Z założenia istnieją wektory y1, y2

Liniowy operator ograniczony T : X → Y, gdzie X, Y są przestrzeniami Banacha, spełnia dim(Y /Im T ) = n < +∞. Mamy pokazać, że Im T jest domknięty. Możemy założyć, że T jest różnowartościowy, przechodząc do operatora określonego na X/ ker T wzorem

x + ker T 7→ T x.

Trzeba wiedzieć, że przestrzeń X/ ker T jest przestrzenią Banacha (zadanie 10 lista 3) i że nowy operator jest nadal ograniczony (łatwe). Ponadto obraz nowego operatora jest równy Im T. No więc przyjmujemy, że T jest ”1-1”. Z założenia istnieją wektory y₁, y₂, . . . , yⁿ∈ Y takie, że

Im T + lin {y₁, y₂, . . . , yⁿ} = Y.

Wprowadzamy przestrzeń X = X ⊕ C^{f n} z normą kx ⊕ vk = kxk + kvk^∞. Wtedy X jest przestrzenią Banacha. Określmy operator^f

T :e X → Y^f

wzorem

T (x ⊕ v) = T x +e Xn

k=1

v^ky^k,

gdzie v = (v₁, . . . , vⁿ). WtedyT jest ograniczony jako suma dwu operatorów^e ograniczonych. Ponadto T jest ”na”. Oczywiście^e T jest ”1-1”. Zatem^e T jest^e odwracalny. Wtedy istnieje stała c > 0 taka,że

kT (x ⊕ v)k ­ ckx ⊕ vk.^e W szczególności kładąc v = 0 mamy

kT xk ­ ckxk, co pociąga domkniętość obrazu Im T.