3. Estymacja w modelach parametrycznych Zadanie 1. Wyznacz estymator parametru θ dla: a) rozkładu P oiss(θ), b) rozkładu wykładniczego E(θ), c) θ=N, dla rozkładu jednostajnego dyskretnego na {1, . . . , N}, d) rozkładu geometrycznego G(θ), e) θ=(α, λ) dla

3. Estymacja w modelach parametrycznych Zadanie 1. Wyznacz estymator parametru θ dla:

a) rozkładu P oiss(θ),

b) rozkładu wykładniczego E(θ),

c) θ=N , dla rozkładu jednostajnego dyskretnego na {1, . . . , N }, d) rozkładu geometrycznego G(θ),

e) θ=(α, λ) dla rozkładu gamma G(α, λ), α > 0, λ > 0, o gęstości f (x) = 1

λ^αΓ(α)x^α−1e^−x/λ1_(0,∞)(x),

stosując metodę momentów, mając daną próbę prostą X₁, . . . , X_n z danego rozkładu.

Zadanie 2. Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą prostą. Stosując metodę kwantyli, wyznacz estymator parametru θ dla:

a) rozkładu jednostajnego U (0, θ),

b) θ = (µ, σ) w rozkładzie normalnym N (µ, σ²), c) θ = (α, β) w rozkładzie Cauchy’ego o gęstości

f (x) = 1

πβ · 1

1 + (^x−α_β )².

Zadanie 3. Dysponując próbą prostą X₁, . . . , X_n, znajdź estymator największej wiaro- godności (ENW) parametru θ dla rozkładu:

a) geometrycznego G(θ),

b) dwumianowego B(n, p), gdzie θ = p², c) Weibulla W e(2, θ) o gęstości

f (x) = 2θ⁻²xe^−(x/θ)21_(0,∞)(x), θ > 0, d) jednostajnego U (θ, θ + 1), θ ∈ R,

e) wykładniczego E(a, λ) o gęstości

f (x) = λe^−λ(x−a)1_(a,∞)(x), a ∈ R, λ > 0,

1

gdzie θ = (a, λ),

f) Laplace’a Lapl(µ, λ) o gęstości

f (x) = λ

2e^{−λ|x−µ|}, gdzie θ = (µ, λ),

Zadanie 4. Mierzymy k razy ciężar każdego z n różnych obiektów. Niech X_i,j (i = 1, 2, . . . , k, j = 1, 2, . . . , n) będzie wynikiem i-tego pomiaru j-tego obiektu. Pomiary Xi,j, i = 1, 2, . . . , k, j = 1, 2, . . . , n, są niezależne o rozkładach normalnych N (µj, σ²).

Skonstruuj ENW[(µ₁, . . . , µ_n, σ²)].

2