WYKŁAD VI 6. Równanie falowe
Niech D będzie otwartym podzbiorem Rn, t 0. Niech u : D × [0, ∞) → R będzie funkcją ciągłą na zbiorze D × [0, ∞) oraz klasy C2 na D × (0, ∞).
Równanie różniczkowe cząstkowe, liniowe, rzędu II postaci (1) utt(x, t) − c2∆x(x, t)u = g(x, t), x ∈ D, t > 0, c 6= 0 nazywamy równaniem falowym, gdzie
• u(x, t)–określa wychylenie ”fali” z punktu równowagi;
• g(x, t)–charakteryzuje siły zewnętrzne działające na falę.
Dla n = 1 równanie (1) opisuje drgania struny, dla n = 2 drgania membrany (błony bębenka), zaś dla n = 3 fale elektromagnetyczne ( a także akustyczne).
6.1. Równanie drgań swobodnych struny nieskończonej.
Rozważmy równanie drgań swobodnych (tzn. g ≡ 0) struny nieskończo- nej (tj. x ∈ R). Załóżmy, że kształt struny w chwili początkowej (t = 0) określa funkcja φ(x), x ∈ R, zaś prędkości początkowe punktów struny funkcja ψ, x ∈ R.
Rozważamy zatem równanie postaci
(2) ∂2u
∂t2(x, t) − c2∂2u
∂x2(x, t) = 0 x ∈ R, t > 0 wraz z waruknami
u(x, 0) = φ(x), x ∈ R
∂u
∂t(x, 0) = ψ(x), x ∈ R.
(3)
Warunki (3) nazywamy warunkami początkowymi. Zagadnienie polegające na znalezieniu rozwiązania równania ∂∂t2u2(x, t) − c2 ∂∂x2u2(x, t) = g(x, t)wraz z warun- kami (3) nazywamy zagadnieniem początkowym albo zagadnieniem Cauchy’ego dla równania struny drgającej.
Twierdzenie 6.1. Niech φ ∈ C2(R), ψ ∈ C1(R). Wówczas zagadnienie Cau- chy’ego dla równania (2) wraz z warunkami (3) posiada dokładnie jedno roz- wiązanie u ∈ C2(R × (0, ∞) dane wzorem
(4) u(x, t) = 1
2φ(x − ct) + 1
2φ(x + ct) + 1 2c
Z x+ct x−ct
ψ(z)dz.
1
2
Dowód. Zauważmy, że równanie (2) jest równaniem różniczkowym cząstkowym liniowym rzędu II w R2. Stąd równanie to możemy sprowadzić do postaci ka- nonicznej (pierwszej). W tym celu rozważmy równanie charakterystyczne rów- nania (2):
(5) dx
dt
!2
− 0dx
dt − c2 = 0.
Wówczas ∆(x, y) = 4c2 > 0czyli rówanaie jest hiperboliczne w całej dziedzinie.
Co więcej, otrzymujemy następujące równania różniczkowe zwyczajne
(6) dx
dt = c lub dx
dt = −c.
Zatem charakterystykami równania (2) są x − ct = const x + ct = const.
Wprowadzając więc zmienne
ξ(x, y) = x − ct η(x, y) = x + ct, oraz oznaczając
u(x, y) = v(ξ, η) równanie (2) przyjmuje postać
∂2v
∂ξ∂η = 0.
W konsekwencji funkcja
u(x, t) = F (x − ct) + G(x + ct), F, G ∈ C2(R)
jest rozwiązaniem rówania (2). Pozostaje wskazać funkcje F i G tak aby speł- nione były warunki początkowe. Z równości (3) otrzymujemy
u(x, 0) = F (x − ct) + G(x + ct) = ψ(x)
∂u
∂t = −cF0(x) + cG0(x) = ψ(x).
Zatem
cF0(x) + cG0(x) = cψ0(x).
Stąd
2cG0(x) = cψ0(x) + ψ(x).
W konsekwencji
G(x) = 1
2ψ(x) + 1 2c
Z x x0
ψ(z)dz + C C ∈ R
3
oraz
F (x) = 1
2ψ(x) − 1 2c
Z x x0
ψ(z)dz − C.
Reasumując
u(x, t) = 1
2φ(x − ct) + 1
2φ(x + ct) + 1 2c
Z x+ct x−ct
ψ(z)dz.
Uwaga 6.2. Wzór (4) nazywamy wzorem d’Alemberta. Matodę rozwiązania rów- nania zastosowaną w dowodzie powyższego twierdzenia nazywamy matodą charakterystyk.
6.2. Równanie drgań wymuszonych struny nieskończonej.
Załóżmy, że struna jest nieskończona (x ∈ R) oraz działają na nią siły ze- wnętrzne, które charakteryzuje funkcja g(x, t), dla x ∈ R, t 0. Oznacza to, że funkcja u spełnia równanie różniczkowe postaci
(7) ∂2u
∂t2(x, t) − c2∂2u
∂x2(x, t) = g(x, t) x ∈ R, t > 0.
Niech dodatkowo dane będą waruki początkowe (3). Wówczas
Twierdzenie 6.3. Niech φ ∈ C2(R), ψ ∈ C1(R), g ∈ C1(R × (0, ∞)). Wówczas zagadnienie Cauchy’ego dla równania (7) wraz z warunkami (3) ma dokładnie jedno rozwiązanie u ∈ C2(R × (0, ∞) dane wzorem
(8)
u(x, t) = 1
2φ(x − ct) +1
2φ(x + ct) + 1 2c
Z x+ct x−ct
ψ(z)dz + 1 2c
Z t 0
Z x+c(t−τ ) x−c(t−τ )
g(z, τ )dzdτ Dowód. Zauważmy najpierw, że jeżeli u1 jest rozwiązaniem równania jedno- rodnego (2) przy warunkach (3), zaś u2 jest rozwiązaniem równania niejedno- rodnego (7) przy warunkach
u(x, 0) = 0, x ∈ R
∂u
∂t(x, 0) = 0, x ∈ R (9)
to funkcja u = u1 + u2 jest rozwiązaniem problemu Cauchy’ego dla równania (7) wraz z warunkami (3). Istotnie,
∂2u
∂t2 −c2∂2u
∂x2 = ∂2(u1+ u2)
∂t2 −c2∂2(u1+ u2)
∂x2 = ∂2u1
∂t2 −c2∂2u1
∂x2 +∂2u2
∂t2 −c2∂2u2
∂x2 = g oraz
u(x, 0) = u1(x, 0) + u2(x, 0) = ψ(x)
∂u
∂t(x, 0) = ∂u1
∂t (x, 0) + ∂u2
∂t (x, 0) = ψ(x), x ∈ R.
4
Odwrotnie, każde rozwiązanie u zagadnienia Cauchy’ego dla równania (7) wraz z warunkami (3) jest postaci u1 + u2, wystarczy bowiem przyjąc u1 ja- ko rozwiązanie dane wzorem d’Alembarta (4), zaś u2 = u − u1.
Wobec powyższego wystarczy znaleźć rozwiązanie u2 równania równania (7) przy warunkach (9).
Niech τ 0. Rozważmy dodatkowe warunki początkowe postaci u(x, 0) = 0
∂u
∂t(x, 0) = g(x, τ ), x ∈ R.
(10)
Niech ˆubędzie rozwiązaniem równania (2) przy warunkach (10). Wówczas funk- cja
ωτ(x, t) = ˆu(x, t − τ ) jest rozwiązaniem rówanania (2) przy warunkach
ωτ(x, τ ) = 0
∂ωτ
∂t (x, τ ) = g(x, τ ), x ∈ R.
Zatem z twierdzenia (6.1)
ωτ(x, t) = ˆu(x, t − τ ) = 1 2c
Z x+c(t−τ ) x−c(t−τ )
g(x, τ )dz.
Niech
u2(x, t) =
Z t 0
ωτ(x, t)dτ.
Wówczas
∂u2
∂x =
Z t 0
∂ωτ
∂x (x, t)dτ ∂2u2
∂x2 =
Z t 0
∂2ωτ
∂x2 (x, t)dτ
oraz ∂u2
∂t = ωt(x, t) +
Z t 0
∂ωτ
∂t (x, t)dτ,
∂2u2
∂t2 = ∂ωt
∂t (x, t) + ∂ωτ
∂τ (x, t)|τ =t+ ∂ωt
∂t (x, t)
Z t 0
∂2ωτ
∂t2 (x, t)dτ.
Stąd
∂2u2
∂t2 (x, t)−c2∂2u2
∂x2 (x, t) = 2∂ωt
∂t (x, t)+∂ωτ
∂τ (x, t)|τ =t+
Z t 0
∂2ωτ
∂t2 (x, t)−c2∂2ωτ
∂x2 (x, t)dτ.
Ponadto
∂ωt
∂t (x, t) = g(x, t) ∂ωτ
∂τ (x, t)|τ =t= ∂ ˆu
∂t(x, t − τ ) · (−1) = −g(x, t) W konsekwencji ∂∂t2u22(x, t) − c2 ∂∂x2u22(x, t) = g(x, t) oraz spełnione są warunki
(9).
