Algebra 2
∗, seria 10
Zadania na 9 maja: teoria Galois.
1. Pokazać, że rozszerzenie skończone K ⊂ L jest rozszerzeniem Galois wtedy i tylko wtedy gdy |Aut(L/K)| = [L : K].
2. Opisać grupę Galois rozszerzenia Q ⊂ L, gdzie L jest ciałem rozkładu wielomianu f ∈ Q[x] podanego poniżej; podać ciała pośrednie tego rozszerzenia oraz odpowiadające im podgrupy grupy Galois. Które z pośrednich rozszerzeń są normalne?
(a) f = x3− x − 1, (b) f = x4+ 2,
(c) f = x5− 5, (d) f = x4+ x2+ 1
3. Niech Q ⊂ L będzie rozszerzeniem skończonym stopnia d. Pokazać, że jeśli d jest liczbą nieparzystą i rozszerzenie to jest Galois, to L ⊂ R. Czy stwierdzenie to pozostanie prawdziwe, jeśli nie założymy, że Q ⊂ L jest rozszerzeniem Galois?
4. Niech wielomian f ∈ K[x] będzie nierozkładalny stopnia p będącego liczbą pierwszą.
Pokazać, że jeśli grupa Galois rozszerzenia K do ciała rozkładu wielomianu f jest roz- wiązalna, to dla dowolnego rozszerzenia K ⊂ L wielomian f ma w L dokładnie 0 lub 1, lub p pierwiastków.
5. Rozpatrzmy rozszerzenia algebraiczne K ⊂ L, L ⊂ M oraz ich złożenie K ⊂ M . Czy jeśli dwa z powyższych rozszerzeń są Galois to i to trzecie jest Galois? W przypadku pozytywnej odpowiedzi porównać grupy Galois tych rozszerzeń.
6. Rozpatrzmy ciała pośrednie M1 i M2 rozszerzenia K ⊂ L.
(a) Czy jeśli K ⊂ Mi, gdzie i = 1, 2, są rozszerzeniami Galois to K ⊂ M1∩ M2 też jest Galois?
(b) Czy jeśli Mi⊂ L, gdzie i = 1, 2, są rozszerzeniami Galois to M1∩ M2 ⊂ L też jest Galois?
(c) Czy jeśli K ⊂ Mi, gdzie i = 1, 2, są rozszerzeniami Galois to K ⊂ M1· M2 też jest Galois?
(d) Czy jeśli Mi⊂ L, gdzie i = 1, 2, są rozszerzeniami Galois to M1· M2⊂ L też jest Galois?
W przypadku pozytywnej odpowiedzi porównać grupy Galois tych rozszerzeń.
7. Niech d∈ C będzie pierwiastkiem pierwotnym stopnia d z jedności.
(a) Rozstrzygnąć, czy rozszerzenie Q ⊂ Q(d) jest Galois.
(b) Pokazać, że grupa automorfizmów ciała Q(d) jest przemienna oraz jeśli d jest liczbą pierwszą to jest cykliczna.
(c) Wyznaczyć stopień rozszerzenia Q ⊂ Q(d) oraz jego grupę automorfizmów Q(d) dla d = 4, 5, 6, 8, 16.
(d) Zilustrować zasadnicze twierdzenie teorii Galois dla rozszerzeń podanych powyżej:
podać ciała pośrednie i odpowiadające im podgrupy grupy Galois.
8. Załóżmy, że charK = 0 oraz nierozkładalny wielomian f ∈ K[t] stopnia d ma pierwiastki x1, . . . , xd wK. Definiujemy wyróżnik ∆f =Qi6=j(xi− xj).
(a) Pokaż, że dla d = 3 grupa Galois ciała rozkładu f jest Z3 jeśli p∆f ∈ K i jest równa S3 w przeciwnym przypadku.
(b) Jeśli d = 4 to definiujemy wielomian gf = (t − (x1x2+ x3x4))(t − (x1x3+ x2x4))(t − (x1x4+ x2x3)). Pokaż, że gf ∈ K[t] oraz że jeśli f i gf nie mają pierwiastków w K, to grupa Galois f jest A4 lub S4 w zależności od tego czy √
∆ ∈ K. Znajdź zależność ciał rozkładu tych wielomianów oraz ich grup Galois.
9. Niech p będzie liczbą pierwszą oraz G < Sp podgrupą rozwiązalną, która działa prze- chodnio (tranzytywnie) na zbiorze [p] = {1, . . . , p} (przy działaniu naturalnym).
(a) Pokaż, że każda z (nietrywialnych) grup w ciągu podgrup rozwiązujących G działa przechodnio na zbiorze [p].
(b) Pokaż, że G zawiera dokładnie jedną podgrupę cykliczną rzędu p (i jest to dzielnik normalny).
(c) Pokaż, że każdy nietrywialny element G ma co najwyżej jeden punkt stały.
