Algebra 2

Algebra 2

, seria 11

Zadania na 16 maja: teorii Galois ciąg dalszy.

Rozwiązanie zadania 1 proszę zapisać na kartkach i oddać na ćwiczeniach 16 maja.

1. (na kartkach) Opisać grupę Galois rozszerzenia Q ⊂ L, gdzie L jest ciałem rozkładu wielo- mianu f ∈ Q[x] podanego poniżej; podać ciała pośrednie tego rozszerzenia oraz odpowiadające im podgrupy grupy Galois. Które z pośrednich rozszerzeń są normalne?

(a) f = x³− x − 1, (b) f = x⁵− 5.

2. Niech p będzie liczbą pierwszą oraz G < S_p podgrupą rozwiązalną, która działa przechodnio (tranzytywnie) na zbiorze [p] = {1, . . . , p} (przy działaniu naturalnym).

(a) Pokaż, że G zawiera dokładnie jedną podgrupę cykliczną rzędu p (i jest to dzielnik nor- malny). (Wskazówka: rozpatrz minimalną nietrywialną podrupę normalną G.)

(b) Pokaż, że każdy nietrywialny element G ma co najwyżej jeden punkt stały. (Wskazówka:

załóż, że istnieje element o co najmniej dwóch punktach stałych i rozpatrz podgrupę generowaną przez ten element i element rzędu p.)

3. Załóżmy, że charK = 0 oraz nierozkładalny wielomian f ∈ K[t] stopnia d ma pierwiastki x1, . . . , x_dw K. Definiujemy wyróżnik ∆_f = (−1)^dQ_i6=j(x_i− x_j).

(a) Pokaż, że dla d = 3 grupa Galois ciała rozkładu f jest Z3 jeśli^p∆_f ∈ K i jest równa S₃ w przeciwnym przypadku.

(b) Jeśli d = 4 to definiujemy wielomian g_f = (t − (x₁x₂+ x₃x₄))(t − (x₁x₃+ x₂x₄))(t − (x₁x₄+ x₂x₃)). Pokaż, że g_f ∈ K[t] oraz że jeśli f i g_f nie mają pierwiastków w K, to grupa Galois f jest A₄ lub S₄ w zależności od tego czy√

∆ ∈ K. Znajdź zależność ciał rozkładu tych wielomianów oraz ich grup Galois.

4. Niech a₁, a₂ i a₃ będą pierwiastkami wielomianu x³− 3x + 1. Wyznaczyć wielomian, którego pierwiastkami są

(a) a₁+ a₂, a₂+ a₃, a₃+ a₁, (b) a²₁+ a₂a₃, a²₂+ a₃a₁, a²₃+ a₁a₂.

5. Niech K ⊂ L będzie rozszerzeniem skończonym i weźmy a ∈ L. Mnożenie przez a elementów z L wyznacza przekształcenie K-liniowe L → L, przez T r(K ⊂ L)(a) oraz N (K ⊂ L)(a) oznacz- my ślad i wyznacznik tego przekształcenia a odpowiednie przekształcenia z L o wartościach w K oznaczamy T r(K ⊂ L) i N (K ⊂ L) i nazywamy śladem i normą rozszerzenia.

(a) Załóżmy, że L = K(a) ⊃ K i f = xⁿ+ a_n−1xⁿ⁻¹+ · · · + a₀ jest wielomianem minimalnym dla a. Znajdź T r(K ⊂ L)(a) oraz N (K ⊂ L)(a).

(b) Pokaż, że T r(K ⊂ L) jest funkcjonałem liniowym na L a N (K ⊂ L) wyznacza homo- morfizm grup multiplikatywnych L^∗ → K^∗

(c) Rozpatrzmy ciąg rozszerzeń skończonych K ⊂ L ⊂ M ; pokaż, ze ślad i norma dobrze się składają.

(d) Przy założeniach jak wyżej, definiujemy przekształcenie T : L × L → K dla a, b ∈ L następującym wzorem T (a, b) = T r(K ⊂ L)(ab). Pokaż, że T jest funkcjonałem dwuli- niowym symetrycznym.

6. Niech K ⊂ L będzie rozszerzeniem rozdzielczym i skończonym. Niech ϕ₁, . . . ϕm będą (różny- mi) zanurzeniami K w K (nad K).

(a) Pokaż, że T r(K ⊂ L)(a) =^P_iϕi(a) oraz N (K ⊂ L)(a) =^Q_iϕi(a).

(b) Pokaż, że funkcjonał T jest maksymalnej rangi (niezdegenerowany).

7. Niech K ⊂ L będzie rozszerzeniem algebraicznym ciał. Na grupie Aut(L/K) definiujemy topologię Krulla za pomocą bazy

U (a1, . . . , ar, b1, . . . , br) = {g ∈ Aut(L/K) | ∀i : g(a_i) = b_i} gdzie a_i, b_i∈ L zaś r jest dowolne.

(a) Pokaż, że ta definicja daje topologię Hausdorffa na Aut(L/K) oraz działania grupowe są ciągłe w tej topologii.

(b) Pokaż, że dla dowolnego rozszerzenia pośredniego K ⊂ M ⊂ L grupa Aut(L/M ) ⊂ Aut(L/K) jest pod grupą domkniętą oraz, jeśli ponadto [M : K] < ∞ to jest również podgrupą otwartą.

8. W sytuacji poprzedniego zadania załóżmy ponadto, że rozszerzenie K ⊂ L jest Galois.

(a) Weźmy rozszerzenie pośrednie K ⊂ M ⊂ L. Pokaż, że [M : K] < ∞ wtedy i tylko wtedy [Aut(L/K) : Aut(L/M )] < ∞ oraz w tej sytuacji [M : K] = [Aut(L/K) : Aut(L/M )].

(b) Dla podgrupy H < Aut(L/K) weźmy ciało elementów stałych jej działania M = L^H. Pokaż, że Aut(L/M ) jest domknięciem H w Aut(L/K).

(c) Twierdzenie Galois: Pokaż, że istnieje naturalna bijekcja pomiędzy rozszerzeniami po- średnimi K ⊂ L a domkniętymi podgrupami Aut(L/K).

9. Rozpatrzmy algebraiczne domknięcie k ciała k charakterystyki zero. O rozszerzeniu k ⊂ k zakładamy, że jest skończone z grupą Galois G. Mamy naturalne włożenie k[x₁, . . . , x_n] ⊂ k[x1, . . . , xn]. Weźmy ideał I / k[x₁, . . . , xn]. Zbiór k-punktów ideału I to

V_k(I) = {(a₁, . . . , a_n) ∈ kⁿ: ∀f ∈ I f (a₁, . . . , a_n) = 0}

(a) Pokaż, że działanie grupy G na k indukuje działanie diagonalne G na kⁿ, które zachowuje zbiór V_k(I).

(b) Pokaż, że każdy ideał maksymalny m / k[x₁, . . . , x_n] zawierający I jest postaci m = k[x1, . . . , xn] ∩ (x₁− a₁, . . . , xn− a_n) gdzie (a₁, . . . , an) ∈ V_k(I).

(c) Pokaż, że mamy bijekcję pomiędzy ideałami maksymalnymi w k[x₁, . . . , x_n] zawierający I a orbitami działania G na V_k(I).

10. Znajdź ideały maksymalne zawierające podany ideał (a) (x²+ y²) / R[x, y]

(b) (x²+ y²) / Q[x, y]