Równania różniczkowe specjalnego typu

Równania różniczkowe specjalnego typu

Marcin Orchel

Spis treści

1 Wstęp 1

1.1 Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu . . . . 1 1.2 Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach 2

1.2.1 Rozwiązywanie jednorodnych równań różniczkowych o stałych współ- czynnikach . . . . 2 1.2.2 Rozwiązania niejednorodnych równań różniczkowych o stałych współ-

czynnikach . . . . 3 1.2.3 Przydatne wzory . . . . 9 1.3 Zagadnienia dodatkowe . . . . 9

2 Zadania 9

2.1 Zadania na 3.0 . . . . 9 2.2 Zadania na 4.0 . . . . 10 2.3 Zadania na 5.0 . . . . 10

1 Wstęp

1.1 Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu ma postać:

y ⁰⁰ + p (x) y ⁰ + q (x) y = F (x) (1) Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego jednorodnego ma postać:

y = C ₁ y ₁ + C ₂ y ₂ (2)

gdzie y ₁ i y ₂ są dwoma niezależnymi rozwiązaniami szczególnymi tego równania.

Tak jak było wyprowadzone w przykładzie do poprzednich zajęć: jeśli znamy jedno rozwiązanie y ₁ to drugie rozwiązanie szczególne równania jednorodnego wynosi:

y ₂ = Ay ₁ Z e ⁻

R pdx

y ₁ ² dx (3)

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego znajdujemy ze wzoru:

y = 1 A

x

Z

x

F (ξ) e

R p(ξ)dξ (y ₂ (x) y ₁ (ξ) − y ₁ (x) y ₂ (ξ)) dξ (4)

gdzie y ₁ i y ₂ są niezależnymi liniowo rozwiązaniami jednorodnego równania różniczko- wego.

1.2 Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych o stałych współ- czynnikach

Równanie różniczkowe liniowe w postaci:

y ⁽ⁿ⁾ + a ₁ y ⁽ⁿ⁻¹⁾ + a ₂ y ⁽ⁿ⁻²⁾ + . . . + a _n−1 y ⁰ + a _n y = F (5) możemy zapisać jako:

P n (D) y ≡ ^ D ⁿ + a ₁ D ⁿ⁻¹ + a ₂ D ⁿ⁻² + . . . + a _n−1 D + a n



y = F (6)

gdzie D jest operatorem różniczkowania:

Dy = dy

dx (7)

D ^k y = d ^k y

dx ^k (8)

Jeśli współczynniki a _i są stałe , to P _n (D) jest wielomianem stopnia n względem operatora D.

1.2.1 Rozwiązywanie jednorodnych równań różniczkowych o stałych współ- czynnikach

Jednorodne równanie różniczkowe o stałych współczynnikach wygląda następująco:

P n (D) y = 0. (9)

Rozwiązanie polega na znalezieniu pierwiastków jego równania charakterystycznego:

P _n (r) = r ⁿ + a ₁ r ⁿ⁻¹ + a ₂ r ⁿ⁻² + . . . + a _n−1 r + a _n = 0 (10) Każdemu pierwiastkowi r _i odpowiada pewne rozwiązanie e ^r

^x równania (9).

Jeśli pierwiastek r _i jest k-krotny to rozwiązaniami są ponadto:

xe ^r

^x , x ² e ^r

^x , . . . , x ^k−1 e ^r

^x .

Jeśli pierwiastek nie jest rzeczywisty, to na pewno istnieje drugi pierwiastek zespolony z nim sprzężony. Jeśli r ₁ = α + iβ i r ₂ = α − iβ to rozwiązaniami są: e ^αx cos βx i e ^αx sin βx.

Rozwiązaniem ogólnym równania (9) jest kombinacja liniowa powyższych rozwiązań:

y = C ₁ e ^r

^x + C ₂ e ^r

^x + . . . + e ^r

^{x } C _i + C _i+1 x + . . . + C _i+k−1 x ^{k−1 } + . . . (11)

Przykład 1.

y ⁽⁶⁾ + y ⁽⁴⁾ − y ⁰⁰ − y = 0 (12)

Równanie charakterystyczne:

r ⁶ + r ⁴ − r ² − 1 = 0 (13)

Wielomian możemy zapisać w postaci:

(r − 1) (r + 1) ^ r ² + 1 ^{ 2} = 0 (14) Rozwiązania: r ₁ = 1, r ₂ = −1, r ₃ = r ₄ = i, r ₅ = r ₆ = −i.

Rozwiązanie ogólne:

y = C ₁ e ^x + C ₂ e ^−x + (C ₃ + C ₄ x) cos x + (C ₅ + C ₆ x) sin x (15) Rozwiązanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= %28d^6%

2Fdx^6% 28y% 29% 29+ %2B+ %28d^4% 2Fdx^4% 28y% 29% 29+ -+y% 27% 27+ -+y+ %3D+ 0 . Możemy również dla pierwiastków zespolonych zapisać rozwiązanie zespolone, dla jednokrotnych pierwiastków to będzie

e ^(α+βi)x (16)

Możemy to rozwiązanie zapisać w postaci

u (x) + iv (x) (17)

i skorzystać z poniższego lematu aby ograniczyć to rozwiązanie do rzeczywistego.

Lemat 1.1. Jeśli równanie różniczkowe liniowe jednorodne

P n (D) y = 0 (18)

o współczynnikach rzeczywistych (niekoniecznie stałych) ma rozwiązanie zespolone po- staci (17) to każda z funkcji rzeczywistych u(x) i v(x) jest rozwiązaniem (rzeczywistym) równania (18).

1.2.2 Rozwiązania niejednorodnych równań różniczkowych o stałych współ- czynnikach

Rozwiązania niejednorodnych równań różniczkowych o stałych współczynnikach możemy wyznaczać za pomocą metody uzmienniania stałych lub metody Cauchy’ego, przy czym możemy wyróżnić szczególne przypadki:

•

F (x) = Ae ^αx (19)

Rozwiązaniem szczególnym jest:

y = Ae ^αx

P _n (α) (20)

gdy P (α) 6= 0. Jeśli α jest m-krotnym pierwiastkiem równania charakterystyczne- go, to rozwiązaniem szczególnym jest także:

y = Ax ^m e ^αx P n ^(m) (α)

(21) Dla przypomnienia α jest m-krotnym pierwiastkiem wielomianu, gdy:

P _n (α) = P _n ⁰ (α) = . . . = P _n ^(m−1) (α) = 0 (22) Przykład 2. Rozwiązać równanie:

y ⁰⁰ − 6y ⁰ + 8y = e ^2x (23)

α = 2 (24)

P (D) = D ² − 6D + 8 (25)

P (2) = 0 (26)

P ⁰ (D) = 2D − 6 (27)

P ⁰ (2) = −2 (28)

Rozwiązanie równania jednorodnego:

y (x) = C 1 e ^2x + C ₂ e ^4x (29) Rozwiązanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i=

y% 27% 27-6y% 27% 2B8y% 3D0 . Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego:

y = − xe ^2x

2 (30)

Rozwiązanie ogólne wynikające prawa superpozycji:

y (x) = C 1 e ^2x + C ₂ e ^4x − 1

2 e ^2x x (31)

Rozwiązanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i=

y% 27% 27-6y% 27% 2B8y% 3De^{ 2x} .

•

F (x) = Ae ^αx cos ωx (32)

lub

F (x) = Ae ^αx sin ωx (33)

Aby rozwiązać powyższe rozwiązujemy inne równanie postaci:

F (x) = Ae ^αx (cos ωx + i sin ωx) (34) Równanie to zapisujemy w postaci:

F (x) = Ae ^(α+iω)x (35)

Część rzeczywista rozwiązania powyższego równania będzie rozwiązaniem (32), a

część urojona rozwiązaniem (33).

Przykład 3.

y ⁰⁰ + y ⁰ + y = e ^x sin x (36)

Rozważamy równanie

y ⁰⁰ + y ⁰ + y = e ^(1+i)x (37)

Rozwiązaniem tego jest z (20):

y = e ^(1+i)x

(1 + i) ² + 1 + i + 1 = e ^x (cos x + i sin x)

2 + 3i (38)

= e ^x (cos x + i sin x) (2 − 3i)

13 (39)

Całka szczególna ma postać:

y ₁ = e ^x

13 (2 sin x − 3 cos x) (40)

Równanie jednorodne na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/

input/ ?i= y% 27% 27% 2By% 27% 2By% 3D0 . Równanie na wolframalpha.com, http:

// www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y% 27% 27% 2By% 27% 2By% 3De^xsin+ x .

•

F (x) = Q _n (x) e ^αx , (41)

gdzie Q _n (x) jest wielomianem n-tego stopnia. Rozwiązanie szczególne postulujemy w postaci:

y = R (x) e ^αx (42)

Jeśli α jest m-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego, to R (x) jest wielomianem n-tego stopnia pomnożonym przez x ^m . Postulowane rozwiązanie z niewiadomymi stałymi wstawiamy do danego równania różniczkowego i otrzymu- jemy w ten sposób układ równań liniowych na te stałe. Szczególnym przypadkiem jest, gdy α = 0, wtenczas F (x) = Q _n (x).

Przykład 4.

y ⁽⁴⁾ + 2y ⁰⁰⁰ + y ⁰⁰ = 6x (43)

α = 0 (44)

Równanie charakterystyczne:

r ⁴ + 2r ³ + r ² = 0 (45)

Rozwiązaniami są:

r ₁ = r ₂ = 0, r ₃ = r ₄ = −1 (46) Rozwiązanie szczególne postulujemy w postaci:

y ₁ = x ² (ax + b) (47)

Podstawiając do równania wyjściowego otrzymujemy:

a = 1, b = −6 (48)

A zatem szczególne rozwiązanie równania to

y = (x − 6) x ² (49)

Rozwiązanie równania jednorodnego biorąc pod uwagę poszczególne pierwiastki to y = (C 1 + C ₂ x) + (C 3 + C ₄ x) e ^−x (50) A zatem rozwiązanie równania wyjściowego to

y = C ₁ + C ₂ x + (C ₃ + C ₄ x) e ^−x + (x − 6) x ² (51) Równanie jednorodne na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/

input/ ?i= %28d^4% 2Fdx^4% 28y% 29% 29+ %2B+ 2% 28d^3% 2Fdx^3% 28y% 29% 29+ %2B+

y% 27% 27+ %3D+ 0 . Równanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha.

com/ input/ ?i= %28d^4% 2Fdx^4% 28y% 29% 29+ %2B+ 2% 28d^3% 2Fdx^3% 28y% 29% 29+

%2B+ y% 27% 27+ %3D+ 6x . Rozwiązanie z wolframalpha.com to:

y = c 4 x + e ^−x (c ₂ x + c 1 + 2c ₂ ) + c ₃ + (x − 6) x ² (52) Rozwiązanie to jest tożsame z naszym rozwiązaniem, ponieważ możemy zapisać

c ₁ + 2c ₂ = C ₃ (53)

• Dla

F (x) = Q n (x) e ^rx cos ωx, (54) lub

F (x) = Q _n (x) e ^rx sin ωx. (55) postulujemy rozwiązanie:

y = x ^m e ^rx (M _n (x) cos ωx + N _n (x) sin ωx) (56) Przykład 5.

y ⁽⁴⁾ + 2y ⁰⁰⁰ + y ⁰⁰ = 2x sin x (57) Dla tego przykładu r = 0, ω = 1. Równanie charakterystyczne r ⁴ + 2r ³ + r ² = 0, r ² (r ² + 2r + 1) = 0, r ² (r + 1) ² , a więc mamy dwa pierwiastki podwójne r = 0 i r = −1.

r + iω = 0 + i = i (58)

i nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, więc m = 0. Postulowane rozwiązanie

y ₁ = (ax + b) cos x + (cx + d) sin x (59)

y 1 = ax cos x + b cos x + cx sin x + d sin x (60) y ₁ ⁰ = a cos x − ax sin x − b sin x + c sin x + cx cos x + d cos x (61) y ₁ ⁰⁰ = −a sin x − a sin x − ax cos x − b cos x + c cos x + c cos x − cx sin x − d sin x (62) y ⁰⁰ ₁ = −2a sin x − ax cos x − b cos x + 2c cos x − cx sin x − d sin x (63) y ₁ ⁰⁰⁰ = −2a cos x−a cos x+ax sin x+b sin x−2c sin x−c sin x−cx cos x−d cos x (64) y ₁ ⁰⁰⁰ = −3a cos x + ax sin x + b sin x − 3c sin x − cx cos x − d cos x (65) y ₁ ⁽⁴⁾ = 3a sin x+a sin x+ax cos x+b cos x−3c cos x−c cos x+cx sin x+d sin x (66) y ⁽⁴⁾ ₁ = 4a sin x + ax cos x + b cos x − 4c cos x + cx sin x + d sin x (67) Otrzymujemy równanie:

4a sin x + ax cos x + b cos x − 4c cos x + cx sin x + d sin x (68)

− 6a cos x + 2ax sin x + 2b sin x − 6c sin x − 2cx cos x − 2d cos x (69)

− 2a sin x − ax cos x − b cos x + 2c cos x − cx sin x − d sin x (70)

= 2x sin x (71)

Równanie to możemy zapisać jako

sin x (4a + 2ax + 2b − 2a + cx + d − 6c − cx − d) (72) + cos x (ax + b − 6a − ax − b − 4c − 2cx − 2d + 2c) = 2x sin x (73)

(2a + 2ax + 2b − 6c) sin x + (−6a − 2c − 2cx − 2d) cos x = 2x sin x (74) A zatem

2a + 2ax + 2b − 6c = 2x (75)

oraz

− 6a − 2c − 2cx − 2d = 0 (76)

Z tego wynika a = 1, 2 + 2b − 6c = 0, −6 − 2c − 2cx − 2d = 0, dalej c = 0, czyli b = −1, d = −3. Rozwiązania szczególne ma postać

(x − 1) cos x − 3 sin x (77)

Rozwiązanie ogólne ma postać:

y = (x − 1) cos x − 3 sin x + C ₁ + C ₂ x + (C ₃ + C ₄ x) e ^−x (78) Równanie jednorodne na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/

input/ ?i= %28d^4% 2Fdx^4% 28y% 29% 29+ %2B+ 2% 28d^3% 2Fdx^3% 28y% 29% 29+ %2B+

y% 27% 27+ %3D+ 0 . Równanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha.

com/ input/ ?i= %28d^4% 2Fdx^4% 28y% 29% 29+ %2B+ 2% 28d^3% 2Fdx^3% 28y% 29% 29+

%2B+ y% 27% 27+ %3D+ 2xsinx .

Przykład 6.

y ⁽⁴⁾ + 2y ⁰⁰⁰ + y ⁰⁰ = 6x + 2x sin x (79) Wykorzystując prawo superpozycji dla równań liniowych, rozwiązaniem ogólnym jest:

y = x ² (x − 6) + x ² ((x − 1) cos x − 3 sin x) + C ₁ + C ₂ x + (C ₃ + C ₄ x) e ^−x (80) Równanie jednorodne na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/

input/ ?i= %28d^4% 2Fdx^4% 28y% 29% 29+ %2B+ 2% 28d^3% 2Fdx^3% 28y% 29% 29+ %2B+

y% 27% 27+ %3D+ 0 . Równanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha.

com/ input/ ?i= %28d^4% 2Fdx^4% 28y% 29% 29+ %2B+ 2% 28d^3% 2Fdx^3% 28y% 29% 29+

%2B+ y% 27% 27+ %3D+ 6x+ %2B+ 2xsinx .

• Równanie różniczkowe Eulera Równanie postaci:

n

X

k=0

a _k (cx + d) ^k y ^(k) = F (x) (81) Dokonujemy podstawienia:

cx + d = e ^t (82)

i sprowadzamy go do równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach.

Przykład 7.

x ² y ⁰⁰ − 5xy ⁰ + 8y = x ² (83)

Po podstawieniu x = e ^t , dx (t) = e ^t dt, dy dx (t) = 1

e ^t dy

dt (84)

e ^t d ² y dx ² =

d

y

dt

e ^t − ^dy _dt e ^t

e ^2t (85)

d ² y dx ² =

d

y

dt

e ^t − ^dy _dt e ^t

e ^3t (86)

otrzymujemy:

d ² y dt ² − dy

dt − 5 dy

dt + 8y = e ^2t (87)

d ² y dt ² − 6 dy

dt + 8y = e ^2t (88)

Równanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i=

x^2y% 27% 27+ -+5xy% 27+ %2B+ 8y+ %3D+ x^2.

1.2.3 Przydatne wzory

e ^α+iω = e ^α (cos ω + i sin ω) (89)

e ^iω = cos ω + i sin ω (90)

e ⁱ = cos 1 + i sin 1 (91)

1.3 Zagadnienia dodatkowe

• Twierdzenie Hurwitza

2 Zadania

2.1 Zadania na 3.0

Wszystkie zadania proszę rozwiązać symbolicznie za pomocą wolframalpha.com oraz Ma- tlaba. Wyświetlić pole kierunkowe do każdego równania. W rozwiązaniu powinien znaleźć się skrypt rozwiązujący dane równanie w Matlabie oraz wyświetlający pole kierunkowe wraz z przykładowymi rozwiązaniami, jak również link do strony wolframalpha.com z rozwiązaniem równania. Powinien również znaleźć się komentarz odnośnie zgodności roz- wiązań z Matlaba, wolframalpha.com oraz poniższych odpowiedzi.

1.

y ⁽⁴⁾ − 5y ⁰⁰ + 4y = 0 (92)

2.

y ⁰⁰⁰ − 2y ⁰⁰ + y ⁰ − 2y = 0 (93)

3.

y ⁽⁵⁾ − 6y ⁽⁴⁾ + 14y ⁰⁰⁰ − 16y ⁰⁰ + 9y ⁰ − 2y = 0 (94) 4.

y ⁽⁴⁾ + 2y ⁰⁰⁰ + 3y ⁰⁰ + 2y ⁰ + y = 0 (95) 5.

y ⁽⁴⁾ + 3y ⁰⁰⁰ + 4y ⁰⁰ + 3y ⁰ + y = 0 (96) 6.

y ⁽⁴⁾ + 4y ⁰⁰⁰ + 8y ⁰⁰ + 16y ⁰ + 16y = 128e ^2x + 9 cos x − 12 sin x (97) 7.

x ³ y ⁰⁰⁰ + 6x ² y ⁰⁰ + 13xy ⁰ + 27y = 0 (98) 8.

x ⁴ y ⁽⁴⁾ + 10x ³ y ⁰⁰⁰ + 32x ² y ⁰⁰ + 54xy ⁰ + 36y = 36 ln ³ x + 6 ln x + 18 (99)

2.2 Zadania na 4.0 2.3 Zadania na 5.0

Literatura

[1] I. N. Bronsztejn, K. Siemiendiajew, G. Musiol, and H. Möhlig, Nowoczesne kompen- dium matematyki. Wydawnictwo naukowe PWN, 2004.

[2] J. Niedoba and W. Niedoba, Równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe. Wydaw-

nictwa AGH, 2001.