Rachunek kwantykatorów

Rachunek kwantykatorów

Formy zdaniowe

Forma zdaniowa ϕ(x) okre±lona w zbiorze X to wyra»enie, które jest zdaniem, je±li za x wstawimy dowolny element zbioru X.

Zbiór X nazywamy zakresem formy zdaniowej ϕ(x).

Przykªady.

• ϕ(x) = x² < 1, gdzie x ∈ R, ϕ(x) jest zdaniem:

 prawdziwym dla x ∈ (−1, 1),

 faªszywym dla x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, +∞);

• ϕ(x) = x² > 0, gdzie x ∈ R,

ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla wszystkich x ∈ R;

• ϕ(n) = n | 6 (n dzieli 6), gdzie n ∈ N1, ϕ(n) jest zdaniem:

 prawdziwym dla n = 1, 2, 3, 6

 faªszywym dla pozostaªych n;

• ϕ(n) = n = n + 1, gdzie n ∈ Z,

ϕ(n) jest zdaniem faªszywym dla ka»dego n ∈ Z.

Uwaga. Forma zdaniowa okre±lona w zbiorze X pozwala ka»- demu elementowi tego zbioru przyporz¡dkowa¢ zdanie. Mo»emy wi¦c j¡ nazwa¢ funkcj¡ zdaniow¡.

Pytanie. Co jest dziedzin¡, a co zbiorem warto±ci tej funkcji?

Kwantykatory

Je±li ϕ(x) jest form¡ zdaniow¡ okre±lon¡ w zbiorze X, to mo»emy rozwa»y¢ nast¦puj¡ce dwa zdania.

1. Zdanie

Dla ka»dego x ∈ X (zachodzi) ϕ(x), które zapisujemy symbolicznie

∀_x∈X ϕ(x).

2. Zdanie

Istnieje x ∈ X takie, »e ϕ(x), które zapisujemy

∃_x∈X ϕ(x).

Zdanie ∃x∈X ϕ(x) jest prawdziwe dokªadnie wtedy, gdy ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla co najmniej jednego x ∈ X.

Przykªady:

• ∀_x∈R x² < 1  zdanie faªszywe,

∃_x∈R x² < 1  zdanie prawdziwe,

• ∀_x∈R x² > 0  zdanie prawdziwe,

∃_x∈R x² > 0  zdanie prawdziwe,

• ∀_n∈N1 n | 6  zdanie faªszywe,

∃_n∈N1 n | 6  zdanie prawdziwe,

• ∀_n∈Z n = n + 1  zdanie faªszywe,

∃_n∈Z n = n + 1  zdanie faªszywe.

Zauwa»my, »e:

 je±li ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla wszystkich x ∈ X, to zdania ∀x∈X ϕ(x) i ∃x∈X ϕ(x) s¡ prawdziwe,

 je±li ϕ(x) jest zdaniem faªszywym dla wszystkich x ∈ X, to zdania ∀x∈X ϕ(x) i ∃x∈X ϕ(x) s¡ faªszywe,

 je±li ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla pewnych elementów zbioru X, a faªszywym dla innych elementów tego zbioru, to zdanie ∀x∈X ϕ(x) jest faªszywe, a zdanie ∃x∈X ϕ(x) jest prawdzi- we.

Zbiorem speªniania formy zdaniowej ϕ(x), okre±lonej w zbiorze X, nazywamy zbiór wszystkich elementów x ∈ X, dla których ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym.

Zauwa»my, »e:

 zdanie ∀x∈X ϕ(x) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zbio- rem speªniania formy ϕ(x) jest caªy zbiór X,

 zdanie ∃x∈X ϕ(x) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór speªniania formy ϕ(x) jest niepusty.

Pytanie. Jak nale»y okre±li¢ warto±¢ logiczn¡ zda« ∀x∈X ϕ(x) i

∃_x∈X ϕ(x) w przypadku, gdy X jest zbiorem pustym?

Symbol ∀ nazywamy kwantykatorem ogólnym, a symbol ∃

nazywamy kwantykatorem szczegóªowym.

∀

A

∃

E

Je±li zakres formy zdaniowej (zbiór X) jest jasno okre±lony, to zamiast ∀x∈X ϕ(x) i ∃x∈X ϕ(x) mo»emy pisa¢: ∀^x ϕ(x), ∃^x ϕ(x).

W matematyce elementarnej popularne s¡ polskie symbole kwan- tykatorów:

V  kwantykator ogólny (zamiast ∀),

W  kwantykator szczegóªowy (zamiast ∃).

Kwantykatory te s¡ uogólnieniami spójników logicznych, gdy»

w przypadku zbioru sko«czonego X mamy:

^

x∈{x₁,...,x_n}

ϕ(x) ⇔ ϕ(x₁) ∧ . . . ∧ ϕ(x_n),

_

x∈{x₁,...,xn}

ϕ(x) ⇔ ϕ(x₁) ∨ . . . ∨ ϕ(x_n).

Formy zdaniowe wielu zmiennych

Mo»emy rozwa»a¢ formy zdaniowe wi¦kszej liczby zmiennych, np.

ϕ(x, y, z), gdzie x ∈ X, y ∈ Y , z ∈ Z lub ϕ(x, y), gdzie x, y ∈ X.

Przykªady:

• x < y, gdzie x, y ∈ N;

• x · y = 0, gdzie x ∈ Z, y ∈ R;

• A ∈ k, gdzie A ∈ zbiór punktów, k ∈ zbiór prostych;

Rozwa»my form¦ zdaniow¡ ϕ(x, y) zmiennych x, y ∈ X.

Zdanie

∀_x∈X ∀_y∈X ϕ(x, y)

oznacza, »e dla ka»dego x ∈ X zachodzi to, »e dla ka»dego y ∈ X zachodzi ϕ(x, y). Pro±ciej:

dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi ϕ(x, y),

co zapisujemy u»ywaj¡c jednego symbolu kwantykatora:

∀_x,y∈X ϕ(x, y).

Zdanie

∃_x∈X ∃_y∈X ϕ(x, y)

oznacza, »e istnieje x ∈ X, dla którego istnieje y ∈ X taki, »e zachodzi ϕ(x, y). Pro±ciej:

istniej¡ x, y ∈ X takie, »e ϕ(x, y),

co te» zapisujemy u»ywaj¡c jednego symbolu kwantykatora:

∃_x,y∈X ϕ(x, y).

Niech teraz ϕ(x1, . . . , x_n) b¦dzie form¡ zdaniow¡ zmiennych x1, . . ., xⁿ, gdzie x1 ∈ X₁, . . ., xⁿ ∈ X_n.

Zdanie

Dla dowolnych x1 ∈ X₁, . . ., xⁿ ∈ X_n (zachodzi) ϕ(x1, . . . , x_n) zapisujemy

∀_{x1∈X1,...,xn∈Xn} ϕ(x₁, . . . , x_n).

Zdanie

Istniej¡ x1 ∈ X₁, . . ., xⁿ ∈ X_n takie, »e ϕ(x1, . . . , x_n), zapisujemy

∃_{x1∈X1,...,xn∈Xn} ϕ(x₁, . . . , x_n).

Przykªad. Które z nast¦puj¡cych zda« s¡ prawdziwe, a które faªszywe:

∀_x,y∈Z x < y, ∀_x,y∈R x · y = y · x, ∃_x∈N ∃_y∈Z x < y?

Niech ϕ(x, y) b¦dzie form¡ zdaniow¡ zmiennych x ∈ X, y ∈ Y . Zdanie

∃_x∈X ∀_y∈Y ϕ(x, y)

oznacza, »e istnieje x ∈ X takie, »e ϕ(x, y) zachodzi dla ka»dego y ∈ Y .

Zdanie

∀_x∈X ∃_y∈Y ϕ(x, y)

oznacza, »e dla ka»dego x ∈ X istnieje takie y ∈ Y , »e zachodzi ϕ(x, y).

To nie jest to samo!

Przykªad. Które z nast¦puj¡cych zda« s¡ prawdziwe, a które faªszywe:

∀_x∈Z ∃_y∈Z x < y, ∃_x∈Z ∀_y∈Z x < y, ∃_x∈Z ∀_y∈Z x · y = 0?

‚wiczenie. Utwórz kilka ciekawych zda« z u»yciem kwantyka- torów ∀, ∃ i form zdaniowych:

x < y, x 6 y, x · y = 0, x · y = 1, gdzie x, y przebiegaj¡ zbiory: N, N1, Z, Q, R.

Okre±l prawdziwo±¢ utworzonych zda«.

Je±li ϕ(x, y) jest form¡ zdaniow¡ zmiennych x, y, gdzie x ∈ X, y ∈ Y , to

∀_y∈Y ϕ(x, y) i ∃y∈Y ϕ(x, y)

s¡ formami zdaniowymi zmiennej x. Mówimy, »e w tych wyra»e- niach x jest zmienn¡ woln¡, a y jest zmienn¡ zwi¡zan¡.

Natomiast w wyra»eniach

∀_x∈X ∀_y∈Y ϕ(x, y), ∃_x∈X ∀_y∈Y ϕ(x, y),

∀_x∈X ∃_y∈Y ϕ(x, y) i ∃x∈X ∃_y∈Y ϕ(x, y) zmienne x i y s¡ obie zmiennymi zwi¡zanymi.

Przykªad. Rozwa»my nast¦puj¡ce funkcje zdaniowe zmiennej x ∈ Z:

1) ∀_y∈N x < y; 2) ∃_y∈N x < y;

3) ∀_y∈R x · y = 0; 4) ∃_y∈Z x · y = 1.

Dla jakich warto±ci x ∈ Z s¡ to zdania prawdziwe?

Odpowied¹:

1) dla wszystkich x < 0, 2) dla wszystkich x ∈ Z, 3) dla x = 0,

4) dla x ∈ {1, −1}.

Przykªady u»ycia kwantykatorów

• a ∈ Z, a jest liczb¡ parzyst¡:

∃_k∈Z a = 2k.

• a, b ∈ Z, a jest podzielne przez b:

∃_k∈Z a = k · b.

• p ∈ N1, p jest liczb¡ pierwsz¡:

(p 6= 1) ∧ ∀_a∈N1 (a | p ⇒ a = 1 ∨ a = p).

• b ∈ R, A ⊂ R, b jest ograniczeniem z góry zbioru A:

∀_a∈A a 6 b.

• Mi¦dzy dowolnymi dwiema ró»nymi liczbami rzeczywistymi istnieje liczba wymierna:

∀_x∈R ∀_y∈R (x 6= y ⇒ ∃_w∈Q ((x < w ∧ w < y) ∨ (y < w ∧ w < x))).

• Od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ci¡gu (xⁿ) s¡ dodat- nie:

∃_N∀_n>N x_n > 0.

• Zasada indukcji matematycznej:

Prawa rachunku kwantykatorów

Prawo rachunku kwantykatorów to wyra»enie utworzone po- prawnie z symboli kwantykatorów, funkcji zdaniowych i spój- ników logicznych, które jest zdaniem prawdziwym dla dowolnej funkcji zdaniowej i dowolnych warto±ci zmiennych.

Prawa de Morgana dla kwantykatorów:

∼ (∀_x∈X ϕ(x)) ⇔ ∃_x∈X (∼ ϕ(x)),

∼ (∃_x∈X ϕ(x)) ⇔ ∀_x∈X (∼ ϕ(x)).

Przykªady:

• Liczba b nie jest ograniczeniem z góry zbioru A:

∼ (∀_a∈A a 6 b) ⇔ ∃a∈A ∼ (a 6 b) ⇔ ∃a∈A a > b.

• W zbiorze N nie ma liczby najwi¦kszej:

∼ (∃_m∈N ∀_n∈N m > n) ⇔ ∀_m∈N ∼ (∀_n∈N m > n)

⇔ ∀_m∈N ∃_n∈N ∼ (m > n) ⇔ ∀_m∈N ∃_n∈N m < n.

Inne wa»ne prawa rachunku kwantykatorów:

(∀_x∈X ϕ(x)) ⇒ (∃_x∈X ϕ(x)),

(∃_x∈X ∀_y∈Y ϕ(x, y)) ⇒ (∀_y∈Y ∃_x∈X ϕ(x, y)).

Dla danego elementu x0 ∈ X mamy prawa:

(∀_x∈X ϕ(x)) ⇒ ϕ(x₀), ϕ(x₀) ⇒ (∃_x∈X ϕ(x)).