2z+11 rozwin¡¢ w szereg pot¦gowy o ±rodku w punkcie z0 = i

‚wiczenia z Analizy Zespolonej, Matematyka MiNI PW, rok akad. 2019/20.

4. SZEREGI TAYLORA i FUNKCJE CAŠKOWITE

1. Wyznaczy¢ promie« zbie»no±ci podanych ni»ej szeregów pot¦gowych, a nast¦pnie zbada¢ ich zbie»no±¢ na brzegu koªa zbie»no±ci:

a)

∞

X

n=0

zⁿ

(1 − i)ⁿ b)

∞

X

n=1

zⁿ

n c)

∞

X

n=1

(z − 1 + i)ⁿ n√

n d)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ ln(n + 2)z²ⁿ.

2. Funkcj¦ f(z) = _2z+1¹ rozwin¡¢ w szereg pot¦gowy o ±rodku w punkcie z0 = i. Poda¢ promie« zbie»no±ci otrzymanego szeregu.

3. Wyznaczy¢ szereg Taylora o ±rodku w punkcie z0 = πi dla funkcji f(z) = sinh z i poda¢ jego promie« zbie»no±ci. Wykaza¢, »e limz→πi sinh z

z−πi = −1. 4. Wykazac, »e sin³z =P∞

n=0(−1)^{n 3(1−9}_4(2n+1)!ⁿ⁾z²ⁿ⁺¹ dla z ∈ C.

5. Wyznaczy¢ szereg Taylora o ±rodku w punkcie z0 = −2 + idla funkcji f(z) = Lnz.

Obliczy¢ promie« zbie»no±ci otrzymanego szeregu. Czy mo»na u»y¢ otrzymanego rozwini¦cia do wyznaczenia warto±ci Ln(−2 − ₁₀¹i)?

6. Wyznaczy¢ szereg Taylora o ±rodku w z0 = 0 funkcji f(z) = arctan z (gaª¦zi gªów- nej funkcji odwrotnej do tan) i obliczy¢ promie« zbie»no±ci otrzymanego szeregu.

7. Niech α ∈ C \ {0}. Znale¹¢ rozwini¦cie w szereg Taylora o ±rodku w punkcie z₀ = 0 gaª¦zi gªównej funkcji f(z) = (1 + z)^α.

8. Korzystaj¡c z zad. 7 obliczy¢ wspóªczynniki szeregu Taylora o ±rodku w punkcie z₀ = 0 gaª¦zi gªównych funkcji f1(z) =√

1 + z i f2(z) = ^√_1+z¹ .

9. Wyznaczy¢ szereg Taylora o ±rodku w punkcie z0 = 0 funkcji f(z) = sin²z. Czy funkcja g(z) = sin²(√

z) jest caªkowita?

10. Gaª¡¹ gªówn¡ funkcji f(z) = ln^1+z_1−z²² rozwin¡¢ w szereg Taylora o ±rodku w punkcie z₀ = 0. Wykaza¢, »e funkcja

g(z) = 1

zLn1 + z² 1 − z² jest holomorczna w D(0, 1). Czy g(0) = 0?

11. Niech f ∈ H(G), f 6= const, G ⊂ C obszar, z0 ∈ G. Wykaza¢, »e f ma w punkcie z0 zero krotno±ci m ∈ N, wtedy i tylko wtedy, gdy f ma posta¢

f (z) = (z − z₀)^mg(z), gdzie g jest funkcj¡ holomorczn¡ w z0 i g(z0) 6= 0.

1

2

12. Niech G ⊂ C ograniczony obszar, f ∈ H(G), f 6= const, f ∈ C(G) i f(z) 6= 0 dla z ∈ ∂G. Wykaza¢, »e f mo»e mie¢ co najwy»ej sko«czenie wiele zer w G.

13. Niech γ b¦dzie konturem ograniczaj¡cym obszar G ⊂ C i niech f b¦dzie funkcj¡

ci¡gª¡ na G. Wykaza¢, »e wówczas funkcja dana wzorem g(z) = R_γ ^{f (w)}_w−zdw jest holomorczna na C \ G.

14. Udowodni¢ nast¦pij¡c¡ wersj¦ reguªy de l'Hospitala:

Niech f i g b¦d¡ funkcjami analitycznymi w otoczeniu punktu z0 ∈ C, przy czym f (z0) = g(z0) = 0 oraz g nie jest stale równa 0. Wówczas

z→zlim0

f (z)

g(z) = lim

z→z0

f⁰(z) g⁰(z),

w tym sensie, »e obie granice istniej¡ i s¡ sko«czone albo obie s¡ niesko«czone.