Klasa 1A Klasówka nr 2.1 17.10.2019

Klasa 1A Klasówka nr 2.1 17.10.2019

Pisz wyraźnie i jasno, pełnymi zdaniami. Dokładnie uzasadniaj swoje stwierdzenia.

1. Liczba naturalna n jest większa od 3. Na ile sposobów można ustawić liczby od 1 do n tak, żeby dokładnie jedna z liczb 1,2,3 została na swoim miejscu?

2. Na ile sposobów można rozdać sześć jednakowych lizaków i piętnaście jednakowych batoników dziewięciorgu dzieciom tak, żeby każde dostało co najwyżej jednego lizaka i co najmniej jeden batonik? Podaj wynik w postaci iloczynu potęg liczb pierwszych.

3. Iloma zerami kończy się liczba 11¹⁰⁰− 1?

4. Znajdź współczynnik przy x⁵y⁶ w rozwinięciu potęgi (1 − x + y + y²)¹¹. Wystarczy wzór.

5. Udowodnij, że dla dowolnych liczb naturalnych 2 ¬ m ¬ 2n zachodzi równość:

m−1

X

k=1

k(m − k) n k

! n m − k

!

= n² 2n − 2 m − 2

!

. (Dodatkowy punkt za dowód przy pomocy historyjki.)

6. Uprość a b + b

a + 1

!1 a − 1

b

2

a² b² + b²

a² − a b + b

a

! .

7. Parami różne liczby rzeczywiste a, b, c spełniają równości 1 − a³

a = 1 − b³

b = 1 − c³

c . Znajdź wszystkie wartości, które może przyjmować suma a³+ b³+ c³.

8. Niech p_n(k) oznacza liczbę permutacji zbioru {1, 2, ..., n}, n ­ 1 mających dokładnie k punktów stałych. Wykaż, że

n

X

k=0

k · p_n(k) = n!.

Klasa 1B Klasówka nr 2.1 17.10.2019

Pisz wyraźnie i jasno, pełnymi zdaniami. Dokładnie uzasadniaj swoje stwierdzenia.

1. Ile liczb naturalnych mniejszych od 3⁶⁰nie jest ani sześcianem, ani czwartą potęgą ani piątą potęgą liczby całkowitej? Podaj wzór, a nie wartość liczbową.

2. Na okręgu stoi n przedmiotów. Wykaż, że liczba wyborów k z nich tak, żeby żadne dwa nie były obok siebie, jest równa n

k

n − k − 1 k − 1

!

.

3. Ile różnych liczb można utworzyć przestawiając cyfry w liczbie 22225558888? Znajdź wartość liczbową.

4. Znajdź współczynnik przy a⁹b⁷c⁵d³ w rozwinięciu potęgi (1 + a + ab + bc + cd)¹⁵. Wystarczy wzór.

5. Udowodnij, że dla dowolnych liczb naturalnych k ¬ n zachodzi równość:

k³ n k

!

= n n − 1 k − 1

!

+ 3n(n − 1) n − 2 k − 2

!

+ n(n − 1)(n − 2) n − 3 k − 3

!

. (Dodatkowy punkt za dowód przy pomocy historyjki.)

6. Oblicz

2019

X

j=0 2019

X

i=j

i j

!

.

7. Uprość 1 a +√

2− a²+ 4 a³+ 2√

2

!

· a 2 − 1

√2 +1 a

!−1

. 8. Rozwiąż równanie x + y + z − 21 = 2√

x − 4 + 4√

y − 9 + 6√

z − 22.