równania typu niestacjonarnej filtracji

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO seria III: MATEMATYKA STOSOWANA XII[ (1978)

MICHAŁ

WYSKUP

^(Wrocław)

Asymptotyczne

własności rozwiązania

równania typu niestacjonarnej filtracji

(Praca przyjęta do druku 16.11.1976)

Przedmowa

Pierwszą pracą poświęconą

równaniom niestacjonarnej filtracji w postaci ogólnej jest obszerna praca [4]. W pracy tej O. Olejnik, A.

Kałasznikow

i

Czżou

Yui-Lin

rozważali

równanie

(l)

Ut

= [tp(t,

X,

u)]xx,

które w obszarze, w którym

qJ{t,

x, u) > O, jest równaniem parabolicznym, na- tomiast w obszarze, w którym ({J(t, x, u)

=

O, degeneruje

^się

do równania

rzędu

pierwszego. Z tego

względu powyższe

równanie nie zawsze ma klasyczne

rozwią­

zanie.

Wprowadzili oni

pojęcie słabego rozwiązania

zagadnienia Cauchy'ego oraz za- gadnienia brzegowego dla równania (l) i udowodnili istnienie i

jednoznaczność

takiego

rozwiązania

(istnienie wykazano przy

założeniu, że qJ

nie

^zależy

jawnic od t, czyli ma

postać

({J(X, u)),

podając również

szereg ciekawych

własności

roz-

wiązania.

Jeśli

w równaniu

(I)

przyjmiemy,

że

({J(t, x, u)= um, gdzie m= const >

l,

to otrzymamy równanie pojawiające się przy badaniu przepływu gazu (filtracja) przez jednorodny porowaty

^ośrodek.

Dlatego

też

takie równanie nazywamy

rów-

naniem niestacjonarnej filtracji. ::;:...

L.

A. Peletier w pracy [7]

rozważał

w obszarze Sr = (O, oo) x (O,

T]

równanie

(2) Ut =

(um)xx dla m>

l

z warunkami brzegowymi

u(O,t)=

U

dla O< t<

T,

(3) u(x, O)

=

u

0

(x) dla

O~x<oo,

gdzie

U=

const > O i u

0(0)

=

^U,

przy czym u

0

(x) jest

funkcją ciągłą

i

nieujemną

o zwartym

nośniku;

oraz

rozwiązanie

postaci u(x, t) = f(rJ), gdzie

'YJ

= xf(t+ 1)

¹¹²

spełniające

równanie

7* [99]

(4)

(fm)" +!)_f'

₂

= ^O z warunkami brzegowymi

f(O) = U,

f~

O przy

'YJ ~

oo

(5)

i

wykazał, że słabe

(w sensie definicji z pracy [4])

rozwiązanie

zagadnienia (2)-(3)

dąży

przy

t~

oo do

rozwiązania

zagadnienia (4)-(5).

Dodajmy dla

ścisłości, że

na podobne zachowanie

się rozwiązań

równania Pran9tla

zwrócił wcześniej uwagę

J. Serrin w [9]. Praca Peletiera obejmuje przypadek zwany w teorii filtracji

nawilżaniem.

Naszym zadaniem jest przeniesienie wyniku Peletiera na przypaClek sczerpywania filtracyjnego, przy czym

rozwiązanie

rozumia- ne jest w klasycznym sensie.

Praca

składa się

z dwóch

części.

W pierwszej

części rozważa się

równanie (2) dla m = 2. Takie równanie zwane równaniem Boussinesqa

spełnia ważną rolę

w zagadnieniach filtracji. Metoda dowodu pochodzi od Peletiera z koniecznymi modyfikacjami narzuconymi przez warunki rozpatrywanego zagadnienia.

Początkowo

podaje

się

pewne

własności rozwiązania

równania

z których

najważniejszymi są

zasada maksimum i

ograniczoność

pochodnych

cząstkowych występujących

w równaniu.

Następnie formułuje· się

i udowadnia

własności rozwiązania

równania

(h

^{2 )"}

+sh' = O, s = x/(t+ 1)

^{112 •}

Podobnie jak w pracy [7] otrzymuje

^się

dwa oszacowania;

^całkowe

oszacowanie

co

~ s[u(s,

r)-

h(s)]ds = O {(t+ 1)-

^{1 },}

gdzie ; = xj(t+ 1)

1' 2, r

= ln(t+ 1),

o

i

wynikające

z niego punktowe oszacowanie

iu(x, t)-h(s)i = ^{O{(t+ 1)-}

^{113 }.}

W drugiej

^części

pracy rozszerzamy wynik Peletiera na równanie Ut = D(u)Uxx+E(u)ui+

W(u,

t)ux,

gdzie

W(u,

t)

^zależy

od t w sposób specjalny. W dowodzie korzysta

^się

z

^różnych

modyfikacji zasady maksimum i odpowiednio dobranych funkcji pomocniczych celem wykazania pewnych pomocniczych

własności, dzięki

którym otrzymano

końcowy

rezultat pracy

iu(x, t)-f(s)i = O{(t+ 1)--t},

gdzie A jest

pewną stałą dodatnią zależną

od

współczynników

równania.

Asymptotyczne własności rozwiązania równania

101 Szczególny przypadek

Wstęp. Rozważając przepływ

cieczy przez jednorodny porowaty

^ośrodek,

do- chodzi

^się

do nieliniowego równania parabolicznego postaci

(1.1)

gdzie L1 jest operatorem Laplace'a. Równanie to jest szczególnym przypadkiem równania niestacjonarnej filtracji i nazywane jest równaniem Boussinesqa. W naj- prostszym przypadku równanie (1.1) przyjmuje

^postać

(1.2).

W

rozważanym

przez nas zagaqnieniu równanie (1.2) jest matematycznym opisem

następującego

zjawiska:

Z obszaru

wypełnionego substancją porowatą

(np. piaskiem) i nasyconego

cieczą

(woda, nafta) sczerpujemy

^daną

ciecz: wtedy funkcja u = u(x, t)

^określa

brzeg swobodny cieczy w chwili t i punkcie x.

u

·.· .. :_: ^.

·. ·.· : .· _{. ,} ^{. .} _· .. · . : .·

....

: ^..

. . ·· ... :·.

··. ·.·._·.:

X

Interesować

nas

^będzie

asymptotyczne zachowanie

się rozwiązania

równania (1.2) przy

^t~

oo. Równanie (1.2)

^rozważamy

w obszarze S= (0, oo) x (0, T], gdzie

T

jest

ustaloną liczbą dodatnią (skończoną

lub nie).

Przyjmujemy,

że

na brzegu obszaru S zadane

są

warunki

u(O,

t) =

A

dla

^{O~ t~} T, u(x,

O)=

u₀(x)

dla

^O~ x

< oo, (1.3)

gdzie

A

jest

stała dodatnią mniejszą

od

^jedności,

natomiast

u0(x)

jest

^funkcją

do-

datnią

klasy C

^{3 taką, że}

lim

u₀(x)

= l (z ostatniego warunku wynika,

^że

X-->00

lim u(x, t) = l na mocy lematów 2 i 4).

X-->00

Zakładamy również, że u₀(x) spełnia

warunki

^zgodności u0(0)

=

A

oraz

(u~)''

= O dla

x

= O.

Jeśli

w równaniu (1.2) podstawimy s = x/(t+ 1)

¹1²

i

będziemy szukać rozwiązań

postaci

^u(x,

t)

= h(s),

to funkcja

^h będzie musiała spełniać

równanie

(1.4) (h

2)"

+s ^h'

⁼

^O.

Celem naszym jest pokazanie, ^{że jeśli}

h

jest rozwiązaniem równania (1.4) ^{spełniają­}

cym warunki brzegowe

(1.5')

h(O) =A,

lim

h(

s)

= l,

S-+CIJ

wówczas wszędzie w obszarze

S = [O,

oo) x

[O,

T]

iu(x, t)-h(s)l = O{(t+

1)-^{1/ 3 },}

s= xf(t+

1)¹12 •

Przed przystąpieni~m do zasadniczych rozważań, podamy pewne własności rozwią­

zania równania (1.2) oraz (1.4), które ^będą potrzebne do osiągnięcia naszego celu.

Pewne własności rozwiązania równania (1.2).

DEFINICJA. Rozwiązaniem

równania

(1.2)

z warunkami

(1.3) nazywamy ^funkcję

u= u(x, t)

ciągłą, ograniczoną

i

dodatnią w obszarze

S= ^[0,

^{oo) x}

^[0,

^{T] posia-}

dającą ciągłe pochodne cząstkowe występujące w tym równaniu i spełniającą to równanie.

LEMAT l.

Funkcja u = u(x, t)

spełniająca

równanie ut =

^~ (u²

)xx dla

(x,

t)

E

Q =

= ^{(O, N)}

^x

^{(O, T]}

^osiąga

^swoje

^wartości

ekstremalne na brzegu

F=

{O}x [0,

T]u[O,N]x

{O}u{N}x [0,

T].

D o w ó d. Dowodzić będziemy lematu jedynie dla kresu górnego, ^gdyż dla dodatniego kresu dolnego rozważania są analogiczne. Nasze równanie po rozpisa- niu ma ^postać

(l.6)

Załóżmy, że istnieje takie rozwiązanie

u,

dla którego lemat nie jest ^słuszny. Niech supu!r

=m,

supu

= M

i M>

m.

Wobec tego funkcja

u

^osiąga w pewnym punkcie

Q

wewnętrznym obszaru

Q

swoją największą wartość. Oznaczmy ten punkt przez

(x

0 ,

t

0 )

i

rozważmy funkcję pomocniczą

w(x, t)= u(x, t)+ M-m 2 T (to-t).

W punkcie

(x

0 ,

t

0 ) mamy

w(x

0 ,

t

_{0 )} =

u(x

_{0 ,}

t

_{0 )}

= M,

natomiast na brzegu

T

M-m M+m

w(x t) '

^~

--- m+ - ---·-- T 2T =

2

< M

.

Funkcje

u i w

nie przyjmują więc na brze_gu

r

największej wartości. W pewnym punkcie wewnętrznym (x 1 ,

t

1) funkcja

w

^osiąga swoje maksimum. W tym punkcie mamy

(l.7) UWxx+w;-wt

~ O dla

u> O.

(1) Użyty symbol u; oznacza to samo co (ux)z.

Asymptotyczne własności rozwiązania równania

103

Poniewaź Wt

=

u,- M-m 2T , Wx

=

Ux, Wxx

=

Uxx więc

po podstawieniu do nie-

równości

(1. 7) dostajemy

UUxx+u~-ut+ M-m

2T ::(O, a po

uwzględnieniu

równania (1.6)

'

^M-m

^{2T :::;; O.}

Otrzymana

nierówność

jest sprzeczna z

załoźeniem. Sprzeczność

ta

^kończy

dowód.

LEMAT

2.

^Jeśli funkcja u= u(x, t) spełnia w obszarze S=

(0, oo) x (0, T]

^rów~

nanie

(1.2)

z funkcją początkową u0(x) i istnieją takie stale m i M, ^że

O <

m::( u0(x):::;; M dla x ^E

[0, oo),

to również

m:::;;

u(x,

t)

:o( M dla

(x,

t) E

S.

D o wód. Wiadomo z [4], ze istnieje taki

ciąg

{u,.},

^że

lim u,. = u. Funkcje

n-+oo

u,.

są rozwiązaniami następującego

zagadnienia:

u,

=

^UUxx+u~

^dla

^{(x, t) E}

^(0,

^{n) X}

^{(0, T],}

u(x,

O) =

u0(x)

dla

^{X E}

[0,

n],

(1.8)

_{u(O, t)}

=A dla

t E

[0, T], ..

u(n,

t) =

u0(n)

dla

^{t E}

[0, T].

Z pracy [4] wynika,

^że

dla

^kaźdego n

zagadnienie to posiada

rozwiązanie.

Twierdzi- my,

że u,.~

m dla (x, t)

E

[0, n] x [0,

T]. Rozważmy

w tym celu

^funkcję

z,.

=

=

e-t(u,.-m).

Funkcja

z,. spełnia

równanie

Uwzględniając nierówności (z,.)t :::;;

O,

(z,.)xx ~

O,

(z,.)x =

O, w punkcie, w którym z,.

^osiąga

minimum, mamy

z,.= Un.:_.m .~O,

czyli

^u,.~

m dla (x,

t) E

[0, n] x [0,

T].

Przy n--+ oo

prostokąty

[0, n] x [0,

T]

rozszerzają się zapełniając cały

obszar

S. Poniewaź

lim

u,. = u, ^więc u ~

m dla ·

n--+oo

(x,

t) E

S.

Celem wykazania

nierówności

u :::;; M

postępujemy

analogicznie,

posługując się funkcją pomocniczą Z n = e-t(M-

u,.).

Korzystając

z zasady maksimum otrzyma- my un

^~M,

a po

^przejściu

granicznym u:::;;

M. Łącząc

te dwie

nierówności

otrzy- mamy ostatecznie

m

:o( u(x, t)~ M.

Ponieważ

dalsze

rozważania opierać będziemy

na

różniczkowaniu

równania (1.2), powstaje pytanie, czy takie

postępowanie

jest

uzasadnione.:Odpowiedź

na to pytanie daje

następujący

lemat:

LEMAT

3.

^Jeśli u_{0 ,}

u

1 i u2 ^E

C

³ oraz spełnione są warunki

u

0(0)

= u

1

(0), u

0(N)

= u

2(0),

U1,t(O) =

Uo(O)uo,xx(O)+ [uo,x(O)]Z, U2,t(O) = Uo(N)uo,xx(N)+ [uo,x(N)]2, wówczas rozwiązanie zagadnienia

Ut= UUxx+u~ dla (x,t)EQ

=

(O,N)x(O,T], u(x,

O) =

u0(x) dla X E

[0,

N],

(1.9)

_u(O,t)

=

^u1(t) dla t E

[0,

T], u(N, t) = u2(t) dla t E

[0,

T]

jest klasy

C

^{4 •2} tzn. klasy

C

⁴ jako funkcja zmiennej x

i

klasy C² jako funkcja zmiennej

t.

(Można więc

dwukrotnie

różniczkować

dane równanie

^względem

x i raz

wzglę­

dem t).

Celem wykazania

powyższego

lematu

będziemy zakładać, że rozwiązanie u=

= u(x,

t) jest klasy

C²

w Q. Istnienie takiego

rozwiązania

zapewnia

następujące

twierdzenie

^będące

szczególnym przypadkiem

^twierdzeń

13 i 14 pracy [5]:

Niech

będzie

dane równanie

Ut= a(x, t, u)u,.,.+b(x, t, u, ux)ux+c(x,

t,

u, u,.)

z warunkami brzegowymi

u(x,

O) =

u0(x)

dla

u(O,

t) = ^u

1

(t) dla

u(N,

t) = u

2

(t) dla przy czym lud

^~

const dla

i=

O, l, 2.

dla

(x,

t)

^E Q=

(O,N)x (0,

T]

X E

[0,

N],

t

^E

[0,

T],

t

E

[0,

T],

TWIERDZENIE. Jeśli spełnione są następujące warunki:

(I)

WSpółczynniki a, b, C E Cl+cx względem X

i

u,

(2)

a(x, t, u) ~

const > O dla

(x, t) E

Q

i dowolnych u,

(3)

lcu(x, t, u,

0)1 ~ const

i (c(x, t,

O, O)~·~ const

dla (x, t) E

Q ⁱ

dowolnych u,

(4)

lbl ~ M1 (luxl

+ ^1),

^lhxl

+

^{lhul ~ M2(lu,.1}

+ ^1),

^{lhu"l ~} M3, lei+ lc,.l

+

^lcul

+ +

^lcu"l

^{·~ M4,}

^{gdzie M1 =}

^const,

^{dla i =}

l , ... , 4,

ila (x, t)

E Q,

lu

l ^{~M= const}

i dowolnych Ux,

to istnieje jednoznaCZile

rozwiązanie

u = u(x' t), przy czym u E

C

^2+cx

e)

^w

^{Q, jeśli}

e>

^{Zapis u E C2+cx oznacza, że funkcja llxx spełnia} warunek Holdera z wykładnikiem IX.

Asymptotyczne własności rozwiązania równania

105

tylko ui E

C

²+cx oraz spełnione są warunki zgodności w punktach

(0, O)

i (N,

O)

(tzn._

takie warunki, by w wymienionych punktach spełnione było równanie).

Powyższe

twierdzenie jest

również słuszne

dla obszaru nieograniczonego, przy czym

należy zachować

warunek

zgodności

jedynie w punkcie (O, 0).

U w a g a. W naszym przypadku nie jest

spełniony

warunek 2,

gdyż a(x,

t,

u) =

=

u. Ponieważ

jednak

^u~ m

= infu

0

> O,

więc stosując

standardowe

^postępo­

wanie (patrz np. Aronson [I] str. 301-302)

spełnimy żądany

warunek.

D o w ó d l e m a t u 3. Rozpatrzmy równanie

(1.10)

Pt

=

^UPxx

+

^3ppx,

gdzie u jest

rozwiązaniem

zagadnienia (1.9), (x, t)

E

Q. Dowqdzi

się

(p. [6]),

że

rów- nanie (I.IO) z warunkiem brzegowym

p(x, t)/r

=

^{ux(x, t)}

(F jak w lemacie l)

posiada

rozwiązanie. Wykażemy, że p(x, t)

=

ux(x, t)

w Q. W tym celu porówna- my

^funkcję p(x, t)

z

^funkcją

( ) _ u(x+h, t)-u(x, t) _ hF( )

Ph X' t - h - p+ p '

określoną w prostokącie Qh

⁼

[0,

N-h]

x [0, T].

Wewnątrz Qh

funkcja

Ph spełnia

równanie

(ph)t

=

u(ph)xx+ 3ph(Ph)x- e(x, t, h),

gdzie

e(x, t, h)

=

huxx [uuxxF"

+

3F(hF'

+I)]

^dąży

do zera jednostajnie

^względem x

i

t,

gdy

h ~

O. Funkcja

rh =p-Ph spełnia wewnątrz prostokąta Qh

równanie

(rh)t

=

u(rh)xx+3p(rh)x+3(ph)xrh+e(x, t, h).

Jest to równanie paraboliczne i zgodnie z

^zasadą

maksimum (p. uogólniona za- sada maksimum w pracy [6])

^osiąga

swoje

^wartości

ekstremalne na brzegu prosto-

kąta

Qh.

Szacujemy

rh

na brzegu. Dla t

=

O mamy

l l _ l

rh - P-Ph - U o x -

l -l'( )

^u0(x+h)-uh ^0(x)

l

·

Dla x =O mamy

l l _ l

rh - p-Ph - Ux ' t -

l -l ^{(O )}

u(h, t)-u(O, t) h

l

.

Dla x

=N-h

mamy

l

u(N, t)-u(N-h, t)

l

Jrhl

=

Jp(N-h, t)-ph(N-h, t)l

=

Ux(N-h, t)- h · '

We wszystkich przypadkach

rh ~O

przy

^h~

O jednostajnie

^względem x

i t w pro-

stokącie Q

^h.

Dla dowolnego h w

prostokącie

Qh

lp(x, t)-ux(x, t)l ~ lp(x, t)-ph(x, t)l+lph(x, t)-ux(x, t)j.

z ^ciągłości

^p

ⁱ

^Ux

^w Q wynika, że

p

=

^Ux

wszędzie w Q. ^Ponieważ

^Ux

jest rozwiąza­

niem równania (1.10), to wewnątrz Q istnieją ciągłe pochodne

Uxx' Uxxx, Uxt·

Rów- nanie (1.10)

można

jeszcze raz

różniczkować względem x,

bowiem

Uxx

jest

funkcją

klasy C

^{1 •} Stąd

wynika istnienie

ciągłych

pochodnych

Uxxxx

i

Uxxt wewnątrz

Q.

Różniczkowalności

równania

względem

t dowodzi

się

podobnie; w rezultacie

wykażemy

istnienie

ciągłej

pochodnej utt

wewnątrz

Q.

LEMAT

4.

Jeśli funkcja początkowa u0(x) spełnia wszystkie przyjęte wyżej założe­

nia, to pochodne cząstkowe występujące w równaniu

(1.2)

^są ograniczone dla

(x, t)

^E

S= [O, oo)x [0,

T].

D o wód. Celem wykazania

ograniczoności

pochodnych

cząstkowych Ux, Uxx

i

ut

w S,

wykażemy ograniczoność

wymienionych pochodnych w dowolnym pro-

stokącie

Q

=

[O,

N] x

[O,

T]

i przekonamy

się, że

oszacowanie nie

zależy

od liczby

N-szerokości prostokąta

Q.

Rozważmy następujące

zagadnienie:

u(x,

O)

= u0(x) u(O,

t)

=A u(N,

t) =

u0(N)

dla

(x,

t)

E

Q, dla x

E

[0,

N],

dla t

E

(0, T], dla t

E

[0 ,

T] .

Wykażemy

najpierw,

że

pochodna

ux

nie

może osiągać wewnątrz [prostokąta Q

swojego maksimum, natomiast

jeśli

pochodna

Uxx osiąga

swoje

wewnątrz

Q, to jest ono ograniczone.

Funkcja

Ux spełnia

równanie

(ux)t = u(ux)xx

+

3(ux) (Ux)x.

Rozważając funkcję

w(x, t)= ux(x, t)+

M-m

2T (to-t),

gdzie M= supux, m = supuxJr i

powtarzając

rozumowanie z dowodu lematu l

Q

przekonamy

się, że Ux

nie

może osiągać

swojego maksimum

wewnątrz

Q.

^Pełny

dowód tego faktu pominiemy ze

względu

na

całkowitą analogię.

Celem oszacowania

Uxx wewnątrz Q

dokonamy podstawienia u =

k(v)

> O, k

E

C

³

(Q) w równaniu

wyjściowym, otrzymując

( kk'') vt

=

kvxx+ k'

+ -k'

^v~.

Otrzymane równanie dwukrotnie

różniczkujemy względem

x,

przyjmując

oznacze- kk"

nia

k'+7-

=

K, Vx =p, Vxx =q

Asymptotyczne własności rozwiązania równania

107

Jeśli

maksimum funkcji Vxx jest

osiągane wewnątrz Q

lub dla t

=

T, to w punkcie maksimum

zachodzą nierówności

qt

^~O,

qxx

^·~O,

qx =O.

Uwzględniając

to w ostatnim równaniu otrzymamy

(2K+k')q

²

+ (5K' +k")p

²

q+K"p

^{4 ~O.}

Jest to nierównosc kwadratowa

względem q

z ograniczonymi

współczynnikami

(przy

założeniu, że p

jest ograniczone w Q).

Wybierając funkcję

k(v) tak, by 2K +

+k'

^~

-c< O, dowiedziemy

ograniczoności

q= Vxx

wewnątrz prostokąta

Q.

Za

^funkcję

k(v)

można przyjąć

k(v)=l-(1-A)v dla VE[O,l],A=u

0

(0);

wtedy

^żądany

warunek

będzie spełniony, gdyż

; kk"

2K+k'

=

2k--,-. +3k'

=

-3(1-A) ~ -c< O.

Z

ograniczoności

Vxx wynika

ograniczoność

Uxx

^wewnątrz

Q, bowiem Uxx = k'vxx =

= - (1-A)Vxx·

Wykażemy

teraz

ograniczoność

pochodnych

cząstkowych

Ux i Uxx na brzegu r

prostokąta

Q. Na dolnej podstawie (tzn. dla t = O)

prostokąta

Q funkcja ux jest ograniczona,

gdyż

z

założenia Ju~J ~

const. Celem oszacowania Ux na boku x = N wprowadzamy

funkcję pomocniczą z

=

^u+a~-N,

gdzie

O

< a < A/2. Funkcja

z spełnia

równanie

Ponieważ

prawa strona równania jest dodatnia,

^więc

funkcja

z

nie

^osiąga

maksimum

wewnątrz

Q.

Jeśli

maksimum przyjmuje dla x

=N,

to

Zx ~O, stąd Ux ~

-a. Po-

sługując się funkcją

z

₁ =

u-aex-N otrzymamy (w punkcie minimum funkcji z) oszacowanie z góry ux < a. Zatem Juxl

^~a

dla x =

N. Zauważmy, że

otrzymane oszacowanie nie

^zależy

od liczby

N,

dlatego

^też

z

N można przejść

do

nieskończo­

ności.

Oszacowanie Ux na boku x

=

O dokonuje

^się

analogicznie z.a

^pomocą

funkcji

z2

= u+be-x i z

3

= u-be-x, O < b < A/2,

^dostając

Jux!

^~b

dla

x

= O.

Ograniczoność Uxx

dla t = O wynika z

ograniczoności u~.

Celem wykazania

ograniczoności

Uxx na bokach (tzn. dla x =O i x

=N), ^róż­

niczkujemy równanie ut = uuxx +u;

^względem

x i

posługujemy się

pomocniczymi funkcjami.

Dla oszacowania na boku x

=N posługujemy się funkcją

w

=

ux+ec<x-N>, która

spełnia

równanie

UWxx+3UxWx-Wt

=

Cec(x-N>(cu+3ux).

Stałą

c wybieramy tak, by cu > 3!uxl, wtedy prawa strona. równania jest dodatnia,

a

więc

funkcja w nie

osiąga

maksimum

wewnątrz

Q.

^Jeśli

jest ono

osiągane

dla

x

=N,

to '1-i'x

^~O,

czyli Uxx

~-c. Fosługując się funkcją

w

1

= Ux-ec<:t·-N) otrzy- mamy oszacowanie z góry Uxx :::;;; c. Zatem Juxxl :::;;; c dla x =

N.

Dla oszacowania Uxx na boku x = O

posługujemy się

funkcjami w ₂ = Ux + ^e-dx

w

3 =

Ux- e-dx, gdzie du > 3Juxl i otrzymujemy ostatecznie !uxxl ·:C d.

Ograniczoność

pochodnej ut wynika

bezpośrednio

z równania

wyjściowego.

Wykazaliśmy więc ograniczoność

wszystkich pochodnych Ux, Uxx i Ut w obszarze

S

⁼

[O, oo) x [O, T].

Chociaż

nasze

rozważania dotyczyły prostokąta

Q,

^jednakże

ze

względu

na

niezależność oszacowań

od

szerokości prostokąta są

one

również

słuszne

dla S.

LEMAT

5.

^Jeśli

u

1

i u2

^są

dwoma

rozwiązaniami

równania (1.2) i na brzegu F obszaru s-= ^{[0, oo)}

^X

[0, T] zachodzi nierówność ullr ~ u2lr, to ul~ u2 w całym obszarze S.

D o w ó d. Równanie (1.2) zapisujemy w postaci Ut= UUxx+ui . .

Jeśli

w miejsce u podstawimy u

_{1 ,}

a

^następnie

u

2

i otrzymane równania odejmiemy od siebie, to

różnica

u

1 -

u

2 będzie spełniać

równanie

(u

1 -u2)t

⁼

u1(ul -Uz)xx+ (u1 +u2)xCu1 -Uz)x+(u2)xxCu; -u2).

Z lematu 4 wynika,

^że (u2

)xx jest ograniczona. Przyjmujemy,

^że

l (u2)xxl :::;;;

^M

i pod- stawiamy u1- u2

⁼

veMt

Vt = U1Vxx+(ul +uz)xvx+ [(u2)xx-M]v.

Wyrażenie

[(u

2

)xx-M] jest stale ujemne. Wobec tego funkcja v nie

może

przyjmo-

wać

ujemnego minimum

wewnątrz

obszaru

S. ^Jeśliby

tak nie

było,

to w otoczeniu pewnych punktów

byłoby

v <

O

i w jednym z tych punktów funkcja v

osiągałaby

minimum ujemne. W tym punkcie

zachodziłyby nierówności

Vt :::;;; O, Vxx

~

O, Vx = O i wtedy lewa strona równania

Vt-U1Vxx-(U1 +u2)xVx

⁼

[(u2)xx-M]v

byłaby

ujemna, podczas gdy prawa strona jest stale dodatnia, co nie jest

możliwe.

Na brzegu F obszaru S mamy

vlr = (u1-u2)e-Mt !r~ O.

Wobec tego u

1 ~

u

2 wszędzie

w S.

Własności rozwiązania

równania (1.4). Podamy teraz

własności rozwiązania

rów- nania

(h2 )" +sh' = O spełniającego

warunki brzegowe

h(O)

=

^A

< l, lim

h(s)

= l.

S-+00

WŁASNOŚĆ

l. Istnieje

rozwiązanie

zagadnienia brzegowego z warunkami h(O) = A, lim h(s) = l.

S-+00

Asymptotyczne wlasno.§ci rozwiązania równania

WŁASNOŚĆ 2. Rozwiązanie

h(s)

spełnia nierówność A~

h(s)

^~l.

WŁASNOŚĆ

3. Dla

każdego

s

E

[O, oo)

zachodzą nierówności

h'(s)

>O

h"(s) <O.

WŁASNOŚĆ 4. Rozwiązanie

równania (1.4)

^spełnia

warunek

z

1-h(s) = O{erfc(s/2)}, gdzie erfc(z) = 1- .. ; 2 ~exp(-x ² )dx.

Jl 7t

o

109

Własność l

wynika

bezpośrednio

z

następującego

twierdzenia

pochoaącego

z pracy [2] : ·

TWIERDZENIE. Rozwiązanie

zagadnienia brzegowego F(x)

=

x"-f( t, x, x')

=

O

x(a) = A, x(b) = B

^(prży

czym b

^{może być}

równe + oo) istnieje i jest jednoznaczne,

jeśli można znaleźć

takie funkcje x

1

(t) i

x 2

(t),

że spełnione są następujące

warunki:

(i) F(x

1 ) ~

O, • F(x2)

~O,

(ii) x

1

(t)

^~

x 2(t) dla

^każdego

t,

(iii) x

1 (a)~

A

^~

x 2(a), x

¹

(b)

^~B~

x2(b).

W naszym przypadku F(h) = (h

²)"

+sh' =O, h(O) =A, h(oo) = l.

Możemy przyjąć, że

h

₁

i h

_{2 -}

odpowiedniki funkcji x

₁

i x

2 są stałymi. Jeśli

przyjmiemy,

że

to wszystkie warunki (i)-(iii)

będą spełnione.

Własność

2 wynika z tego,

^że

zarówno funkcja u

=

h(s), jak i funkcje u

= A,

u = l

^spełniają

równanie (1.2) oraz na brzegur obszaru S

nierówność A~

h(s)lr

^~

~

l. Zatem, na mocy lematu 5,

A~

h(s)

^~.l

w

całym

obszarze S.

Własność

3

wykażemy rozumując następująco:

Funkcja h

spełniająca

równanie (1.4) z zadanymi warunkami brzegowymi nie

może przyjmować wewnątrz przedziału

(O, oo) ekstremum lokalnego. Wynika to zarówno z zasady maksimum, jak i z postaci równania. Z warunków brzegowych wynika,

^że

h(s) musi

być funkcją rosnącą, więc

h' (s) > O dla s

^E

[O, oo ). Przez proste

przekształcenie

równania (1.4) otrzy- mamy

h" = - ~ (h'+ ^~)'

skąd

natychmiast wynika,

że

h"(s) < O dla s

E

[0, oo).

Przechodzimy do wykazania

^własności

4. Równanie (1.4) zapisujemy w postaci

hh" + ^(h')

^{2 =}

--2-, ^{s h'}

stąd

Po

scałkowaniu

ostatniego równania

względem

s w przedziale (O, s) otrzymamy

\ z

s

s

²

ln(hh')

=

C

1 -

J --ul ^dz

^~

C1- 4' cl

⁼

^const,

o

stąd

h'~

C

2

exp(-s

²

/4),

gdyż

h

~

l. Po ponownym

scałkowaniu

w przedziale (0, s) dostajemy

s

h(s)-A ~

C2

~ exp( -z

²

/4)dz.

o

Ostatnią całkę można zapisać

w postaci

Zatem

s ^~2

C

2

~ exp( -z

²

/-4)dz = C

3

~ exp(- z

²

)dz, gdzie C

3

= 2C

2 •

o o

s/2

h(s) ~ A+

C3

~ exp(- z

²

)dz.

o

Stałą

C

₃

wyznaczymy z warunku brzegowego

s/2

2(1-A)

c3~---

vr-

2(1-A) \

h(s)~A+

V J ^exp(-z

²

^)dz.

7t o

Ostatnią nierówność można zapisać

w postaci

s/2

l- h( s)":; (l- A) [l- Jl: · } ^ex

^p(-

^z

²

^)dz]

lub

1-h(s)

=

O{erfc(s/2)} . .

Podstawowe rezultaty. Przechodzimy do wykazania zasadniczego twierdzenia tej

części

pracy.

^Jeśli

w równaniu (1.2) zamiast zmiennych x i t wprowadzimy nowe

zmienne s i r, przy czym s = xf(t+ 1)

¹12,

r =

^łn(t+

1), to otrzymamy równanie

(1.11)

Asymptotyczne własności rozwiązania równania

llf

określone

w obszarze

ST

= (0, oo)x(O,ln(T+1)] z

następującymi

warunkami brzegowymi:

(1.12)

u(O, T) = A < l, dla

^{O~ T~}

ln(T + 1), u(s, O)= u

0

(s) dla

^O~

s< oo, przy czym

u0(s)

ma te same

własności

co

u0(x).

TWIERDZENIE

l.

^Jeśli

u = u(s, T) jest

rozwiązaniem

równania ( 1.11) z warunka- mi (1.12), wówczas istnieje taka

^stała

dodatnia A

1 , że

u(s,

T);;?:

h(s,

_A1),

gdzie h(s, A

1 )

jest

rozwiązaniem

równania

(1.4) spełniającym

warunki h(O, A

1)

= A

1 ,.

h(oo,A1 )

=l.

D o w ó d. Zarówno funkcja'" u, jak i h

^spełniają

równanie (1.2).

^Jeśli

wybierzemy A

1

tak,

^żeby

A

1 ~A,

to na mocy lematu

5

mamy u(s,

T);;?:

h(s, A

1) wszędzie

w

ST.

Definiujemy teraz

^funkcję z(

T)

następującym

wzorem:

00

z(T) =

~ s[u(s, T)-h(s)]ds.

o

Wykorzystując

twierdzenie l otrzymamy dla dowolnego

^T

z

przedziału

[O, ln(T + l )J lu-hl = l(u-1)+

(h-1)1 ~(l-u)+ (l-h)~

~

[1-h(s,

A1

)]+ [1-h(s,

A)].

Przy

^s~

oo prawa strona

nierówności dąży

do zera, wobec tego funkcja u-h jest ograniczona dla

s E

[0, oo ). Z

^własności

4 wnosimy,

^że

(1.13)

lu-hl = O{erfc(s/2)}.

Funkcja z(

T)

jest

więc

dobrze

określona

dla

T E

[0, ln(T+ 1)].

TwiERDZENIE 2.

Funkcja z(

T) wyraża się

wzorem z(

T) =

C ex p(-

T)

dla

T E

[O, oo ),.

C= const.

D o w ó d.

^Mnożymy

równania ( 1.11) i

(1.4)

przez s i odejmujemy od siebie stronami:

2sur = s(u

²

-h

²

)ss+s

²

(u-h)s.

Ponieważ

hT

=

O,

więc

do lewej strony równania

możemy dodać

wyraz - 2sh

7•

dostając

2s(u-h)T

=

s(u

²

-h

²

)ss+s

²

(u-h)s.

Otrzymane równanie

całkujemy względem s

w przedziale (O, oo):

00 00 00

2

~ s(u-h)Tds

=

~ s(u

²

-h

²

)ssds+ ~ s

²

(u-h)sds.

o o o

Po wykonaniu

^obliczeń

otrzymamy

00 00

2 ~ s(u-h).ds = s(u

²

-h

²

)sl: ^-(u

²

^h

^2)/:

^+s

²

(u-h)/: -2 ~ s(u-h)ds.

o o

Z warunków brzegowych wynika znikanie trzech pierwszych

składników

prawej _strony przy s = O, z (1.13) znikanie drugiego i trzeciego

^składnika

przy

^s~

oo.

Pozostało

do sprawdzenia zachowywanie

^się

pierwszego

składnik;l

prawej 'Strony przy s

~

oo.

^Ponieważ

u-

l

i

u~ dążą

do zera przy s

~

oo dostatecznie szybko, to i

su~> ~

O, natomiast u pozostaje ograniczone. Z

^własności

4

rozwiązania

równania (1.4) mamy h' > O i h" < O,

więc

dla dostatecznie

^dużych

s jh'(s)j

^~

1- -h(s).

Stąd

wnosimy,

^że

h'(s)

dąży

do zera tak szybko jak 1-h przy

^s~

oo,

^więc

lim s(h

²

)s = O. Z ostatniego wzoru dostajemy

d z

-dr-=

^{-Z; T E}

(0, ln(T+ 1)], a

^stąd

po

scałkowaniu względem

r w przedziale ( r

0 ,

r)

z(

r) = Cexp(- r), C

=

const.

TwiERDZENIE

3.

Jeśli

u = u(x, t) jest

rozwiązaniem

równania (1.2) z warunkami (1.3) i

jeśli

u(s, r) = u(s, t), to istnieje taka

stała

M,

że

00

~ sju(s, r)-h(s)jds ~ t~l ^.

o

D o wód.

Rozważmy

dwie funkcje uó(s) i u0 (s)

spełniające

podobny warunek jak

u0(s),

lecz takie,

^że

uó(s) ~ max[u

0

(s), h(s)], u0(s)

^~

min[u

0

(s), h(s)].

Niech u+(s, r) i u-(s, r)

będą rozwiązaniami

równania (l.il) z warunkami (1.12) odpowiednio dla funkcji

początkowej

uó(s) i u0(s). Na mocy lematów 2 .i 5 mamy

u+ (s, r)

~

max[u(s, r), h(s)], u-(s, r)

^~

min[u(s, r), h(s)].

Jeśli

u

~ h,

to

ju-hl =u-h:::;;; u+ -h.

Jeśli

natomiast u:::;;;

^h,

to

/u-h/

=h-u~

h-u-.

Wobec tego .(1.14)

00 00 00 00

~ sju-hj ds ~ ~ s(u+ -h)ds+ ~ s(h-1r)ds = ~ s(u+ -u-)ds.

o o o o

Asymptotyczne własności rozwiązania równania

113

Ponieważ

lewa strona otrzymanej

nierówności

jest równa z( r),

więc wykorzystując

wzór twierdzenia 2 mamy

00 00

~ siu-hjds ~ exp(- r) ~ s(ut-u0)ds.

o o

Oznaczając wartość całki

prawej strony przez

M

i

pamiętając, że r

= ln(t+ l) otrzymamy ostatecznie

00

~siu-hi ds ~

MI .

o

t+

Potrzebne nam

^będzie

jeszcze

następujące

twierdzenie:

TWIERDZENIE 4.

Niech f(x)

będzie funkcją określoną

dla x

E (0,

oo) i

spełniającą następujące

warunki:

(l) f(x)

~O

dla x >O if(O) = O,

(2)

funkcja f

spełnia

warunek Holdera z

wykładnikiem

r:x i

współczynnikiem

L, (3) ~ xf(x)dx ~N dla każdego a, O

a

< a < oo, N= const.

Wtedy

o

( N)cxj(cx+2)

su p f(x)

~

- L 2J<cx+2>'

0<X< oo

d gdzie

d= r:x(r:x+3) 2(r:x+l)(r:x+2).

D o wód. Niech w pewnym punkcie x

₀ E

(O, a]

będzie

f(x

0 ) =

B > O. Na mocy

^założenia

(2) mamy

lf(x)-f(xo)l

^~

Llx-xolcx,

stąd

lf(xo)l-Jf(x)l

^·~

Llx-xolcx dla

^X~ X_{0 ,}

· czyli

f(x)

~

B-Lix-x

₀

jcx.

Z

^założenia

(l) mamy

f(

O) = O,

^więc

O

^~

B- Lxg. Zatem ( B)l/cx

Xo ~

-L .

( ) 1/CX

Wykorzystując założenie (3) po wprowadzeniu oznaczenia

c

= ~ otrzymamy

a Xo

N~~ ^xf(x)dx ~ ~ ^x(B-Ljx-x

0

jcx)dx

=

0 Xo-C

X o X o

~ xBdx+L ~ (lx-x

₀

jrt.+l_x

₀

jx-x

₀

)rt.)dx =

Xo-C

B

^{er~.+ 2 er~.+ 1}

Bc2

^{Lcr~.+ 2}

= -

2 (2cx

₀

-c2)+L - - -Lx a+2

0

a+ l

;;?: ^-~~

2

-- - - -

(a+ l) (a+2) a(a+3) Bc2 = a(a+3) B<2+r~.>frt.L-2frt.

2(a+ l) (a+2) 2(a+ l)(a+2) ·

Po

przyjęciu

oznaczenia d = a( a+ 3) /2( a+ 1 )(a+ 2) mamy N;;?: dB<2+rt.)frt.L-2frt., a

^stąd

B ":; (

~r/(>+2)

[2f(>+2>.

W punkcie x

0

mamy

B

= f ^Wobec

dowolności

punktu x

0 wszędzie

w przedziale

(0, a] zachodzi nierówność '

( N)rt./(rt.+2>

sup f(x)

^~

---

L2f<r~.+2>.

0<X<OO d

Obecnie zamierzamy

zastosować

udowodnione twierdzenie do funkcji u+- h i h- u-.

Musimy

więc sprawdzić,

czy wymienione funkcje

spełniają założenia

tego twier- dzenia.

^Założenie

(l) jest

spełnione, gdyż

obie funkcje

^są

nieujemne i

^znikają

przy s

=

O.

Założenie

(2) jest

spełnione, ponieważ

funkcje u+- h i h- u-

^mają

ograni- czone pochodne

cząstkowe

na mocy lematu 4, a

więc spełniają

warunek Holdera.

Założenie

(3) jest

również spełnione

na mocy twierdzenia 3.

PoDSTAWOWE TWIERDZENIE. Jeśli

u= u(x, t) jest

rozwiązaniem

zagadnienia (1.2)-(1.3), natomiast h = h(s) jest

rozwiązaniem

zagadnienia (1.4)-(1.5), to istnieje taka

^stała

dodatnia M

niezależna

od t,

^że

!u(x, t)-h(s)!

^~

M(t+ l)-

¹¹³

dla t

^E

[0, oo).

D

o wód. Zarówno u(s, T), jak i h(s)

mają ograniczoną pochodną cząstkową względem

s dla s

E

[O, oo ). Wobec tego

spełniają

warunek Holdera z

wykładnikiem

a=

l. Stosując

twierdzenie 4 do funkcji u+(s, T)-h(s) otrzymamy u+(s, T)-h(s)

^~

M

₁

exp(- T/3), T

^E

[0, ln(T+ l)];

podobnie

h(s)-1F(s,

T)~

M

2

exp(-T/3), T

E

[0, ln(T+1)].

Wykorzystując nierówność

(1.14) dostajemy

lu(s, T)-h(s)!

~

(M

₁

+M

2

)exp(- T/3) = Mexp(- T/3).

Ponieważ stała

M nie

zależy

od t,

więc

z T

możemy przejść

... do

nieskończoności.

Biorąc

pod

^{uwagę, że} T =

ln(t+ 1),

^możemy

ostatecznie

^napisać

!u(x, t)-h(s)!

~

M(t+

1)-¹1³

dla t;;?:

O

Asymptotyczne własności rozwiązania równania

115 lub

!u(x, t)-h(s1

)1 =

O{(t+ I)-¹13 }.

Wykazane twierdzenie

upoważnia

do

zastępowania rozwiązania

równania

u1

=

= ł(u²)xx

'dla dostatecznie

dużych t rozwiązaniem

równania

(h2 )" +sh'

=O.

Uogólniony przypadek

Uwagi

^wstępne.

Zamierzamy obecnie

^uogólnić

otrzymany wynik na równanie postaci

(2.1)

gdzie

W(u, t)

=

F(u)cp(t),

przy czym lim

cp(t)(t+

1)

1/ 2

= l,

<p E

C

¹

[0, oo). Za-

l->00

kładamy, że

funkcja

D, E

i

F są

ograniczone dla ograniczonych

wartości

u oraz

należą

do klasy C

2 •

Przyjmujemy

również, że

D(u) > O dla u > O.

Równanie (2.1)

rozważamy

w _obszarze S= (0, oo) x (0,

T],

gdzie

T

jest ustalo- ną liczbą dodatnią (może być nieskończonością). Żądamy, by na brzegu obszaru S

spełnione były

warunki

(2.2)

^u(O,

t) = U

1

= const > O

u(x,

O) =

u0(x)

dla

O·~ t~ T,

dla , O

~

x < oo ,

gdzie Uo(x) jest

funkcją dodatnią

klasy C

^{3 '}

dla której lim Uo(x) = u2 = const >

X->00

> ul

spełniającą również

warunki

zgodności:

Uo(O) = ul oraz

Poczynione

założenia zapewniają potrzebną regularność

i

ograniczoność• rozwią­

zania.

Niech f

będzie rozwiązaniem

równania

(2.3) D(f)f"

+E(f)(f')²+ [F(f)+s/2]/'

=

O

z

nałożonymi

warunkami brzegowymi

(2.4)

Pokażemy, że

f(O) = ul,

limf(s) = u2.

S->00

limlu(x,

t)-f(s)!

=O, gdzie

s= xf(t+

1)

112 • t->00

Zauważmy, że

równanie (2.3) powstaje z równania (2.1),

jeśli cp(t)

=

^(t+

1)-

^1/2

i

^jeśli

podstawimy

u= f(s), s= xf(t+

1)

¹12 •

Twierdzenia pomocnicze. Do wykazania podstawowego twierdzenia

będą

po-

trzebne pewne pomocnicze twierdzenia, które teraz

sformułujemy

i

wykażemy.

Rozwiązaniem

równania (2.1) z warunkami (2.2) nazywamy

^funkcję

u= u(x, t) ciągłą, ograniczoną i dodatnią w obszarze S

⁼

[O, oo) x [O, T] posiadającą ciągłe pochodne

cząstkowe występujące

w tym równaniu oraz

spełniającą

je w

^zwykłym

sensie.

Spełnia

ono

ząsadę

maksimum

(łatwy

dowód pomijamy). Istnienie i jedno-

znaczność rozwiązania

zagadnienia (2.1 )-(2.2) wynika z twierdzenia

następującego

po lemacie 3 po

uwzględnieniu

umieszczonej tam uwagi.

TWIERDZENIE

l.

^Jeśli

u = u(x, t) jest

rozwiązaniem

zagadnienia (2.1 )-(2.2), funkcja

początkowa

u

0

(x) oraz funkcje

D(

u), E(u) i

W(

u, t)

^spełniają

wszystkie po- przednie

założenia,

to pochodne

^{cząstkowe Ux, Uxx}

i

^{Ut są}

ograniczone w obszarze

s= .[o, oo) x [O,

T].

D o w ó d. W dowodzie tego twierdzenia zastosujemy

metodę różniczkowania

równania (2.1)

względem

x.

Poprawność

takiego

postępowania

wynika z uogólnie- nia lematu 3 poprzedniej

części

pracy.

Wykażemy

najpierw

ograniczoność

pocho- dnych

Ux, Uxx

i ut

wewnątrz

obszaru S.

Celem oszacowania

Ux wewnątrz

S podstawiamy u = k(v) > O, k

E

C

³

w rów- naniu (2.1)

dostając

Teraz

różniczkujemy

otrzymane równanie

^względem

x,

wprowadzając

dla wygody oznaczenie

Vx =

p:

(2.5) Dp,.+ [ ( D'k' +2D ~: +2Ek') p+ w] Px-Pt+

+ [(D' +E)k" +D ( {.' r ^+E'(k')

^2]

^{p'+ W'k'p}

²

^=O.

Równanie (2.5) po

pomnożeniu

przez

2p

zapisujemy w postaci

D(p

²

)xx-2Dpi+ [ ( D'k' +2D ~: +2Ek') p+ w](p

²

)x- (p

²

),+

+2 [(D' +E)k" +D ( ~: r + E'(k')l ]p

⁴

+2W'k'p

³

=O.

Jeśli

funkcja

p^{2 osiąga}

maksimum dodatnie, to w tym punkcie

Wybierając funkcję

k(v) tak, by

^wyrażenie

w nawiasie kwadratowym

^było

ostro ujemne, dowiedziemy

ograniczoności

funkcji p

²

= v; ^we

^wnętrzu

^{obszaru S. Za}

funkcję

k(v)

możemy przyjąć

V

k(v)

=

a+b ~exp( -sm)ds dla v

^E

[l, oo),

o

Asymptotyczne własności rozwiązania równania

117 gdzie

^stałe

a i b

są

dodatnie i tak dobrane, by

były spełnione

warunki brzegowe przy ustalonym dostatecznie

dużym

m. Wtedy

(D'+ E)k" +D ( ~:)' + E'(k')

² =

=

-mbvm-te-vm(D' +E)-m(m-l)Dvm-z+E'b

²

e-

²

vm <O.

Z

ograniczoności

vx wynika

ograniczoność

Ux we

^wnętrzu

S,

gdyż

llx

=

k'vx, ak'

=

= bexp(- vm) jest ograniczona:.

l

Celem oszacowania Vxx

wewnątrz

S

różniczkujemy

równanie (2.5)

względem

x

przyjmując

oznaczenia Vxx = Px =

^q:

Dąxx+ ^[z(D ~:+(D' ^{+E)k') p+} w] qx-q,+ [zDf- +(D'+2E)k'] q

²

+

+ [ ((D" +5E')(k')2+ (6D' +5E)k" +SD (~:n p+3 W'k'] pq+

+ [W" (k')

²

+ W' k"]p

³

+ [ (D"+ 3E') k" k' + (D'+ E) k'" +D' k' ( ~: r ⁺

+D ( ~: r +E"(k')

^3]

p

⁴

=O.

l

Jeśli

maksimum funkcji q jest

- osiągane wewnątrz

S, to w tym punkcie musi

być spełniona nierówność

kwadratowa

względem q

[zD ~: +(D'+2E)k'] q

²

+ ... ;:;, O,

której

współczynnik

przy

najwyższej potędze

jest ujemny, bowiem k"

2Dy+(D'+2E)k'

=

(D'+2E)be-vm_2Dmvm-t

^~-c<

O

dla dostatecznie

^dużych

m i v

E

[l,

oo ).

Z ostatniej

nierówności

wynika ograni-

czoność

v

^xx,

a

stąd ograniczoność Uxx wewnątrz

S.

Ograniczoność

pochodnej ut w S wynika

bezpośrednio

z (2.1). _ Przechodzimy teraz do szacowania pochodnych Ux,

^{U u}

i ut na brzegu obszaru S.

W tym celu

wykażemy ograniczoność

wymienionych pochodnych

cząstkowych

na brzegu dowolnego

prostokąta domkniętego

Q = [O,

N]

x [O,

T]

i przekonamy

się,

że

oszacowanie nie

zależy

od

N-szerokości prostokąta

Q.

Rozważmy następujące

zagadnienie:

u,= D(u)Uxx+E(u)ui+ W(u, t)ux dla

(x,

t)

^E

Q, u(x, O)

=

u

0

(x) dla x

E

[O,

N],

u(O,

t)

=

ul ^{dla t}

^E

[0,

T],

u(N,

t)

= u₀(N)

dla

t E

[0, T].