1 σ-ciała Definicja 1.1 (

1 σ-ciała

Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrze- nią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki:

1^o ∅ ∈ M;

2^o jeśli A ∈ M, to X \ A ∈ M;

3^o jeśli A_n∈ M dla każdego n ∈ N, to ^Sn∈NA_n∈ M.

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.

Z powyższych warunków wynikają łatwo następujące własności σ - ciała M:

• X ∈ M

• jeśli J jest co najwyżej przeliczalnym zbiorem, oraz A_j ∈ M dla każdego j ∈ J, to:

a) ^S_j∈JA_j ∈ M;

b) ^T_j∈JA_j ∈ M

tzn. suma i przecięcie co najwyżej przeliczalnej rodziny zbiorów należących do σ-ciała M, należą do M;

• jeśli A, B ∈ M, to A \ B ∈ M.

Definicja 1.2 Jeśli M jest σ- ciałem w zbiorze X, to parę (X, M) nazywamy przestrzenią mierzalną.

Przykłady:

1. Rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X jest σ-ciałem w X.

2. Rodzina M = {∅, X} jest σ-ciałem w zbiorze X.

3. Jeśli E jest ustalonym podzbiorem zbioru X, to rodzina M = {∅, X, E, X \ E} jest σ- ciałem w zbiorze X.

4. Niech (X, ) będzie przestrzenią mierzalną oraz niech dane będzie odwzorowanie f : X 7−→

Y , gdzie Y - dowolny zbiór. Wówczas rodzina N = {B ⊂ Y : f⁻¹(B) ∈ M} jest σ-ciałem w Y .

Stwierdzenie 1.1 Część wspólna rodziny σ-ciał w X jest σ- ciałem w X.

Powyższe stwierdzenie uprawnia nas do wprowadzenia następującego pojęcia:

Definicja 1.3 Niech R - pewna rodzina podzbiorów przestrzeni X. σ-ciałem generowanym przez R w X nazywamy część wspólną wszystkich σ-ciał w X zawierających R i oznaczamy σ(R). σ(R) bywa nazywane również najmniejszym σ-ciałem w X zawierającym rodzinę R.

Uwaga: istnienie σ(R) wynika z Przykładu 1.

Definicja 1.4 (zbiory borelowskie) Zbiorami borelowskimi względem danej przestrzeni me- trycznej X nazywamy zbiory należące do σ-ciała w X generowanego przez rodzinę G(X) - wszystkich zbiorów otwartych w X. Rodzinę wszystkich zbiorów borelowskich względem X oznaczamy B(X).

2 Miara

Definicja 2.1 Niech (X, M) - przestrzeń mierzalna. Miarą na σ-ciele M nazywamy funkcję µ : M 7−→ ¯R+ (czyli funkcję, która każdemu zbiorowi A z σ-ciała M przyporządkowuje liczbę nieujemną µ(A) skończoną, lub równą +∞) spełniającą dwa warunki:

1^o µ(∅) = 0 (miara zbioru pustego równa się 0);

2^o µ (^S_n∈NA_n) =^P_n∈Nµ(A_n) dla każdego ciągu zbiorów A_n∈ M parami rozłącznych (miara sumy ciągu zbiorów parami rozłącznych równa się sumie ich miar).

Własność 2^o nazywamy przeliczalną addytywnością funkcji zbioru µ .

Jeśli µ jest miarą na σ-ciele M w X, to trójkę (X, M, µ) nazywamy przestrzenią z miarą.

Jeśli A ∈ M i µ(A) = 0 to mówimy, że zbiór A jest miary µ zero.

Jeśli A ∈ M i µ(A) < +∞ to mówimy, że zbiór A jest miary µ skończonej.

Miara µ na σ-ciele M w X nazywa się:

- skończona, jeśli µ(X) < +∞;

- unormowana lub probabilistyczna, jeśli µ(X) = 1;

- półskończona lub σ-skończona, jeśli przestrzeń X daje się przedstawić w postaci sumy przeliczalnej rodziny zbiorów miary µ skończonej;

- zupełna, jeśli z warunku A ⊂ B, B ∈ M, µ(B) = 0 wynika, że A ∈ M (tzn. każdy podzbiór zbioru miary zero należy do M).

Stwierdzenie 2.1 Niech µ będzie miarą na σ-ciele M. Wówczas:

(i) jeśli J jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, oraz {A_j: j ∈ J } - rodziną zbiorów parami rozłącznych należących do M, to

µ



 [

j∈J

Aj



=^X

j∈J

µ(Aj);

(ii) jeśli zbiór A jest miary µ skończonej, A ⊂ B, B ∈ M, to µ(B \ A) = µ(B) − µ(A);

(iii) jeśli A ⊂ B (A, B ∈ M), to µ(A) ¬ µ(B) (tzw. monotoniczność funkcji zbioru µ.)

(iv) jeśli J jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, oraz {A_j: j ∈ J } - rodziną zbiorów należących do M, to

µ



 [

j∈J

A_j



¬ ^X

j∈J

µ(A_j);

(v) suma przeliczalnej rodziny zbiorów miary µ zero jest zbiorem miary µ zero;

(vi) jeśli A_n % A, (A_nM), to µ(A_n) % µ(A);

(vii) jeśli An & A, (AnM), to µ(An) & µ(A), przy dodatkowym założeniu, że zbiór A1 jest miary µ skończonej;

Definicja 2.2 (miara zewnętrzna) Miarą zewnętrzną w zbiorze X nazywamy funkcję zbioru µ^∗ o wartościach w ¯R+, określoną na klasie wszystkich podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki:

1^o µ^∗(∅) = 0;

2^o jeśli A ⊂ B ⊂ X, to µ^∗(A) ¬ µ^∗(B) (monotoniczność) ;

3^o µ (^S_n∈NAn) ¬ ^P_n∈Nµ^∗(An) dla każdego ciągu An podzbiorów zbioru X (przeliczalna po- daddytywność).

Z własności tych wynika, że µ^∗(^S_j∈JA_j) ¬ ^P_j∈J^Pµ^∗(A_j) dla każdej rodziny {A_j: j ∈ J } podzbiorów zbioru X, gdzie J - co najwyżej przeliczalny zbiór indeksów. W szczególności jeśli µ^∗(Aj) = 0 dla j ∈ J , to µ^∗(^S_j∈JAj) = 0.

Uwaga: Każda miara jest miarą zewnętrzną. Jeśli miara zewnętrzna jest skończenie addy- tywna to jest miarą.

Definicja 2.3 Niech µ^∗ będzie miarą zewnętrzną w X. Mówimy, że zbiór A ⊂ X spełnia warunek Caratheodory’ego względem µ^∗, jeśli:

(Car)

µ^∗(W ∪ Z) = µ^∗(W ) + µ^∗(Z)

dla dowolnych zbiorów W, Z takich, że W ⊂ A, Z ⊂ X \ A (zbiór W jest ”wewnętrzny” a Z

”zewnętrzny” w stosunku do A).

Uwaga: wystarczy żądać by zachodziło ”­”.

Twierdzenie 2.1 (Caratheodory’ego) Jeśli µ^∗ jest miara zewnętrzną w zbiorze X oraz M oznacza rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru X spełniających warunek (Car), to:

a) M jest σ-ciałem w X;

b) jeśli µ^∗(A) = 0, to A ∈ M;

c) miara zewnętrzna µ^∗ zawężona do M jest miarą, miara ta jest zupełna.

Dowód:

Definicja 2.4 Przedziałem w R^k nazywamy zbiór P ⊂ R^k postaci:

P = P₁× . . . × P_k

gdzie P_i są przedziałami jednowymiarowymi. Objętością przedziału k- wymiarowego nazy- wamy iloczyn długości przedziałów jednowymiarowych określających ten przedział:

|P | = |P₁| · . . . · |Pk|.

Definicja 2.5 Powiemy, że rodzina przedziałów P^j jest pokryciem zbioru A jeśli A ⊂^S_i∈JP^j. Definicja 2.6 (k - wymiarowa miara zewnętrzna Lebesgue’a) K wymiarową miarą ze- wnętrzną Lebesgue’a zbioru A ⊂ R^k określamy:

l^∗_k(A) = inf





 X

n∈N

|Pⁿ| : Pⁿ− przedziały w R^k , A ⊂ ^[

n∈N

Pⁿ







.

Twierdzenie 2.2 Powyżej określona k-wymiarowa miara zewnętrzna Lebesgue’a jest miarą zewnętrzną.

Twierdzenie 2.3 Miara zewnętrzna Lebesgue’a dowolnego przedziału k-wymiarowego równa się jego objętości.

Zbiory o mierze zewnętrznej Lebesgue’a równej zero nazywamy zbiorami miary zero.

Przykłady:

1. Zbiór pusty jest miary zero.

2. Każdy zbiór przeliczalny jest miary zero (bo zbiory jednopunktowe są miary zero).

3. Każdy przedział zdegenerowany w R^k jest zbiorem miary zero, co wynika z definicji obję- tości przedziału zdegenerowanego i definicji miary Lebesgue’a.

4. Jeśli jeden ze zbiorów A, B ⊂ R jest miary zero to A × B ⊂ R² jest miary 0.

Przez L(R^k) oznaczamy σ-ciało w przestrzeni R^k generowane przez rodzinę wszystkich k-wymiarowych przedziałów i rodzinę wszystkich podzbiorów R^k miary zero. σ -ciało L(R^k) nazywamy klasą podzbiorów przestrzeni R^k mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Zbiory nale- żące do L(R^k) nazywamy zbiorami mierzalnymi (w sensie Lebesgue’a). Przez l_k oznaczamy zawężenie miary zewnętrznej Lebesgue’a l_k^∗ do σ-ciała L(R^k) zbiorów mierzalnych.

Twierdzenie 2.4 a) Wszystkie podzbiory miary zero przestrzeni R^k oraz wszystkie jej pod- zbiory borelowskie są mierzalne (tzn. należą do L(R^k));

b) l_k jest miarą na σ-ciele L(R^k);

c) miara l_k jest zupełna i σ-skończona.

Twierdzenie 2.5 Iloczyn kartezjański zbiorów mierzalnych jest zbiorem mierzalnym.

Zadania rozważane na wykładzie:

1. Podaj postać σ-ciała w zbiorze X = {a, b, c, d} generowanego przez rodzinę zbiorów R = {{a}, {b}}.

2. Twierdzenie 2.6 Niech G ⊂ R^k. Dane jest odwzorowanie f : G → Rⁿ, k < n, f jest klasy C¹. Wówczas l_n(f (g)) = 0.

Korzystając z tego twierdzenia pokazaliśmy, że l2(S¹) = 0,

gdzie S¹ = {(x₁, x₂) ∈ R²: x²₁ + x²₂ = 1} - okrąg jednostkowy. Zastosowaliśmy powyższe twierdzenie do odwzorowania f (ϕ) = (cos ϕ, sin ϕ).