RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

(1)

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

WYKŁAD 10

(2)

Definicja szeregu funkcyjnego jest podobna do definicji szeregu liczbowego.

Różnica polega na tym, że wyrazami szeregu są nie liczby, lecz funkcje

.

Niech ( f

_n

) będzie ciągiem funkcyjnym określonym na zbiorze X 

 R.

 Definicja

Szeregiem funkcyjnym nazywamy ciąg sum częściowych

( S

_n

)

utworzonych z wyrazów ciągu

( f

_n

)

tzn. ciąg o wyrazach

















k

n n k

k

f f f f f

S

f f

f S

f f S

f S

1 3

2 1

3 2

1 3

2 1 2

1 1

...

Oznaczamy go

Szeregi funkcyjne

(3)

 Definicja

Szereg funkcyjny jest zbieżny punktowo do funkcji

S(x)

na zbiorze

X,

jeżeli ciąg jego sum częściowych jest zbieżny punktowo do funkcji

S(x)

na tym zbiorze.

Funkcję

S(x)

nazywamy sumą szeregu i oznaczamy tym samym symbolem co szereg.

Zbiór

X

nazywamy obszarem zbieżności szeregu funkcyjnego.

(obszar zbieżności to zbiór tych argumentów x₀, dla których szereg liczbowy



^

 

1

0 n

n x

f jest zbieżny).

 Definicja

Szeregfunkcyjny



^

 

1 n

n x

f jest zbieżny bezwzględnie na zbiorze

X,

jeżeli szereg |

 

|



^1

 n

n x

f jest zbieżny na tym zbiorze.

Szeregi funkcyjne

(4)

 Definicja

Szeregfunkcyjny jest zbieżny jednostajnie do funkcji

S(x)

na zbiorze

X,

jeżeli ciąg jego sum częściowych jest zbieżny jednostajnie do funkcji

S(x)

na tym zbiorze.

Uwaga

Ze zbieżności jednostajnej wynika zbieżność punktowa szeregu.

 Twierdzenie (Weierstrassa)

Jeżeli

^f

_n

  ^x  ^a

_ndla każdego

n  n

₀i

x  X

^orazszereg liczbowy



^

1 n

a

n

jest zbieżny, to szereg funkcyjny



^

 

1 n

n

x

f

jest jednostajnie i bezwzględnie zbieżny na zbiorze

X

^.

Karl Weierstrass (1815-1897)

Występujący w twierdzeniu szereg



^

^a

ⁿ nazywamy majorantą liczbową szeregu funkcyjnego

Szeregi funkcyjne

(5)

Przykład

Rozważmy szereg

  ^...

4 4 sin 3

3 sin 2

2 sin 1

sin

1 sin

₂ ₂ ₂ ₂ ₂

1















^





x x

n

nx

n

Ponieważ

 

2 2

1 sin

1 n n

n

nx

 

dla każdego

xR,

to badany szereg funkcyjny jest bezwzględnie i jednostajnie zbieżny na zbiorze liczb rzeczywistych.

Szeregi funkcyjne

(6)

 Twierdzenie

Jeżeli szereg funkcyjny



^

1 n

f

n

jest jednostajnie zbieżny na zbiorze

X

i funkcje

f

n są ciągłe na zbiorze

X

, to suma szeregu jest funkcją ciągłą na tym zbiorze.

Szeregi funkcyjne

(7)

 Twierdzenie (o różniczkowaniu szeregu funkcyjnego)

Jeżeli funkcje

f

_n są różniczkowalne w sposób ciągły na zbiorze

X

, szereg funkcyjny



^

1 n

f

n

jest zbieżny punktowo na zbiorze

X

, zaś szereg pochodnych

'



^1

 n

f

n jest zbieżny jednostajnie na zbiorze

X

, tosuma szeregu jest funkcjąróżniczkowalną na zbiorze

X

i zachodzi równość

' ,

1



^







 



 





n n n

n

f

(przy uczynionych założeniach szereg można różniczkować „wyraz po wyrazie”)

Szeregi funkcyjne

(8)

 Twierdzenie (o całkowaniu szeregu funkcyjnego) Jeżeli szereg funkcyjny



^

1 n

f

n

jest zbieżny jednostajnie na przedziale

[a, b]

i funkcje

f

_n^są

całkowalne na tym przedziale, tosuma szeregu jest funkcją całkowalną i zachodzi równość

 

 

^







 

 

 



 





1 1

) ( )

(

n b

a n b

a n

n

x dx f x dx

f

(przy uczynionych założeniach szereg można całkować „wyraz po wyrazie”).

Uwaga

Trzy ostatnie twierdzenia są konsekwencją własności granicznych ciągów funkcyjnych.

Szeregi funkcyjne

(9)

 Definicja

Szeregiem potęgowym o środku w punkcie

x

₀

 R

i współczynnikach

a

₀

, a

₁

, a

₂

, ... , a

_n

, ...

nazywamy szereg funkcyjny postaci

...

) (

...

) (

)

(

₀ ₁ ₀ ₂ ₀ ² ₁ ₀ ¹

0

        



_ ^





 ⁿ ⁿ

n

x x a a x x a x x a x x

a

(umowa: (

x - x

0

)

⁰

= 1

również dla

x = x

0

!)

Uwagi

 Każdy szereg potęgowy jest zbieżny w swoim środku.

 Wyrazy szeregu potęgowego są określone dla wszystkich liczb rzeczywistych, więc każda liczba rzeczywista jest jego punktem zbieżności, lub rozbieżności.

 Dla

x

₀

= 0

szereg ma postać



^

Szeregi potęgowe

(10)

 Twierdzenie (Cauchy’ego - Hadamarda)

Jeżeli szereg potęgowy jest zbieżny w pewnym punkcie

x

₁

≠ 0,

^to:

 jest zbieżny bezwzględnie w przedziale (

-| x

₁

|, |x

₁

|),

 jest zbieżny jednostajnie w każdym domkniętym podprzedziale tego przedziału.

 Definicja

Obszarem (przedziałem) zbieżności szeregu potęgowego nazywamy przedział wartości

x

dla których szereg jest zbieżny.

W przypadku szeregu

n n

n

x



^

a

0

obszarem zbieżności może być przedział

[-r, r],

lub

(-r, r),

lub

(-r, r],

lub

[-r, r),

lub zbiór liczb

0

|x

1

| x

- |x

1

|

Szeregi potęgowe

(11)

 Twierdzenie Jeżeli istnieje granica

a g a

n n

n ^ 





lim

1

to promień zbieżności szeregu potęgowego jest równy

























0 gdy

gdy 0

0 1 gdy

g g g g

r

 Twierdzenie Jeżeli istnieje granica

g a

n n

n 





| | lim

to promień zbieżności szeregu potęgowego jest równy

Szeregi potęgowe

(12)

Przykład

Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu potęgowego



^

0 n

x

n

Wyznaczamy

lim  lim 1  1









n n

n

a

_{, więc}promień zbieżności

r = 1

^.

Aby ustalić przedział zbieżności tego szeregu należy sprawdzić zbieżność szeregu na krańcach przedziału podstawiając

x = 1

oraz

x = -1

.

Dla

x = 1

dostajemy następujący szereg liczbowy , który jest szeregiem rozbieżnym.

Dla

x = 1

mamy również szereg jest rozbieżny . Zatem obszar zbieżności

K = (-1, 1).



^







0 0

1 1

n n

n



^





0

) 1 (

n

Szeregi potęgowe

(13)

Przykład



^

1

1

n

x

n

Wyznaczamy

1 1

1 lim lim

|

lim   











 n n

n n

n

a n n

, więcpromień zbieżności

r = 1.

Sprawdzamy zbieżność szeregu na krańcach przedziału.

Dla

x = 1

dostajemy szereg liczbowy harmoniczny

 

^







1 1

1 1 1

n n

n

, który jest szeregiem rozbieżnym.



^

¹ ⁽ ^ ¹ ⁾

ⁿ

^ 

^

⁽ ^ ¹ ⁾

ⁿ

¹

Szeregi potęgowe

(14)

Przykład



^

1 2

1

n

x

n

Wyznaczamy

1 1

1 lim lim

|

lim 

2



2













 n n

n n

n

a n n

_{, więc}promień zbieżności

r = 1.

Sprawdzamy zbieżność szeregu na krańcach przedziału.

Dla

x = 1

dostajemy zbieżny szereg liczbowy



^

1 2

1

n

^.

Dla

x = -1

otrzymujemy zbieżny szereg liczbowy



^





1

2

( 1 ) 1

n

^.

Obszar zbieżności

K = [-1, 1].

Szeregi potęgowe

(15)

Przykład



^

0

! 2

n

n n

n x

Wyznaczamy granicę

1 0 lim 2

2 )!

1 (

! lim 2

! 2

)!

1 (

2 lim lim

1 1

1



 



 























n n

n a

a

n n n

n n n n

Stądpromień zbieżności

r = .

Zatem obszarem zbieżności jest zbiór liczb rzeczywistych.

Szeregi potęgowe

(16)

Przykład



^

0

!

n

x

n

Wyznaczamy granicę







 



 







lim ( 1 )

! )!

1 lim (

lim

¹

n

n n a

a

n n n

n n

Stądpromień zbieżności

r = 0.

Obszarem zbieżności jest zbiór

{0}.

Szeregi potęgowe

(17)

Obszar zbieżności szeregu funkcyjnego



^

k n

n n

g x a [ ( )]

, znajdujemy przez wyznaczenie

przedziału zbieżności

K

szeregu potęgowego



^

0 n

n n

y

a

₍_gdzie

y = g(x))

^,a następnie wyznaczenie

x

z warunku

g(x) K

.

Przykład

Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu funkcyjnego



^







1

2

2 5 )

5 ( 1

n

x x

n

Po podstawieniu

y = x

²

– 2x +5

dostajemy szereg potęgowy



^

1

5 1

n

y

n

o zmiennej

y.

Promieniem zbieżności tego szeregu jest liczba

r = 5.

.Dla

y = 5

, dostajemy szereg rozbieżny, dla

y = – 5

szereg zbieżny, więc przedziałem

Szeregi potęgowe

(18)

Uwaga

Szeregi potęgowe można różniczkować i całkować wyraz po wyrazie wewnątrz obszaru zbieżności



^



 



 

 

 





1

0 n

n n n

n

x a nx

a

.

1

0 0

 

0





 





^ ^









  ^a ^t ^dt ^a _n ^x

ⁿ

n n x

n

n .

Promienie zbieżności szeregów wynikowych są takie same jak szeregu wyjściowego, natomiast obszary zmienności mogą różnić się na krańcach przedziałów.

Przykład

Szereg potęgowy



^

1 2

1

n

x

n

ma obszar zbieżności

K = [-1, 1].

Szereg utworzony z pochodnych wyrazów szeregu pierwotnego

Szeregi potęgowe

(19)



Definicja

Funkcja

y = f (x)

^jest^klasy

C

ⁿ^jeżeli ^jest

n

-krotnie różniczkowalna i jej

n

-ta pochodna jest funkcjąciągłą.



Definicja

Funkcja

y = f (x)

jestklasy

C

^

,

jeżeli jest klasy

C

ⁿ dla każdego

nN.



Twierdzenie

Jeżeli funkcja

y = f (x)

jest klasy

C

ⁿ w pewnym otoczeniu

U(x

₀

, h)

^punktu

x

₀, to dla każdego

x

z tego otoczenia zachodzi wzór Taylora

) ( ...

)

! ( 3

) ) (

! ( 2

) ( ) ''

! ( 1

) ( ) '

( )

(

⁰ ₀ ³

'' ' 2 0 0

0 0

0

f x x x R x

x x x

x f x x

x f f x

f         

_n _.

gdzie

n n

c

f

⁽ ⁾

( ) 



Szeregi potęgowe

(20)

 Definicja

Jeżeli funkcja

y = f (x)

jest klasy

C

^ w pewnym otoczeniu

U(x

0

, h)

^punktu

x

0, to szereg potęgowy

...

)

! ( 3

) ) (

! ( 2

) ( ) ''

! ( 1

) ( ) '

( )

! ( )

(

₃

0 0

'' ' 2 0 0

0 0

)

(

        



^



x x x

x f x x

x f f x

n x x f

n

n n

. nazywamy szeregiem Taylora tej funkcji o środku w punkcie

x

0

.

Jeżeli

x

0

= 0

to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina

.

Uwaga

Ze zbieżności szeregu nie wynika, że jego suma jest równa tej funkcji.

Np. dla funkcji



 





^



0 dla

0 0 ) dla

(

2

1

x x x e

f

^x

Szeregi potęgowe

(21)

 Twierdzenie

Jeżeli funkcja

y = f (x)

jest klasy

C

^ w pewnym otoczeniu

U(x

₀

, h)

punktu

x

₀, i dla każdego

x  U(x

₀

, h)

oznacza

n

-tą resztę we wzorze Taylora), to (gdzie

) , ( dla

)

! ( ) ) (

(

₀

0

0 0

) (

h x U x x

n x x x f

f

n

 

 

^

 .

Uwaga

jest spełniony jeśli wszystkie pochodne funkcji

f

są wspólnie Warunek

ograniczone tzn.

0 ) (

lim 





R

_n

x

n

n n

n

x x

n c x f

R ( )

! ) ) (

(

₀

)

(





0 ) (

lim 





R

_n

x

n

Szeregi liczbowe

(22)

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE