dr Krzysztof ›yjewski Równania ró»niczkowe I, 2014/2015; 4 maja 2015

dr Krzysztof ›yjewski Równania ró»niczkowe I, 2014/2015; 4 maja 2015

Legalna ±ci¡ga na kolokwium I

Równania ró»niczkowe pierwszego rz¦du sprowadzalne do równa« o zmiennych rozdzielonych a) Równanie postaci:

dy

dx = f (ax + by + c), (1)

wprowadzamy now¡ zmienn¡ zale»nej za pomoc¡ podstawienia:

u(x) = ax + by + c. (2)

b) Równanie jednorodne wzgl¦dem x i y Równanie postaci:

dy

dx = f  y x



, (3)

rozwi¡zujemy poprzez wprowadzenie nowej zmiennej niezale»nej za pomoc¡ podstawienia:

u(x) = y

x ⇒ y = ux =⇒ dy

dx = x du

dx + u. (4)

c) Dla równania postaci y

= f 

1x+b₁y+c₁ a2x+b2y+c2

 Równanie postaci

y

= f  a

x + b

y + c

a

x + b

y + c

 , w zale»no±ci od przypadku.

Przypadek 1. Je»eli wyznacznik

a

b

a

b

6= 0 stosujemy podstawienie

( x = ξ + x

, y = η + y

, (5)

gdzie x = x

, y = y

speªna ukªad

( a

x

+ b

y

= −c

a

x

+ b

y

= −c

. Przypadek 2. Je»eli wyznacznik

a

b

a

b

= 0 dokonujemy podstawienia:

z(x) = a

x + b

y. (6)

d) Uogólnione równanie jednorodne.

Je»eli wprowadzenie nowej zmiennej:

y(x) = z

(x)

sprowadza rozpatrywane równanie do równania jednorodnego to nazywamy je uogólnionym równaniem jednorod- nym. Równanie Bernulliego:

dy

dx + p(x)y = f (x)y

, (7)

poprzez podstawienie

y

(x) = z(x) (8)

zostaje sprowadzone do równania liniowego.

1

dr Krzysztof ›yjewski Równania ró»niczkowe I, 2014/2015; 4 maja 2015

Równanie ró»niczkowe zupeªne:

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (9)

o ile speªniony jest warunk konieczny i dostateczny

∂P

∂y = ∂Q

∂x . (10)

czynnik caªkuj¡cy µ(x, y):

a) je»eli

jest funkcj¡ zale»n¡ tylko od zmiennej x, to µ(x, y) = µ(x) b) je»eli Je»eli

jest funkcj¡ zale»n¡ tylko od zmiennej y, to µ(x, y) = µ(y) c) je»eli

jest funkcj¡ iloczynu xy, to µ(x, y) = µ(u) gdzie u = xy.

Równanie rz¦du pierwszego nierozwi¡zywalne wzgl¦dem pochodnych a) równanie typu y = f(x, y

)

Je»eli równanie nierozwi¡zywalne wzgl¦dem pochodnej mo»na przeksztaªci¢ do postaci

y = f (x, y

) (11)

tzn. równania rozwi¡zywalnego wzgl¦dem szukanej funkcji wówczas wprowadzamy parametru p :

p = y

tzn. p = dy

dx ⇒ dy = p dx.

b) równanie typu y = f(y, y

)

Natomiast je»eli równanie nierozwi¡zywalne wzgl¦dem pochodnej mo»na przeksztaªci¢ do postaci

x = f (y, y

) (12)

tzn. równania rozwi¡zywalnego wzgl¦dem zmiennej niezale»nej to równie» wprowadzamy parametr p :

p = y

tzn. p = dy

dx ⇒ dx = 1 p dy.

c) równanie Lagrange'a

Równaniem Lagrange'a nazywamy równanie postaci

y = f (y

)x + g(y

), (13)

gdzie funkcje f i g s¡ klasy C

w pewnym przedziale oraz f(y

) 6≡ y

. W celu rozwi¡zania równania (13) równie» wprowadzamy parametr p :

y

= p ⇒ dy = pdx. (14)

d) równanie Clairaunta

Je»eli w równaniu Lagrange'a y

= f (y

) wówczas otrzymujemy równanie postaci

y = y

x + g(y

), (15)

jest to tzw. równanie Clairaunta.

Równanie ró»niczkowe rz¦dów wy»szych sprowadzalne do równa« rz¦dów ni»szych.

a) równanie postaci F (x, y

, y

, . . . , y

) = 0

Jest to równanie nie zawieraj¡ce szukanej funkcji oraz oraz jej kolejnych pierwszych pochodnych. W równaniu tym 1 ≤ k ≤ n oraz pochodna rz¦du k faktycznie wyst¦puje w równaniu.

W celu rozwi¡zania tego równania kªadziemy y

(x) = z(x), dalej y

(x) = z

(x), y

(x) = z

(x), itd.

b) równanie postaci F (y, y

, y

, . . . , y

) = 0

Jest to równanie nie zawieraj¡ce zmiennej niezale»nej x.

W celu rozwi¡zania tego równania kªadziemy y

= p(y) dalej y

= pp

, y

= p

p

+ p

p.

2

dr Krzysztof ›yjewski Równania ró»niczkowe I, 2014/2015; 4 maja 2015

c) równanie jednorodne wzgl¦dem funkcji i pochodnych Jest to równanie postaci

F (x, y, y

, y

, y

, . . . , y

) = 0, (16) gdzie funkcja F jest jednorodna wzgl¦dem y, y

, . . . , y

to znaczy, »e

F (x, ky, ky

, ky

, . . . , ky

) = k

F (x, y, y

, , y

. . . , y

), (17) gdzie k ∈ R \ {0}, a m to stopie« jednorodno±ci tej funkcji. Równanie to rozwi¡zujemy poprzez poªo»enie y

(x) = y(x)z(x).

Liniowe równania ró»niczkowe n−tego rz¦du o staªych wspóªczynnikach a) Rozwi¡zanie równania jednorodnego:

a

y

(x) + a

y

(x) + a

y

(x) + . . . + a

y

(x) + a

y(x) = 0. (18) Stosujemy twierdzenia:

Twierdzenie 1. Niech wszystkie pierwiastki λ

, λ

, . . . , λ

równania charakterystycznego s¡ ró»ne tj. λ

6= λ

dla ka»dego i 6= m, 1 ≤ i, m ≤ n. Wtedy dowolne rozwi¡zanie równania jednorodnego (18) ma posta¢:

y

(x) =

n

X

k=1

C

e

, (19)

gdzie C

, . . . , C

= const. Ponadto dowolna funkcja postaci (19) jest rozwi¡zaniem równania (18).

Twierdzenie 2. Niech λ

, λ

, . . . λ

b¦d¡ ró»nymi pierwiastkami równania charakterystycznego krotno±ci odpowied- nio k

, k

, . . . , k

, gdzie k

, k

, . . . , k

< n oraz k

+ k

+ . . . + k

= n. Wówczas dowolne rozwi¡zanie równania jednorodnego (18) ma posta¢:

y

(x) =

s

X

j=1

P

(x)e

, (20)

gdzie P

(x) jest wielomianem stopnia (k

− 1 ). Ponadto dowolna funkcja postaci (20) jest rozwi¡zaniem równania (18).

b) Rozwi¡zanie równania niejednorodnego (metoda przewidywa«):

y

(x) + a

y

(x) + a

y

(x) + . . . + a

y

(x) + a

y(x) = P

(x)e

. (21) Aby znale¹¢ (CSRN) e y(x) b¦dziemy stosowa¢ metod¦ przewidywa« opisan¡ w nast¦puj¡cych dwóch twierdzeniach:

Twierdzenie 3. (przypadek nierezonansowy)

Je»eli µ nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego tzn. µ 6∈ {λ

, λ

, . . . , λ

} , to (CSRN) równania (21) jest postaci:

y(x) = Q e

(x)e

. Twierdzenie 4. (przypadek rezonansowy)

Je»eli µ jest pierwiastkiem krotno±ci k (k ≤ n) równania charakterystycznego, to (CSRN) równania (21) jest postaci:

y(x) = x e

Q

(x)e

.

W powy»szych dwóch twierdzeniach Q

(x) oznacza wielomian stopnia m o nieoznaczonych wspóªczynnikach.

Równanie Eulera:

a

(ax + b)

y

(x) + a

(ax + b)

y

(x) + . . . + a

(ax + b)y

(x) + a

y(x) = f (x), (22) Podstawienie:

t = ln(ax + b) lub ax + b = e

. Wówczas

y

= a

ax + b y; ˙ y

=

 a

ax + b



(¨ y− ˙ y); y

=

 a

ax + b



( ...

y −3¨ y+2 ˙ y); y

=

 a

ax + b



(

y −6 ...

y +11¨ y−6 ˙ y).

3