ANALIZA 1 studia indywidualne zadania domowe, seria 8 Zadanie 1.

ANALIZA 1 studia indywidualne

zadania domowe, seria 8 Zadanie 1. Zbadać zbieżność szeregów:

(1) ^�

^∞

n=1

1

nE (√n) ; (2) ^�

^∞

n=1

1 1 − n(−1)

ⁿ

; (3) ^�

^∞

n=1

� 3n n

�

7

⁻ⁿ

; (4) ^�

^∞

n=1

⎛

⎝ 1 −

ⁿ

�

1 − 1 n

⎞

⎠ ;

(5) ^�

^∞

n=1

� 2 + n 1 + n

²

�

p

; (6) ^�

^∞

n=1

⎛

⎝

�

1 + 1 n −

�

1 − 1 n

⎞

⎠ ;

(7) ^�

^∞

n=1

n

ⁿ

+ 1

n(n + 1)

ⁿ

; (8) ^�

^∞

n=1

� 3 − 2n 3 + 2n

�

n

;

(9) ^�

^∞

n=1

�

1 − 1

√ n

�

n

; (10) ^�

^∞

n=1

( √

ⁿ

3 − 2)

ⁿ

; (11) ^�

^∞

n=1

� 10 − p √

ⁿ

5 ^�

ⁿ

; (12) ^�

^∞

n=1

1

�

n

(n + 1)(n + 2) · · · (n + n) ; (13) ^�

^∞

n=1

n

ⁿ⁺¹

(2n

²

+ n + 1)

ⁿ⁻¹²

; (14) ^�

^∞

n=1

( √

n + 1 − √

⁴

n

²

+ n + 1)

^p

;

(15) ^�

^∞

n=1

n! sin π

2

ⁿ

; (16) ^�

^∞

n=1

3

^√3n2+1

2

ⁿ

; (17) ^�

^∞

n=1

(n −

2n¹

)

ⁿ

n

ⁿ⁻²ⁿ¹

; (18) ^�

^∞

n=1

n

³

3

^−√n

;

(19) ^�

^∞

n=1

log(2n + 1)

n

^p

; (20) ^�

^∞

n=1

n

^{p+q log n}

;

(21) ^�

^∞

n=3

(log log n)

^{− log n}

; (22) ^�

^∞

n=2

(log n)

− log(log n)

;

(23) ^�

^∞

n=1

1

n log(1 + 1

n ); (24) ^�

^∞

n=1

(−1)

ⁿ

log(1 + 1 n );

(25) ^�

^∞

n=1

log n(n + 1)

n

²

+ 1 ; (26) ^�

^∞

n=1

log cos 1 n ; (27) ^�

^∞

n=1

sin π √

ⁿ

n

³

+ n; (28) ^�

^∞

n=1

sin π √

n

²

+ 1;

(29) ^�

^∞

n=1

sin n

²

π

n + 1 ; (30) ^�

^∞

n=1

sin n 2n − cos n ; (31) ^�

^∞

n=1

| sin nα|

n + 1 ; (32) ^�

^∞

n=1

� 1

n − 1 n + 5 sin n

� sin nα;

(33) ^�

^∞

n=1

sin nα

n + 5 sin n ; (34) ^�

^∞

n=1

� √

n − 1 + √ n + 1

2 − √

n

�

;

(35) ^�

^∞

n=1

� n − 1 n + 1

�

n(n−1)

; (36) ^�

^∞

n=1

� 2 1 + √

ⁿ

p

�

n

;

1

.

. .

.

2

(37) ^�

^∞

n=1

� 1 E(√n) −

√ 1 n

�

; (38) ^�

^∞

n=3

(−1)

ⁿ

E (n/ √

5) ; (39) ^�

^∞

n=1

(−1)

ⁿ

√ n E(n √

2) ; (40) ^�

^∞

n=1

(2 − √

ⁿ

n)

ⁿ

;

(41) ^�

^∞

n=1

n

^p

√

n

n! ; (42) ^�

^∞

n=1

� 1

n − 1

n + 1 + · · · + (−1)

ⁿ

2n

�

Wskazówki (Moje)

(1) I porównawcze z n⁻²³; (2) porównać z anharmonicznym;

(3) d’Alembert; (4) an= f(¹_n) zbadać f koło x = 0;

(5) II porównawcze z _n¹p; (6) jak w (4);

(7) I porównawcze z _n¹; (8) warunek konieczny;

(9) II porównawcze z e^−sqrtn; (10) warunek konieczny;

(11) Cauchy; (12) I porównawcze z_2n¹ ;

(13) Cauchy; (14) liczyć!;

(15) oszacować sinus; (16) Cauchy;

(17) warunek konieczny; (18) to już chyba wiadomo..;

(19) całkowe; (20) porównać z_n¹α;

(21) lemat o zagęszczaniu; (22) I porównawcze z_n¹;

(23) jak w (4); (24) Leibniz;

(25) II porównawcze z_n¹; (26) jak w (4);

(27) sin ϕ = − sin(ϕ − π) i dalej porównać z sin¹_n; (28) Leibniz;

(29) Leibniz; (30) Dirichlet;

(31) np. całkowe; (32) badać |aⁿ| rzecz jest rzędu _n¹2;

(33) skorzystać z (32); (34) liczyć!;

(35) Cauchy; (36) warunek konieczny;

(37) oszacować

�

n=k²+2k

n=k² an; (38) Leibniz;

(39) Leibniz; (40) II porównawcze z _n¹;

(41) obliczyć lim n^1−pan; (42) oszacować a_2k−1, a_2k;

Rozwiązania (GC): Bezwzględnie zbieżne: (1), (3), (4), (9), (13), (16), (18), (21), (23), (26),(32),(34),(35); warunkowo zbieżne: (2), (24), (28), (29), (30), (33), (38), (39); rozbie/zne: (6), (7), (8), (10), (12), (15), (17), (22), (25), (27), (36), (37), (40); (5) zbieżny ⇐⇒ p > 1; (11) zbieżny.(bezwzględnie) ⇐⇒ 9 < p < 11; (14) zbieżny (bezwzględnie) ⇐⇒ p > 2;

(19) zbieżny ⇐⇒ p > 1; (20) zbieżny ⇐⇒ (q < 0) lub (q = 0, p < −1); (31) zbieżny ⇐⇒ α ∈ πZ; (40) nan= (1 + xn)ⁿ, gdzie xn= −(ⁿ√

n− 1)², więc nxn→ 0; (41) zbieżny ⇐⇒ p < 0

Zadanie 2. Obliczyć:

(a) ^�

¹

0

arc tg √x

(1 + x)√x dx; (b) ^�

^π/2

0

dx

1 + tg

^p

x dla p ∈ R;

(c) ^�

¹

0

� 2 + x

2 − x dx (d) ^�

²

1

dx x

³

√

x

²

+ 1 (e) ^�

^π

0

dx

3 + 2 cos x (f) ^�

^{log 2}

0

√ e

^x

− 1 dx (g) ^�

34

0

dx (1 + x) √

1 + x

²

(h) ^�

^b

a

(x − a)

^m

(b − x)

ⁿ

dx, m, n ∈ N, a < b (i) ^�

¹

0

(1 − x

²

)

ⁿ

dx, n ∈ N; (j) ^�

¹

0

√ 1 + 4x

²

dx;

(k) ^�

^π

−π

dx

1 + sin

²

x (l) ^�

^π

0

dx

1 + 2 sin x(sin x + cos x) (m) ^�

^π

0

cos

ⁿ

x cos nx dx (n) ^�

^π

0

sin nx

sin x dx, n ∈ N