Ile rozwi¡za« ma równanie sinh z − 50zn w D(0, 1)? 4

‚wiczenia z Analizy Zespolonej, Matematyka MiNI PW, rok akad. 2019/20.

7. TWIERDZENIE ROUCHÉ I ZASADA MAKSIMUM

1. Wykaza¢, »e wielomian z⁵+ 15z + 1 ma dokªadnie cztery pierwiastki zawarte w pier±cieniu {z ∈ C : ³₂ < |z| < 2}.

2. Ile rozwi¡za« ma równanie z⁴+z³−4z+1 = 0w pier±cieniu {z ∈ C : 1 < |z| < 3}?

3. Ile rozwi¡za« ma równanie sinh z − 50zⁿ w D(0, 1)?

4. Wykaza¢, »e dla dowolnego λ > 1 równanie z + e^−z = λ ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie w póªpªaszczy¹nie o dodatniej cz¦±ci rzeczywistej. Wykaza¢, »e jest liczb¡ rzeczywist¡.

5. Wykaza¢, »e dla dowolnej liczby naturalnej n ≥ 3 równanie zⁿ+ nz − 1 = 0

ma n pierwiastków w kole D 0, 1 +

q 2 n−1

 .

6. Niech f b¦dzie funkcj¡ holomorczn¡ w C. Wykaza¢, »e je±li f przyjmuje warto±ci rzeczywiste dla z ∈ C(0, 1), to f jest staªa.

7. Niech P (z) = zⁿ+ a_n−1zⁿ⁻¹+ ... + a₀, gdzie an−1, .., a₀ ∈ C.

Wykaza¢, »e wówczas P (z) ≡ zⁿ albo istnieje punkt ζ o module 1 taki, »e

|P (ζ)| > 1.

1