Działania na potęgach. Część II

(1)

Działania na potęgach. Część II

Zadania oparte na wykorzystaniu twierdzeń o potęgach. Zasób zawiera 7 zadań o średnim stopniu trudności, w tym ćwiczenia interaktywne. Wykorzystane w zadaniach także są wyrażenia algebraiczne. Zadania na obliczenia pamięciowe.

Zadania oparte na wykorzystaniu twierdzeń o potęgach. Zasób zawiera 8 zadań o zbliżonym stopniu trudności. Wykorzystane w zadaniach także są wyrażenia algebraiczne. Zadania na obliczenia pamięciowe.

Porównywanie wartości wyrażeń zwierających potęgi. Zadania oparte na wykorzystaniu twierdzeń o potęgach. Zasób zawiera 9 zadań o zwiększającej się trudności, w tym interaktywne. Wykorzystane w zadaniach także są wyrażenia algebraiczne. Zadania na obliczenia pamięciowe.

(2)

Działania na potęgach. Część II

Twierdzenie: Działania na potęgach

Iloczyn potęg o tych samych podstawach

Dla dowolnej liczby rzeczywistej i dowolnych liczb całkowitych i prawdziwa jest równość

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl Animacja

Iloraz potęg o tych samych podstawach

a ≠ 0 n m

a

ⁿ

∙ a

^m

= a

^n+m

.

a ≠ 0 n m

aⁿ

a^m

= a

^n−m

.

(3)

Potęga potęgi

a ≠ 0 n m

(a

ⁿ

)

^m

= a

^n∙m

.

(4)

Iloczyn potęg o tych samych wykładnikach

Dla dowolnych liczb rzeczywistych i i dowolnej liczby całkowitej prawdziwa jest równość

Iloraz potęg o tych samych wykładnikach

Dla dowolnych liczb rzeczywistych i i dowolnej liczby całkowitej prawdziwa jest równość

a ≠ 0 b ≠ 0 n

a

ⁿ

∙ b

ⁿ

= (a ∙ b)

ⁿ

.

a ≠ 0 b ≠ 0 n

aⁿ

bⁿ

= (

^a_b

)

ⁿ

.

(5)

Ćwiczenie 1

Oblicz w pamięci.

a.

b.

c.

d.

e.

2

⁻²

∙ (

¹₄

)

⁻²

3

⁻³

∙ (

¹₆

)

⁻³

(−4)

⁻¹

∙ (−

₁₆¹

)

⁻¹

(

¹₂

)

⁻²

∙ (−8)

⁻²

(−0,01)

⁻³

∙ (10)

⁻³

(6)

Ćwiczenie 2

Oblicz.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

(

¹₂

)

⁻⁴

∙ 2

⁻⁴

(

¹₃

)

⁻²

∙ 9

⁻²

1,5

⁻¹

∙ 2

⁻¹

(

²₅

)

⁻²

∙ 10

⁻²

(

³₄

)

⁻⁶

∙ (1

¹₃

)

⁻⁶

(1

²₃

)

⁻³

∙ (1

¹₅

)

⁻³

Połącz w pary.

9

⁻²

⋅ (−

¹₃

)

⁻² ¹₉

(−

¹₂

)

⁻³

⋅ 4

⁻³

1 −9

⁻²

⋅ (−

¹₃

)

⁻²

−

¹₈

(−2)

⁻³

⋅ (

¹₂

)

⁻³

−

¹₉

(

¹₄

)

⁻³

⋅ (−2)

⁻³

−1

2

⁻²

⋅ (

¹₂

)

⁻²

−8

(7)

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Uzupełnij podstawę potęgi.

a.

b.

c. (

d. (

e. (

f. (

g. (

h. (

Połącz w pary.

(2x)

⁻³

−

_8x¹3

(−2x)

⁻³

−

_4x¹4

−(2x

²

)

⁻² _x⁴⁴

(−2x

⁻²

)

² _4x¹²

(−2x)

⁻² _8x¹3

−(2x)

⁻²

−

_4x¹2

2

⁻²

∙ 3

⁻²

= …

²

2

⁻³

∙ (−5)

⁻³

= …

³

12

)

⁻⁴

∙ 8

⁻⁴

= …

⁴

2

¹₂

)

⁻³

∙ (−2)

⁻³

= …

³

−

³₂

)

⁻⁵

∙ (−

²₃

)

⁻⁵

= …

⁵

−0,01)

⁻²

∙ 10

⁻²

= …

²

12

)

⁻³

∙ 8

⁻³

∙ (

¹₂

)

⁻³

= …

³

0,75)

⁻²

∙ (1

¹₃

)

⁻²

∙ 2

⁻²

= …

²

(8)

Ćwiczenie 6

Oblicz w pamięci.

a.

b.

c.

d.

e.

Ćwiczenie 7

Oblicz.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

2

⁻³

: (−2)

⁻³

(−3)

⁻²

: (−3)

⁻²

(

¹₅

)

⁻¹

: 5

⁻¹

0,2

⁻⁵

: 0,4

⁻⁵

(−

¹₂

)

⁻²

: (−

¹₄

)

⁻²

2

⁻⁴

: 2

⁻⁴

(

¹₃

)

⁻³

: (

¹₉

)

⁻³

4,5

⁻²

: 1,5

⁻²

(

⁵₂

)

⁻²

: 10

⁻²

(

²₃

)

⁻¹

: (

⁵₆

)

⁻¹

(1

²₃

)

⁻³

: (

⁵₆

)

⁻³

(9)

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

Połącz w pary.

2

⁻²

: (

¹₂

)

⁻² ₁₆¹

9

⁻¹

: (−3)

⁻¹

−

¹₃

(−

¹₂

)

⁻³

: (

¹₄

)

⁻³

−1

(−2)

⁻³

: 2

⁻³ ¹₈

(

¹₂

)

⁻³

: (

¹₄

)

⁻³

−

₈₁¹

−3

⁻²

: (−

¹₃

)

⁻²

−

¹₈

Połącz w pary.

(−

_x²2

)

⁻² ^x₄⁴

(−

_x²

)

⁻² ^x₈³

(

_x²

)

⁻³

−

^x₄²

−(

_x²

)

⁻²

−

^x₄⁴

(−

_x²

)

⁻³ ^x₄²

−(

_x²2

)

⁻²

−

^x₈³

(10)

Ćwiczenie 10

Uzupełnij podstawę potęgi.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

Ćwiczenie 11

Uzupełnij brakującą podstawę potęgi.

a.

b.

c.

d.

20

⁻³

: 10

⁻³

= …

³

25

⁻²

: (−5)

⁻²

= …

²

(

¹₂

)

⁻⁴

: (

¹₄

)

⁻⁴

= …

⁴

(−

³₂

)

⁻⁵

: (−

³₂

)

⁻⁵

= …

⁵

(2

¹₂

)

⁻⁴

: (−

¹₂

)

⁻⁴

= …

⁴

(−0,01)

⁻³

: 0,1

⁻³

= …

³

(

¹₂

)

⁻³

∙ 8

⁻³

: (2)

⁻³

= …

³

(0,75)

⁻⁴

: (

³₄

)

⁻⁴

: 2

⁻⁴

= …

⁴

2

⁻³

∙ 4

⁻³

∙ …

¹⁸

= 8

³

3

⁻²

∙ …

²

: 9

⁻²

= 3

⁴

25

⁵

: …

⁵

: 5

⁻⁵

= 5

¹⁰

8

⁴

: 2

⁻⁴

: 4

⁴

: …

⁴

= 2

⁴

(11)

Ćwiczenie 12

Iloraz jest równy

Ćwiczenie 13

Wyrażenie jest równe

60

⁻¹⁵

: (−15)

⁻¹⁵

(−4)

¹⁵

(−4)

⁰

4

¹⁵

(−4)

⁻¹⁵

(3x

⁻³

y)

⁻²

x⁶ 9 y²

3x

⁶

y

⁻²

9x

⁶

y

⁻²

9y² x⁶



(12)

Ćwiczenie 14

Wyrażenie zapisane bez użycia nawiasów ma postać

Ćwiczenie 15

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Ćwiczenie 16

(

^9x_3xy²^y2

)

⁻⁴

y⁴ 3⁴ x⁴

3⁴x⁴ y⁴

3x⁴ y⁴

_9 x^3x⁴8^y y⁸⁴

Iloraz zapisany w postaci potęgi to

Iloczyn zapisany w postaci potęgi to

Wyrażenie po uproszczeniu wynosi

Iloraz zapisany w postaci potęgi to

Iloczyn zapisany w postaci potęgi to

Wyrażenie po uproszczeniu wynosi

0,0001

⁻⁵

: 0,001

⁻⁵

10

⁵

2

⁻³

∙ 3

⁻³

∙ (

¹₂

)

⁻³

∙ 2

⁻³

6

⁻¹²

(−2x

²

y)

⁻³ _8x¹6y³

0,0001

⁻⁵

: 0,001

⁻⁵

10

¹⁰

2

⁻³

∙ 3

⁻³

∙ (

¹₂

)

⁻³

∙ 2

⁻³

6

⁻³

(−2x

²

y)

⁻³

−

_8x¹6y³



(13)

Ćwiczenie 17

Ćwiczenie 18

W miejsce kropek wstaw odpowiedni znak .

a.

b.

c.

d.

e.

f.

Ćwiczenie 19

W miejsce kropek wstaw odpowiedni znak .

a.

b.

c.

d.

<, >, = 8

⁻³

… 4

⁻³

3

⁻⁶

… 12

⁻⁶

0,2

⁻⁹

… 0,3

⁻⁹

1,4

⁻⁵

… 1,3

⁻⁵

(

²₇

)

⁻⁴

… (

¹₄

)

⁻⁴

(0,75)

⁻⁷

… (

³₄

)

⁻⁷

<, >, = (−2,3)

⁻⁵

… 2,3

⁻⁵

(−3,6)

⁻⁶

… 3,6

⁻⁶

− (−7,7)

^−7…

(−7,7)

⁻⁷

−(−(−0,2)

⁻⁹

) … − (−0,2)

⁻⁹

(14)

Ćwiczenie 20

Ćwiczenie 21

Oblicz.

a.

b.

c.

d.

Połącz w pary.

a

⁻³

: a

⁻³ a5:a8</mrow

a

³

⋅ a

⁻⁵

a

⁻⁸

⋅ a ⋅ a

a

⁻⁸

⋅ a : a

⁻³

a

⁰

a

⁻¹⁶

: a

⁻¹¹

a ⋅ a

⁻³

a

⁻⁴

⋅ a

¹

a

⁰

⋅ a

¹⁰

: a

¹⁴

a

⁻⁹

: a

⁻⁵

⋅ a

⁻²

a

⁷

⋅ a

⁻⁴

: a

⁸

2⁵ ∙2⁻³ 2⁷:2⁻³

5 ∙ 3⁷ 3⁸ : 3⁻²

4⁻⁷:4⁻⁹ 17− 4⁰

5³−2∙5² 5⁻¹

(15)

Ćwiczenie 22

Uzupełnij brakujący wykładnik potęgi.

a.

b.

c.

d.

Ćwiczenie 23

Ćwiczenie 24

Zakładając, że , zapisz wyrażenie w postaci jednej potęgi.

a.

b.

c.

d.

2

³

∙ 4 : 2

⁻²

= 2

^…

27 : 3

^…

∙ 3

⁻⁵

= 3

⁶

4

⁻⁴

: 4

^…

∙ 16 ∙ 64 = 4

⁻⁸

625 : 5

²

: 5

^…

: 5

⁻²

= 1

Połącz w pary.

(−2)

¹³

: 64 ⋅ 3

⁻³

⋅ (−81) 2

³

⋅ 3

²

−64 ⋅ 3

⁻¹

⋅ (−2)

⁻³

⋅ 27 2

⁵

⋅ 3

⁶

128 ⋅ 9 ⋅ 2

⁻²

: 3

⁰

⋅ (−3)

⁴

2

⁷

⋅ 3

³

−243 ⋅ 3

⁻²

⋅ 32 : 2 : (−2)

⁻³

2

⁷

⋅ 3

a ≠ 0

(a

⁹

∙ a

⁻⁴

) : (a

⁻³

∙ a)

a

⁸

: [ a

⁻⁹

: ( a

⁻²

∙ a

⁴

)]

a⁻³∙ a² :a⁻² a⁻⁴ : a⁶

a³ ∙[( a⁻⁴∙ a⁵):(a⁻³ ∙ a³)]

a⁸ :(a⁻² ∙a)