz odwrotną. Do rozwiązania układu równań można użyć swojej ulubionej metody, w szczególności macierzy odwrotnej (korzystając z wcześniejszych obliczeń) lub wzorów Cramera (co znacznie ułatwi arkusz kalkulacyjny).
Zadanie 2. Wykonać polecenie z zadania 1 dla macierzy A =
−3 −2 −7
3 2 −1
1 1 −1
.
Zadanie 3. Rozwiązać układy równań
a)
( x + y + 2z = 5
−x + 2y − 5z = 4 b)
x + 2y + 2z + t = 1 y − z − t = 4 2z + 5t = 7
Proste będące rozwiązaniami proszę opisać przez podanie wektora kierunkowego i punktu za- czepienia. W punkcie b) można postąpić analogicznie, jak na ćwiczeniach w przypadku układu dwóch równań z trzema zmiennymi: znaleźć dwa różne rozwiązania, wybrać jedno jako punkt zaczepienia i przyjąć ich różnicę jako wektor kierunkowy.
Zadanie 4. Rozwiązać równanie x + 2y + 3z = −1.
Rozwiązania jednego równania z trzema niewiadomymi tworzą płaszczyznę. Trzeba tę płaszczy- znę opisać poprzez podanie punktu zaczepienia i dwóch wektorów kierunkowych, niezależnych, czyli takich, że jednego nie można otrzymać przez pomnożenie drugiego przez liczbę. Żeby je znaleźć postępujemy tak:
1. znajdujemy trzy różne rozwiązania danego równania – żeby znaleźć rozwiązanie, podstawia- my wybrane liczby za dwie wybrane zmienne i wyliczamy wartość trzeciej zmiennej,
2. musimy zadbać, żeby otrzymane rozwiązania nie były punktami z jednej prostej (w prze- ciwnym przypadku nie opiszemy całej płaszczyzny rozwiązań – otrzymamy zależne wektory kierunkowe), więc jeśli wyszły nam takie, które są na jednej prostej, to musimy obliczyć nowe rozwiązania, inaczej dobierając wartości dwóch zmiennych,
3. jeśli mamy już trzy niewspółliniowe rozwiązania, to jedno z nich staje się punktem zaczepie- nia, a wektory kierunkowe otrzymujemy, odejmując punkt zaczepienia od pozostałych dwóch rozwiązań.
Zadanie 5. Alojzy, Bonifacy i Czesław mają w sumie 60 lat. Wiadomo, że 15 lat temu wiek Alojzego był dwukrotnie mniejszy niż suma wieku Bonifacego i wieku Czesława. Natomiast 8 lat temu Bonifacy był dwa razy starszy od Czesława. Ile lat ma obecnie każdy z nich?
Wskazówka: oczywiście trzeba zapisać i rozwiązać (ulubioną metodą) odpowiedni układ rów- nań.
1
