Rozważamy zatem równanie postaci (1) ∂2u ∂t2(x, t

7. Równanie drgań struny skończonej Metoda Fouriera

7.1. Równanie drgań swobodnych struny skończonej.

Rozważmy równanie drgań swobodnych struny długości l (tj. x ∈ [0, l]), trwa- le zamocowanej na końcach w punktach x = 0, x = l osi OX. Załóżmy, że kształt struny w chwili początkowej określa funkcja φ(x), zaś prędkości po- czątkowe punktów struny funkcja ψ. Rozważamy zatem równanie postaci

(1) ∂²u

∂t²(x, t) − c²∂²u

∂x²(x, t) = 0 x ∈ x ∈ (0, l), t > 0 wraz z waruknami początkowymi

u(x, 0) = φ(x), x ∈ [0, l]

∂u

∂t(x, 0) = ψ(x), x ∈ [0, l].

(2)

Ponadto niewiadoma funkcja u spełnia równości

(3) u(0, t) = u(l, t) = 0, t ­ 0.

Warunki określające stan krańców struny w czasie drgań nazywamy warun- kami brzegowymi. Ogólnie, warunki te mają postać

u(0, t) = α(t), t ­ 0 u(l, t) = β(t), t ­ 0.

(4)

Zauważmy, że aby rozważany problem został poprawnie postawiony niezbędne jest aby

(5) φ(0) = φ(l) = 0 oraz ψ(0) = ψ(l) = (0),

W ogólnym przypadku natomiast konieczne jest spełnianie warunków φ(0) = α(0), ψ(0) = α⁰(0)

φ(l) = β(l), ψ(l) = β⁰(l).

(6)

Warunki (6) nazywamy warunkami zgodności.

Reasumując rozważamy równanie (1) wraz z warunkami początkowymi (2) oraz warunkami brzegowymi (3). Ponadto zakładamy, że spełnione są warunki zgodności (5). W celu rozwiązania powyższego problemu zastosujemy metodę rozdzielania zmiennych Fouriera.

Zauważmy, że funkcja u ≡ 0 jest rozwiązaniem równania (1) przy warunkach (2) i (3) wtedy i tylko wtedy gdy struna nie drga. Załóżmy zatem, że u 6≡ 0.

1

Załóżmy, że istnieje rozwiązanie równania (1) przy warunkach (2), (3) i jest ono postaci

(7) u(x, t) = X(x) · T (t),

gdzie X jest funkcja klasy C² w pewnym obszarze zawierającym przedział [0, l]

zaś T funkcją klasy C² w na zbiorze zawierającym półprostą t ­ 0. Wówczas u(0, t) = X(0) · T (t)

u(l, t) = X(l) · T (t), stąd

X(0) = 0 oraz X(l) = 0.

(8) Ponadto

∂²u

∂t²(x, t) = X(x) · T^”(t) ∂²u

∂x²(x, t) = X^”(x) · T (t).

Wstawiając do równania (1) mamy X(x) · T^”(t) = c²X^”(x) · T (t), czyli T^”(t)

c²T (t) = X^”(x) X(x),

dla T (t) 6= 0, X(x) 6= 0. Co więcej dla dowolnych par (x1, t₀), (x2, t₀) takich, że X(x1) 6= 0, X(x2) 6= 0, T (t0) 6= 0 mamy _c^T2^”T (t^(t00⁾) = ^X_X(x^”(x1)

1) = ^X_X(x^”(x2)

2). Zatem dla x ∈ [0, l] funkcja ^X_X^” jest stała a więc również funkcja ^T_T^” jest funkcją stałą dla t ­ 0. Niech więc

(9) X^”

X = T^”

c²T = k k ∈ R.

Zauważmy, że gdyby k = 0 to z (9) X^” ≡ 0 oraz T^” ≡ 0 więc X(x) = C1x + C2

T (t) = C₃+ C₄,

dla C1, C₂, C₃, C₄ ∈ R. Stąd i z warunków (8) otrzymalibyśmy, że X ≡ 0 oraz T ≡ 0 czyli k 6= 0.

Gdyby k > 0 to kładąc k = p², p 6= 0 uzyskalibyśmy, że X^”(x) − p²X(x) = 0

T^”(t) − c²p²T (t) = 0.

Stąd rozwiązując powyższe równania zwyczajne (liniowe jednorodne rzędu II o stałych współczynnikach) mielibyśmy

X(x) = C₁e^−px+ C₂e^px T (t) = C₃e^−cpt+ C₄e^cpt,

C₁, C₂, C₃, C₄ ∈ R. Z kolei stąd i z (8) otrzymalibyśmy, że X ≡ 0 oraz T ≡ 0.

Ostatecznie k < 0.

Niech k = −λ². Ustalmy λ > 0. Wówczas analogicznie jak poprzednio z (9) X^”(x) + λ²X(x) = 0

T^”(t) + c²λ²T (t) = 0.

Zatem

X(x) = e^0·x(C₁cos(λx) + C₂sin(λx)) T (t) = e^0·t(C3cos(cλt) + C4sin(cλt)), C1, C2, C3, C4 ∈ R. Ponadto z (8)

X(0) = C₁ = 0 oraz X(l) = C₂sin(λl)) = 0, więc

sin(λl) = 0.

Niech λn = ^nπ_l , n ∈ N. Liczby λn nazywamy wartościami własnymi rozważa- nego zagadnienia brzegowego. Oznaczmy przez

X_n(x) = C₂⁽ⁿ⁾sin(nπ l x).

Podstawiając do (7) otrzymujemy u_n(x, t) = C₂⁽ⁿ⁾sin(nπ

l x)



C₃⁽ⁿ⁾cos(cnπ

l t) + C₄⁽ⁿ⁾sin(cnπ l t)



. Oznaczając C₂⁽ⁿ⁾C₃⁽ⁿ⁾= An, C₂⁽ⁿ⁾C₄⁽ⁿ⁾ = Bn mamy

u_n(x, t) = sin(nπ l x)



A_ncos(cnπ

l t) + B_nsin(cnπ l t)



. Zatem jeżeli szereg ^P∞_n=1un(x, t)jest jednostajnie zbieżny to funkcja

u(x, t) =

∞

X

n=1

u_n(x, t) spełnia równanie (1).

Ponadto (zakładając, że szereg ^P∞_n=1u_n(x, t) jest jednostajnie zbieżny), z warunków początkowych, otrzymujemy, że

(10) u(x, 0) =

∞

X

n=1

A_nsin(nπ

l x) = φ(x),

dla x ∈ [0, l]. Zauważmy, że jeżeli φ jest klasy C¹(0, l), φ(0) = φ(l) to funkcję tę możemy rozszerzyć nieparzyście w sposób okresowy na R. Wówczas wzór (10) określa rozwinięcie funkcji φ w szereg Fouriera na przedziale [0, l], gdzie

An = 2 l

Z l 0

φ(x) sin(nπ l x)dx.

Ponadto, analogicznie jak poprzednio,

(11) ψ(x) = ∂u

∂t(x, 0) =

∞

X

n=1

cnπ

l B_nsin(nπ

l x) = φ(x),

gdzie

cnπ

l B_n= 2 l

Z l 0

ψ(x) sin(nπ l x)dx.

Reasumując

Twierdzenie 7.1. Niech φ, ψ będą funkcjami klasy C¹ na zbiorze (0,l) takimi, że φ(0) = φ(l) = 0 oraz ψ(0) = ψ(l) = 0. Załóżmy, że szereg funkcyjny

∞

X

n=1

u_n(x, t) =

∞

X

n=1

sin(nπ l x)



A_ncos(cnπ

l t) + B_nsin(cnπ l t)



jest jednostajnie zbieżny oraz jednostajnie zbieżne są szeregi jego pochodnych cząstkowych rzędu I i II. Wówczas funkcja

u(x, t) =

∞

X

n=1

u_n(x, t)

jest rozwiązaniem równania (1) przy warunkach początkowych (2) i brzegowych (3), gdzie

An = 2 l

Z l 0

φ(x) sin(nπ l x)dx, zaś

B_n= 2 cnπ

Z l 0

ψ(x) sin(nπ l x)dx.

Korzystając z Kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej szeregu funk- cyjnego można pokazać następujący fakt:

Wniosek 7.2. Niech φ będzie funkcją klasy C⁴ na zbiorze (0,l) taką, że φ(0) = φ(l) = φ^”(0) = φ^”(l) = 0, ψ funkcją klasy C³(0, l), ψ(0) = ψ(l) = ψ^”(0) = ψ^”(l) = 0. Wówczas funkcja

u(x, t) =

∞

X

n=1

un(x, t)

jest rozwiązaniem równania (1) przy warunkach początkowych (2) i brzego- wych (3).

7.2. Równanie drgań wymuszonych struny skończonej.

Rozważmy równanie drgań wymuszonych struny długości l, trwale zamoco- wanej na końcach w punktach x = 0, x = l osi OX tj. równanie postaci

(12) ∂²u

∂t²(x, t) − c²∂²u

∂x²(x, t) = g(x, t) x ∈ x ∈ (0, l), t > 0

wraz z waruknami początkowymi (2) oraz warunkami brzegowymi (3). Załóżmy, że spełnine są warunki zgodności warunkami zgodności (5).

Analogicznie jak w przypadku równania drgań struny nieskończonej roz- wiązania u równania (12) przy warunkach (2), (3) będziemy szukać w postaci

u = u₁ + u₂, gdzie u1 jest rozwiązaniem równania jednorodnego (1) przy wa- runkach początkowych (2) i brzegowych (3), zaś u2 jest rozwiązaniem równania niejednorodnego (12) przy jednorodnych warunkach początkowych tzn.

(13) u(x, 0) = 0, ∂u

∂t(x, 0) = 0, x ∈ [0, l]

i warunkach brzegowych (3).

Wobec rozważań poprzedniego paragrafu wystarczy znaleźć funkcję u2. Za- łóżmy w tym celu, że funkcja g(·, t) jest funkcją klasy C¹ na przedziale (0, l), taką, że g(0, t) = g(l, t) = 0. Wówczas funkcję tę możemy w sposób nieparzy- sty rozszerzyć na przedział [−l.l] a zatem rozwinąć (względem x) w szereg Fouriera postaci

(14) g(x, t) =

∞

X

n=1

g_n(t) sin(nπ l x), gdzie

g_n(t) = 2 l

Z l 0

g(x, t) sin(nπ l x)dx.

Zauważmy, że równość (14) sugeruje aby rozwiązania u2 poszukiwać w postaci

(15) u2(x, t) =

∞

X

n=1

Tn(t) sin(nπ l x), gdzie Tn są niewiadomymi funkcjami.

Załóżmy zatem, że szereg (15) jest jednostajnie zbieżny oraz zbieżne jedno- stajnie są szeregi jego pochodnych cząstkowych rzędu I i II. Wówczas

∂²u₂

∂t² (x, t) =

∞

X

n=1

T_n^”(t) sin(nπ

l x) ∂²u₂

∂x² (x, t) = −

∞

X

n=1

nπ l

2

Tn(t) sin(nπ l x).

Wstawiając do równania (12) otrzymujemy

T_n^”(t) +

cnπ l

2

T_n(t) = g(x, t).

Uzyskaliśmy więc równanie różniczkowe zwyczajne liniowe rzędu II niejedno- rodne. Rozważmy najpierw równanie jednorodne

T_n^”+

cnπ l

2

T_n = 0

Wówczas rozwiązanie powyższego równania jest postaci T_n⁰ = C₁cos(cnπ

l t) + C₂sin(cnπ l t) Następnie stosując metodę uzmiennienia stałej otrzymujemy

T_n^s = C₁(t) cos(cnπ

l t) + C₂(t) sin(cnπ l t).

Stąd

( C₁⁰(t) cos(^cnπ_l t) + C₂⁰(t) sin(^cnπ_l t) = 0

C₁⁰(t)^− sin(^cnπ_l t)^cnπ_l + C₂⁰(t) cos(^cnπ_l t)^cnπ_l = gn(t).

Uzyskaliśmy więc układ Cramera, gdzie

cos(^cnπ_l t) sin(^cnπ_l t) = 0

−^cnπ_l sin(^cnπ_l t) ^cnπ_l cos(^cnπ_l t)

= ^cnπ_l . Stąd

C₁⁰ = − l

cnπgn(t) sin(cnπ l t) czyli

C₁ = − l cnπ

Z t 0

g_n(s) sin(cnπ l s)ds.

Analogicznie

C₂ = l cnπ

Z t 0

g_n(s) cos(cnπ l s)ds.

Reasumując

T_n(t) = T_n⁰(t) + T_n^s(t)

= C1cos(cnπ

l t) + C2sin(cnπ l t)+

− l cnπ

Z t 0



g_n(s) sin(cnπ

l s) cos(cnπ l t)



ds+

+ l cnπ

Z t 0



g_n(s) cos(cnπ

l s) sin(cnπ l t)



ds =

= C₁cos(cnπ

l t) + C₂sin(cnπ l t)+

+ l cnπ

Z t 0



gn(s) sin

cnπ

l (t − s)



ds.

Ponieważ u2(x, 0) = 0 oraz ^∂u_t²(x, 0) = 0 więc Tn(0) = 0 oraz T_n⁰(0) = 0. Wobec tego C1 = C2 = 0. Ostatecznie

(16) T_n(t) = l

cnπ

Z t 0



g_n(s) sin

cnπ

l (t − s)



ds.

Pokazaliśmy zatem

Twierdzenie 7.3. Niech φ, ψ będą funkcjami klasy C¹ na zbiorze (0,l) takimi, że φ(0) = φ(l) = 0 oraz ψ(0) = ψ(l) = 0. Jeżeli, funkcja g(·, t) rowija się w jed- nostajnie zbieżny szereg Fouriera postaci (14), szeregi funkcyjne^P∞_n=1u_n(x, t),

P∞

n=1T_n(t) sin(^nπ_l x) są jednostajnie zbieżne oraz jednostajnie zbieżne są sze- regi ich pochodnych cząstkowych rzędu I i II. Wówczas funkcja

u(x, t) =

∞

X

n=1

u_n(x, t) +

∞

X

n=1

T_n(t) sin(nπ l x)

jest rozwiązaniem równania (12) przy warunkach początkowych (2) i brzego- wych (3), gdzie

u_n(x, t) = sin(nπ l x)



A_ncos(cnπ

l t) + B_nsin(cnπ l t)



. T_n(t) = l

cnπ

Z t 0



g_n(s) sin

cnπ

l (t − s)



ds.

zaś

An = 2 l

Z l 0

φ(x) sin(nπ l x)dx, B_n= 2

cnπ

Z l 0

ψ(x) sin(nπ l x)dx, g_n(t) = 2

l

Z l 0

g(x, t) sin(nπ l x)dx.

Wniosek

Wniosek 7.4. Niech φ będzie funkcją klasy C⁴ na zbiorze (0,l) taką, że φ(0) = φ(l) = φ^”(0) = φ^”(l) = 0, ψ funkcją klasy C³(0, l), ψ(0) = ψ(l) = ψ^”(0) = ψ^”(l) = 0. Załóżmy, że, funkcja g(·, t) rowija się w jednostajnie zbieżny szereg Fourie- ra postaci (14) oraz, że szereg funkcyjny ^P∞_n=1T_n(t) sin(^nπ_l x) jest jednostajnie zbieżny oraz jednostajnie zbieżne są szeregi jego pochodnych cząstkowych rzędu I i II. Wówczas funkcja

u(x, t) =

∞

X

n=1

u_n(x, t) +

∞

X

n=1

T_n(t) sin(nπ l x)

jest rozwiązaniem równania (12) przy warunkach początkowych (2) i brzego- wych (3).

7.3. Równanie drgań wymuszonych struny skończonej (zagadnienie ogólne).

Rozważmy równanie (12) drgań wymuszonych struny długości l tj. równanie postaci

∂²u

∂t²(x, t) − c²∂²u

∂x²(x, t) = g(x, t) x ∈ x ∈ (0, l), t > 0

wraz z waruknami początkowymi (2) oraz warunkami brzegowymi (4). Załóżmy, że spełnine są warunki zgodności (6) Wówczas przyjmując

w(x, t) = α(t) + [β(t) − α(t)]x l otrzymujemy

w(0, t) = α(t) w(l, t) = β(t).

Zatem rozwiązania u równania (12) przy warunkach (2), (4) możemy szukać w postaci

u(x, t) = w(x, t) + v(x, t),

gdzie v jest rozwiązaniem równania

∂²v

∂t²(x, t) − c²∂²v

∂x²(x, t) = g(x, t) − ∂²w

∂t² (x, t),

przy jednorodnych warunkach brzegowych (3) oraz warunkach początkowych v(x, 0) = φ(x) −



α(0) + (β(0) − α(0))x l



∂u

∂t(x, 0) = ψ(x) −



α⁰(0) +^β⁰(0) − α⁰(0)^x l



, dla x ∈ [0, l].