Zadania domowe z Analizy I.2 – seria 3. (na piątek 23.03.2018)

Zadania domowe z Analizy I.2 – seria 3. (na piątek 23.03.2018)

Zadanie 1. Znajdź zwartą postać sumy (gdzie x jest zmienną)

n

X

k=0

n k

 (−1)^k x + k.

Zadanie 2. Wyznacz

(a) ekstrema lokalne funkcji f (x) = x + sin 2x na R,

(b) kresy zbioru wartości funkcji g(x) = x³− 3x²− 9x + 7 na [−4, 4].

Zadanie 3. Która z liczb e^π i π^e jest większa? Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 4. Wśród stożków wpisanych w kulę o promieniu R znajdź (a) ten o największym polu powierzchni,

(b) ten o największej objętości.

Zadanie 5. Niech f : [0, 1] → R będzie ciągła na całej dziedzinie i różniczkowalna na (0, 1). Ponadto zakładamy, że f (0) = f (1) = 0 oraz że istnieje x0 ∈ (0, 1) takie, że f (x0) = 1. Wykazać, że istnieje c ∈ (0, 1) takie, że |f⁰(c)| > 2.

1