Ćwiczenia z Analizy Zespolonej, Matematyka MiNI PW, rok akad. 2016/17. 1
1. CAŁKA KRZYWOLINIOWA I OPERATORY RÓŻNICZKOWE 1. Oblicz długość łuku krzywych płaskich o następujących parametryzacjach:
a) cykloida: ~r(t) = (a(t − sin t), a(1 − cos t)), t ∈ [0, 2π],
b) deltoida: ~r(t) = (2a cos t + a cos 2t, 2a sin t − a sin 2t), t ∈ [−π, π], c) asteroida: ~r(t) = (a cos3t, a sin3t), t ∈ [−π, π].
W powyższych przykładach a > 0 jest parametrem. Naszkicuj podane krzywe (jak one powstają?).
Wskazówka: przy szkicowaniu krzywej z punktu c) warto pamiętać o wzorach sin 3t = 3 sin t−4 sin3t oraz cos 3t = 4 cos3t − 3 cos t.
2. Wyznacz parametryzację naturalną okręgu C(p, R) ⊂ R2 o środku w punkcie p = (x0, y0) i promieniu R.
3. Oblicz całki:
a) Z
Γ
1
x − yd`, gdzie Γ to odcinek łączący punkt (0, −2) z punktem (4, 0), b)
Z
Γ
xy d`, gdzie Γ jest brzegiem kwadratu |x| + |y| ¬ a (a > 0),
4. Oblicz całkę
Z
Γ
z2d`,
po okręgu powstałym z przecięcia sfery x2+ y2+ z2 = a2 (a > 0) i płaszczyzny y = x.
5. Oblicz całkę
Z
Γ
yz d`,
gdzie Γ jest linią śrubową o parametryzacji ~r(t) = (cos t, sin t, t), t ∈ [0, 2π]. Czy wartość tej całki zmieni się, jeśli parametryzację ~r zastąpimy przez ~p(s) = (cos(2π−s), sin(2π−s), 2π−s), s ∈ [0, 2π]?
6. Oblicz masę dwóch zwojów linii śrubowej, nawiniętej na walec o średnicy d = 2 i wysokości h = 4π, jeżeli gęstość liniowa masy ρ w dowolnym punkcie jest równa jego odległości od podstawy walca.
7. Wyznacz współrzędne środka masy jednorodnego łuku cykloidy.
8. Oblicz pole części powierzchni bocznej walca x2+ y2= 4x ograniczonej płaszczyznami x + z = 0 i y − z = −5.
9. Oblicz całki:
a) Z
Γ
(2a − y) dx + x dy, gdzie Γ jest łukiem cykloidy (z parametrem a > 0, patrz zad. 1) skiero- wanym od punktu (2aπ, 0) do punktu (0, 0),
b) Z
Γ
y dx − x dy, gdzie Γ jest brzegiem kwadratu o wierzchołkach (1, 0), (1, 1), (0, 1), (0, 0), skierowanym ujemnie względem swojego wnętrza.
Ćwiczenia z Analizy Zespolonej, Matematyka MiNI PW, rok akad. 2016/17. 2
10. Wykaż, że wartości podanych całek nie zależą od drogi całkowania, a następnie oblicz te całki dwoma sposobami (całkując po odcinku oraz wyznaczając potencjał):
a) Z
_
AB
yexydx + xexydy, gdzie A = (1, 1), B = (0, 0),
b) Z
_
AB
x
x2+ y2 dx + y
x2+ y2dy, gdzie A = (1, 0), B = (6, 8) (i droga nie przechodzi przez początek układu współrzędnych),
c) Z
_
AB
(2x cos y + 3y2) dx + (6xy − 1 − x2sin y) dy, gdzie A = (0, −2), B = (0, 2).
11. Sprawdź tezę Twierdzenia Greena dla całki I
Γ
(xy − x) dx + (y − x2) dy,
gdzie Γ jest brzegiem obszaru Ω = {(x, y) ∈ R2: x2 + 4y2 ¬ 4, x ¬ 0}, skierowanym dodatnio względem wnętrza.
12. Stosując Twierdzenie Greena oblicz całki krzywoliniowe zorientowane po krzywych zamkniętych dodatnio zorientowanych względem obszaru, który ograniczają:
a) I
Γ
y dx +x2+ 2xy 2y dy,
gdzie Γ jest brzegiem obszaru Ω = {(x, y) ∈ R2: 1 ¬ x2+ y2 ¬ 2, x 0, y √ 3x}, b)
I
Γ
ex(1 − cos y) dx − ex(y − sin y) dy,
gdzie Γ jest brzegiem obszaru ograniczonego krzywą y = sin x, x ∈ [0, π] i osią 0x.
13. Czy przy obliczaniu całki I
Γ
y dx − x dy
x2+ y2 , Γ = {(x, y) ∈ R2: x2+ y2 = 1}
i Γ jest skierowana ujemnie względem wnętrza, można zastosować Twierdzenie Greena do pola wektorowego x2+yy 2,x2−x+y2
? Oblicz tę całkę.
14. Korzystając z Twierdzenia Greena wyznacz wzór na pole elipsy.
15. Oblicz pole figury położonej w półpłaszczyźnie x ¬ 0 i ograniczonej linią x3+ x2− y2= 0.
16. Wykaż, że jeżeli φ i ψ są polami skalarnymi klasy C2 na pewnym zbiorze otwartym Ω ⊆ R3, to prawdziwe są wzory
a) ∇ × (∇φ) = 0, b) ∇ · (∇φ × ∇ψ) = 0,
c) ∆(φψ) = ψ∆φ + 2∇φ · ∇ψ + φ∆ψ.
Ćwiczenia z Analizy Zespolonej, Matematyka MiNI PW, rok akad. 2016/17. 3
17. Wykaż, że jeżeli ~Φ jest polem wektorowym klasy C2 na pewnym zbiorze otwartym Ω ⊆ R3, to prawdziwe są wzory
a) ∇ · (∇ × ~Φ) = 0,
b) ∇ × (∇ × ~Φ) = ∇(∇ · ~Φ) − ∆~Φ.
18. Wykaż, że jeżeli ~Φ i ~Ψ są polami wektorowymi klasy C1 na pewnym zbiorze otwartym Ω ⊆ R3, to prawdziwy jest wzór
∇ · (~Φ × ~Ψ) = ~Ψ · (∇ × ~Φ) − ~Φ · (∇ × ~Ψ).
19. Wykaż, że równanie Laplace’a w R2, tzn.
∂2u
∂x2 +∂2u
∂y2 = 0 przyjmuje we współrzędnych biegunowych (r, ϕ) postać
∂2u
∂r2 + 1 r2 · ∂2u
∂ϕ2 +1 r ·∂u
∂r = 0.
