wiczenia z Analizy Zespolonej, Matematyka MiNI PW, rok akad. 2019/20.
5. SZEREGI LAURENTA I PUNKTY OSOBLIWE Oznaczenia:
C(a, b)- okr¡g o ±rodku w a i promieniu b zorientowany dodatnio, D(a, r) = {z ∈ C : |z − a| < r}.
P (z0, a, b) = {z ∈ C : a < |z − z0| < b}, 0 ≤ a < b ≤ ∞.
1. Znale¹¢ rozwini¦cie funkcji f(z) = (z−1)(z−2)1 w szereg Laurenta o ±rodku z0 = 0 zbie»ny w pier±cieniu: (a) P (0, 1, 2) = {z ∈ C : 1 < |z| < 2}, (b) P (1, 0, 1) = {z ∈ C : 0 < |z − 1| < 1},
2. Znale¹¢ rozwini¦cie funkcji: (a) f(z) = z−11 + z+21 w szereg Laurenta o ±rodku z0 = i zbie»ny w pier±cieniu P (i,√
2,√
5) = {z ∈ C : √
2 < |z − i| < √ 5}, (b) f(z) = (z−1)ez 3 w szereg Laurenta o ±rodku z0 = 1, (c) f(z) = 1+z12 w szereg Laurenta o ±rodku z0 = i.
3. Wyznaczy¢ cz¦±¢ gªówn¡ i cz¦±¢ regularn¡ szeregu Laurenta o ±rodku w punkcie z0 = 0dla funkcji f(z) = sin zz10 w pier±cieniu P (0, 0, ∞) i okre±li¢ rodzaj osobliwo±ci w punkcie z0 = 0. Nast¦pnie obliczy¢ caªk¦ RC(0,1
2)z−10sin zdz.
4. Wyznaczy¢ cz¦±¢ gªówn¡ i cz¦±¢ regularn¡ szeregu Laurenta o ±rodku w punkcie z0 = 0 dla funkcji f(z) = cos zz4 w pier±cieniu P (0, 0, ∞) i okre±li¢ rodzaj osobliwo-
±ci w punkcie z0 = 0. Nast¦pnie obliczy¢ caªk¦ RC(0,1
2)z−4cos zdz.
5. Znale¹¢ rozwini¦cie funkcji f(z) = z6sinh(1z) w szereg Laurenta w P (0, 1, ∞) dla z0 = ∞. Okre±li¢ rodzaj osobliwo±ci w z0 = ∞i obliczy¢ caªk¦ RC(0,10)z6sinh(1z)dz. 6. Znale¹¢ rozwini¦cie gaª¦zi gªównej funkcji f(z) = z10arcsin(1z) w szereg Laurenta w P (0, 1, ∞) dla z0 = ∞. Okre±li¢ rodzaj osobliwo±ci w z0 = ∞ i obliczy¢ caªk¦
R
C(0,10)z10arcsin(1z)dz.
7. Wyznaczy¢ cz¦±¢ gªówn¡ szeregu Laurenta o ±rodku w z0 = 0 dla funkcji f(z) =
1
cos z+cosh z−2. Okre±li¢ rodzaj osobliwo±ci f w punkcie z0 = 0.
8. Wyznaczy¢ cz¦±¢ gªówn¡ szeregu Laurenta o ±rodku w z0 = 0 dla funkcji f(z) =
cos z
z2sinh z. Okre±li¢ rodzaj osobliwo±ci f w punkcie z0 = 0.
9. Wyznaczy¢ wszystkie punkty osobliwe w C funkcji f(z) = z(z+4πi)sinhz3(z−2πi)2. W przypadku bieguna poda¢ jego rz¡d.
10. Okre±li¢ rodzaj osobliwo±ci w zerze funkcji f(z) = ctgz − 1z.
1
