Metoda Hori dla ukªadu z jednym stopniem swobody.
Maªe wychylenia wahadªa matematycznego.
Rozpatrzmy hamiltonian wahadªa matematycznego H(Φ, ϕ) = 12¡
Φ2− ω2cos ϕ¢
. (1)
Przyjmijmy, »e wychylenie wahadªa ϕ jest maªe i rozwi«my cos ϕ w szereg Tay- lora bior¡c wyrazy do ϕ6 wª¡cznie:
H(Φ, ϕ) = 12¡
Φ2+ ω2ϕ2¢
−241ω2ϕ4+7201 ω2ϕ6+ . . . . (2) Zastosujmy teraz kanoniczn¡ transformacj¦ Poincaré dan¡ wzorem
ϕ = r2 L
ω sin `, Φ =√
2 L ω cos `. (3)
Podstawiaj¡c (3) do (2) i dokonuj¡c konwersji do postaci wielomianu Fouriera otrzymujemy
H = H0(L) + H1(L, `) + H2(L, `) + . . . (4)
H0 = ω L, (5)
H1 = L2¡
−161 +121 cos 2` − 481 cos 4`¢
, (6)
H2 = L3 ω
¡ 1
288−1921 cos 2` + 4801 cos 4` −28801 cos 6`¢
. (7)
Co prawda mamy do czynienia z zagadnieniem o jednym stopniu swobody (for- malnie caªkowalnym) ale równania ruchu wygl¡daj¡ nieprzyja¹nie:
˙L = −∂H
∂` = L2
12(2 sin ` − sin 4`) −
− L3
480 ω(5 sin 2` − 4 sin 4` + sin 6`) + . . . (8)
˙` = ∂H
∂L = ω + L
24(−3 + 4 cos 2` − cos 4`) + + L2
960 ω(10 − 15 cos 2` + 6 cos 4` − cos 6`) + . . . (9) Zastosujemy do ukªadu (4) metod¦ Hori. Co prawda nie mamy tu jawnie wyst¦puj¡cego maªego parametru ε ale dla maªych wychyle« mamy przecie»
L > L2> L3> . . .a wi¦c faktycznie H0> H1> H2> . . .a przy tym H0 de - niuje zagadnienie o oczywistym rozwi¡zaniu L = const. i ` = ωt, co umo»liwia uruchomienie procedury.
Poszukujemy nowych zmiennych Y ≡ L i y ≡ ` które uproszcz¡ ukªad w porównaniu z oryginalnymi zmiennymi X ≡ L i x ≡ `.
1
Rz¡d 0
Zgodnie z pierwszym wzorem ukªadu (8.16), przyjmujemy
K0( ¯L) = H0( ¯L) = ω ¯L. (10) Rz¡d 1
Równanie podstawowe (8.16 równanie drugie) ma posta¢
{ H0( ¯L) ; S1} + H1( ¯L, ¯`) − K1= 0. (11) Rozbijamy H1dany wzorem (6) na cz¦±¢ ±redni¡ i czysto okresow¡,
h H1i = −L¯2
16, (12)
H1− h H1i = L¯2¡1
12cos 2¯` −481 cos 4¯`¢
, (13)
a nast¦pnie przyjmujemy (8.20)
K1( ¯L) = hH1i = −L¯2
16. (14)
Przechodzimy teraz do znalezienia funkcji tworz¡cej S1. Mamy do rozwi¡zania równanie ró»niczkowe cz¡stkowe (8.20)
∂S1
∂ ¯`
∂H0( ¯L)
∂ ¯L = H1− K1, a poniewa» ∂H∂ ¯0L( ¯L) = ω, pozostaje nam prosta kwadratura
S1( ¯L, ¯`) = 1 ω
Z
(H1− K1) d¯` =L¯2 ω
¡1
24sin 2¯` −1921 sin 4¯`¢
(15) Funkcja S1 zawiera ¯` tylko wewn¡trz funkcji sinus a wi¦c jest ograniczona i wida¢, »e nasz wybór K1byª poprawny.
Rz¡d 2
W my±l (8.21), jako hamiltonian K2powinni±my przyj¡¢
K2= hP2i, gdzie
P2= H2+12{H1+ K1; S1}
Po do±¢ »mudnych operacjach w których powinien wyr¦czy¢ nas komputer, do- chodzimy do
P2 = L¯3 ω
¡−2561 +7687 cos 2¯` −19201 cos 4¯` −12801 cos 6¯`¢
. (16)
2
A zatem wybieramy
K2( ¯L) = − L¯3
256 ω, (17)
natomiast funkcja tworz¡ca ma posta¢
S2( ¯L, ¯`) = 1 ω
Z
(P1− hP1i) d¯` = L¯3 7680 ω2
¡35 sin 2¯` − sin 4¯` − sin 6¯`¢
. (18) Warto zauwa»y¢, »e K26= hH2i.
W ten sposób zako«czyli±my transformacj¦ funkcji Hamiltona. Dysponujemy nowymi zmiennymi ¯L, ¯`w których zagadnienie maªych drga« wahadªa przybraªo prostsz¡ posta¢
K( ¯L) = K0+ K1+ K2+ . . . = ω ¯L − L¯2 16 − L¯3
256 ω + O( ¯L4), (19) L = −˙¯ ∂K
∂ ¯` = 0, (20)
˙¯` = ∂K
∂ ¯L = ω −L¯ 8 − 3
256 L¯2
ω + O( ¯L3) =const. (21) Pojawiªa si¦ nowa caªka ruchu ¯L = const. (20), za± k¡t ¯` jest linow¡ funkcj¡
czasu (21). Zauwa»my, »e cz¦stotliwo±¢ k¡ta ¯` nie jest ju» równa ω lecz zale»y od amplitudy oscylacji (por. zwi¡zek mi¦dzy max(ϕ) a L w równaniach (3)).
Jak wida¢, dobra metoda perturbacji respektuje zyk¦ problemu.
Jawna posta¢ transformacji zmiennych
Jak wygl¡da zwi¡zek mi¦dzy naszymi nowymi zmiennymi ¯L, ¯`a zmiennymi ory- ginalnymi L, ` ? Jak narazie jest on ukryty w funkcji tworz¡cej W. Oznaczaj¡c przez Lk lub `k perturbacje okresowe k-tego rz¦du, otrzymujemy wedªug (8.11) transformacj¦ p¦du
L = L + L¯ 1( ¯L, ¯`) + L2( ¯L, ¯`) + . . . (22) L1 = { ¯L; S1( ¯L, ¯`)} = −∂S1
∂ ¯` = L¯2 48 ω
¡−4 cos 2¯` + cos 4¯`¢
(23) L2 = { ¯L; S2} + 12{{ ¯L; S1}; S1} =
= − 17 2304
L¯3
ω2 + L¯3 5760 ω2
¡75 cos 2¯` − 3 cos 4¯` − 7 cos 6¯`¢
(24) i transformacj¦ k¡ta
` = ` + `¯ 1( ¯L, ¯`) + `2( ¯L, ¯`) + . . . (25)
`1 = {¯`; S1( ¯L, ¯`)} = ∂S1
∂ ¯L = L¯ 96 ω
¡8 sin 2¯` − sin 4¯`¢
(26)
`2 = {¯`; S2} +12{{¯`; S1}; S1} =
= L¯2 92160 ω2
¡1280 sin 2¯` + 124 sin 4¯` − 96 sin 6¯` + 5 sin 8¯`¢
. (27)
3
Nad przytoczonymi wynikami warto si¦ zastanowi¢.
1. Czy hamiltonian K jest znormalizowany ?
2. Zmienne generowane przez normalizacj¦ metod¡ Hori nazywa si¦ zmien- nymi ±rednimi. Czy to oznacza, »e h`i = ¯` i hLi = ¯L ? je±li nie, to na którym etapie powstaje ró»nica ?
3. Czy funkcja tworz¡ca W mo»e generowa¢ perturbacje wiekowe ? W któ- rym wzorze znajduj¡ si¦ te perturbacje ?
4. Czy podane wy»ej perturbacje okresowe s¡ dªugookresowe czy krótkookre- sowe ?
Podana wy»ej transformacja zmiennych nakªada perturbacje okresowe na ruch u±redniony. Aby znale¹¢ wzory zdejmuj¡ce perturbacje okresowe z rze- czywistej trajektorii (tzw. ltrowanie analityczne ruchu) u»ywamy wzoru (8.10) i funkcji
W(L, `) = −S(L, `).
Na przykªad, dla ¯L mamy
L = L + ¯¯ L1(L, `) + ¯L2(L, `) + . . . (28) L¯1 = {L; W1(L, `)} = −∂W1
∂` = L2
48 ω(4 cos 2` − cos 4`) (29) L¯2 = {L; W2} +12{{L; W1}; W1} =
= 17
2304 L3
ω2 + L3
5760 ω2(30 cos 2` − 3 cos 4` − 2 cos 6`) (30) Poprzestaniemy tylko na wzorach dla ¯L(L, `). Warto je porówna¢ z odpowied- nimi wzorami dla L(¯L, ¯`) i sprawdzi¢ podobie«stwa i róznice.
4
