Zadania domowe z Analizy I.2 – seria 4. (na piątek 6.04.2018)
Zadanie 1. Wyznacz kresy zbioru wartości funkcji f (x) = x2x+x+12+1 na R.
Zadanie 2. Oblicz granicę
x→0limexp ln(cos 2x) x sin(sin x)
.
Zadanie 3. Wyznacz ekstrema lokalne, kresy zbioru wartości, punkty przegięcia, przedziały monoto- niczności oraz wypukłości, asymptoty dla funkcji
(a) f (x) = x−2x3 , (b) g(x) = xe1x.
Dla przypomnienia: asymptota ukośna w ∞ dla wykresu funkcji f (x) to prosta Ax + B, gdzie A =
x→∞lim
f (x)
x oraz B = lim
x→∞(f (x) − Ax), o ile te granice istnieją (analogicznie dla −∞).
Zadanie 4. Udowodnij, że dla dodatnich liczb rzeczywistych a, b, c spełniających a + b + c = 1 zachodzi nierówność
p(b + c)(2a + b + c) +p
(a + c)(a + 2b + c) +p
(a + b)(a + b + 2c) ¬ 2√ 2.
Zadanie 5.
(a) Funkcja g : R → R jest dana wzorem g(x) = ax2+ bx + c i spełnia g(0) = g(1) = 0 oraz g00(x) = 1 dla wszystkich x ∈ R. Wyznacz a, b, c oraz udowodnij, że g(x) −1/8 dla wszystkich x ∈ R.
(b) Funkcja f : R → R jest dwukrotnie różniczkowalna i spełnia f (0) = f (1) = 0 oraz f00(x) ¬ 1 dla wszystkich x ∈ R. Wykazać, że f (x) −1/8 dla x ∈ [0, 1].
1
