= w licznikach są jedynki = dodajemy ułamki w liczniku i mianowniku = przemnażamy licznik  = rozpisujemy tgx i ctgx

(1)

Nauczyciel: Marzena Mrzygłód Przedmiot: matematyka Klasa: 3 TOR

Temat lekcji: Tożsamości trygonometryczne Data lekcji: 25.03.2020

Wprowadzenie do tematu: Kontynuacja tematu zależności między funkcjami trygonometrycznymi Instrukcje do pracy własnej:

Przypomnij sobie poznane już zależności między funkcjami trygonometrycznymi:

 𝑠𝑖𝑛²𝑥 + 𝑐𝑜𝑠²𝑥 = 1 𝑑𝑙𝑎 𝑥 ∈ 𝑅

 𝑡𝑔𝑥 =^{sin 𝑥}_{cos 𝑥} 𝑑𝑙𝑎 𝑥 ∈ 𝑅\ (^𝜋₂+ 𝜋𝑘: 𝑘 ∈ 𝐶)

 𝑐𝑡𝑔𝑥 =_{sin 𝑥}^{cos 𝑥} 𝑑𝑙𝑎 𝑥 ∈ 𝑅\(𝜋𝑘: 𝑘 ∈ 𝐶)

 𝑐𝑡𝑔𝑥 =_{tg 𝑥}¹ 𝑜𝑟𝑎𝑧 𝑡𝑔𝑥 =_{ctg 𝑥}¹ 𝑑𝑙𝑎 𝑥 ∈ 𝑅\ (^𝜋₂𝑘: 𝑘 ∈ 𝐶) Korzystając z tych własności udowodnij tożsamość trygonometryczną:

 ^{1−𝑐𝑜𝑠}²^𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙cos 𝑥

= 𝑡𝑔 𝑥

Zaczynamy od przekształcenia bardziej rozbudowanej strony zależności, lub tak jak równanie jedno pod drugim:

𝐿 = 1 − 𝑐𝑜𝑠

²

𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ cos 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛

²

𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ cos 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑡𝑔𝑥 = 𝑃

Pokazaliśmy, że lewa strona jest równa prawej.



^{𝑡𝑔𝑥 (1+𝑐𝑡𝑔}²^𝑥)

1+𝑡𝑔²𝑥

=

^{1−𝑠𝑖𝑛}²^𝑥

rozpisujemy tgx i ctgx

sin 𝑥

cos 𝑥 (1+^{𝑐𝑜𝑠2𝑥}_{𝑠𝑖𝑛2𝑥}) 1+^{𝑠𝑖𝑛2𝑥}

𝑐𝑜𝑠2𝑥

=

^{1−𝑠𝑖𝑛}²^𝑥

przemnażamy licznik

sin 𝑥 cos 𝑥 +^{cos 𝑥}_{sin 𝑥}

1+^{𝑠𝑖𝑛2𝑥}_{𝑐𝑜𝑠2𝑥}

=

^{1−𝑠𝑖𝑛}²^𝑥

dodajemy ułamki w liczniku i mianowniku

sin2 𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑖𝑥 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥

=

^𝑐𝑜𝑠²^𝑥

w licznikach są jedynki

Z komentarzem [MM1]: W liczniku jest zależność z jedynki trygonometrycznej:

Z komentarzem [MM2]: Upraszczamy jeden sin z licznika i ten z mianownika

Z komentarzem [MM3]: Z jedynki trygonometrycznej to jest cos x

(2)

1 cos 𝑥 𝑠𝑖𝑥 𝑥

1 𝑐𝑜𝑠2𝑥

=

po prawej stronie można uprościć jeden cos x

1

cos 𝑥 𝑠𝑖𝑥 𝑥

:

¹

𝑐𝑜𝑠²𝑥

=

^{𝑐𝑜𝑠𝑥}

𝑠𝑖𝑛𝑥

lewą stronę zamieniamy na mnożenie

1

cos 𝑥 𝑠𝑖𝑥 𝑥

∙

1

=

^{𝑐𝑜𝑠𝑥}

𝑠𝑖𝑛𝑥

upraszczamy cos x po lewej stronie

𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥

=

^{𝑐𝑜𝑠𝑥}

𝑠𝑖𝑛𝑥

po lewej i prawej stronie jest to samo L=P

Praca własna: Wykonaj cztery dowolne przykłady z zad.1 str. 162 podręcznik Informacja zwrotna:

Spotkanie online na platformie Discord – 25.03.2020 o godz.12.30 -13.15

Przesłanie rozwiązanych zadań, pytań na adres matmaxmm121@gmail.com do 31.03.2020.

Opracowała Marzena Mrzygłód